I.2.3LI.2.3.4 J
+ etc.
Je fais actuellement
Bfl 4- Ca' [t — h)-\ 77^—^ H ,^3 + etc. = 4< ;
de sorte que ^J,^ soit une fonction arbitraire de t. Je fais aussi /■^tdt=:-^,t, f-\^,dtz=i-\,j., f'^jdt = -^3t, etc. j
et je suppose que ces intégrales successives 4i^ > '4'»'» 4'3^' ^**^'' soient toutes nulles pour t = /î. Il en résultera
Ba(^70 + -.-L l + -^3^ + -i-L +etc. == 4.^
5^'^ + ^-^' + ^i! + etc. = 4.^ :
^^^-H^^ + etc. = 4., etc. ;
et la valeui" de u deviendra , en conséquence ,
Cette intégrale complète de l'équation (8) est semblable par rapport à ^ et x ; ce qui devait être, puisque l'équation donnée contient semblablement ces deux variables indépendantes. Elle procède suivant les intégrales successives des fonctions arbitraires, tandis que l'intégrale complète de l'équalion (3) procédait suivant leurs différentielles. Indépendamment des deux fonctions arbitraires <px et 4^, contenues sons les signes f, elle renferme la constante arbitraire A, qui représente, d'après cette équation (9), la valeur de u coiTcspondante à t=h et x = k, et qu'il faut conserver, pour que les constantes 7i et k puissent être choisies à volonté. En supposant qu'on a 11 = (^jc quand t = h, et ii = '^t quand x = k, on aura,. en vertu de cette même équation,
A=^h = -^k, (p,x=<^x — A, -^^tz^-^t — A, et, par conséquent,
ce qui fera connaître toutes les quantités arbitraires que renferme le second membre de l'équation (9).
On peut aussi exprimer en série d'exponentielles l'intégrale complète de l'équation (8) , pour laquelle on trouve, sans difficulté,
ax ax ax
U = Ae*'e^ -f- Be^'e"^ + Ce^'e^ + etc. ;
A, B, C, etc., a, Q, y , etc., étant deux séries de constantes arbitraires, réelles ou imaginaires.
(78). Pour obtenir sous forme finie l'intégrale de cette même équa-
i5o THÉORIE MATHÉMATIQUE
tion (8), j'observe que l'on a généralement
•P»^ = TTIXV-^) fk ^"^ - ^^" '^''^^ '
En effet, n étant un nombre entier et positif, on a, en intégrant n fois de suite par partie ,
f(x — ù))'~'(pa>da) = (x — a)''-'(p,co + (« — i) {x — û))"~''(p^a -\-{n — i)(n — 2).(x — û))°~3<P3&) +. . . + {n — i) {n — 2).. .2. 1 .(?„« ;
à la limite cjz=zk, tous les termes du second membre de cette équation s'évanouissent par hypothèse; à la limite cù=.x, tous ces termes, moins le dernier, s'évanouissent également; d'où l'on conclut la valeur précédente de <p,x ; et l'on aura de même celle de -^J^. De cette manière, l'équation (g) deviendra
„=A[.+a(x-.)(^A)r-'-'f'.'-'"- + fï^^;=^'4-e.c.] 4-/1 i+a(t—7iYx—a)-] — ^^ — — '--\ — '-^- — ^4-etc. Uparfa,
. r'r . / 7\f^ \ , a\x-ky{t-ay , a\x-kf{t-i^f , » ~1 r ^
+/;. [i+<^-^)(^-^)+-^f^+, ;, . 3 ; ;. , /3+etc. j4^^^ ;
et si l'on fait
1 — 6 i + etc. = r ,
il ne restera plus qu'à exprimer la valeur de y sous forme finie en fonction de 6 : les valeurs des trois séries contenues dans l'expression de u se déduiront de celle de j", en y faisant successivement
h=za{x~-k){h — t), ^ = (x — o))(h — t), e = (f — «)(/f — .r).
Or, / étant un nombre entier et positif, on a, en intégrant par partie ,
J' " sin'' ado. = (2/ — i) / " " sin''"" a cos* adu ;
DE LA aiALEUFx. i5i
d'où l'on conclut
ai/ ' sia*''Wa = (2i — i) / '" sin*'"' ada. , et par suite
On aura donc
— , - , ■ = — ï;^— . r-^ sia- «^. ,
et , par conséquent ,
tJ o \ 1.2 ' 1.2.3.4 1.2.3.4.5.6 ' / '
ou, ce qui est la même chose ,
j = - I cos (2 y/Q sia* «)<i«.
D'après celte valeur de ^ et celle de u qui en résulte, l'intégi'ale complète sous forme finie de l'équation (8) sera
u=- A. I ' cos [2 V{x — k){h — t) sin' x].dot,
-f- - / I / ' cos [2 \/(x — co) {h — t) sin'a] da,\ (pada>
+ - / < I cos [2 \/(« — «) (A — x) sin» a] dal -i^cûdcù.
Elle dépend, comme on voit, d'intégrales définies doubles, au lieu que celle de l'équation (3) ne dépendait que d'intégrales définies simples.
(79). Je prends pour dernier exemple l'équation linéaire et à coefficiens variables
du . /d'u mu \ , ,
dans laquelle a et m sont des constantes données, et que je choisis parce qu'elle se présente dans les problèmes relatifs à la distribution
i52 THÉORIE MATHÉMATIQUE
de la chaleur dans l'intérieur des corps, ainsi qu'on le verra par la
suite.
Si l'on fait ô = e"'* dans la série ( 2 ) , et qu'on la substitue ensuite dans les deux membres de cette équation (10), on trouve que tous les termes de celte série doivent satisfaire séparément à cette équation, que tous les exposans et, ê, y, etc., restent arbitraires, et que le coefficient P du terme quelconque correspondant à l'exposant a, est déterminé par l'équation
Son intégrale complète renfermera deux constantes arbitraires; et quand on l'aura obtenue, celle de l'équation (10) sera
u = SPe"'"' ;
la somme s'étendant à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, de ces deux constantes et de a,
Quelle que soit la valeur de P , on peut la représenter par
P = Ax^" + A^xF' + A^x''" + etc. ;
en désignant par A, A,, Aj, , etc., p, p', p", etc , des coefficiens et des exposans indépendans de x , et sans décider d'avance si p , p', p", etc. , forment une suite croissante ou décroissante. En substituant cette valeur de u dans les deux membres de l'équation (10), il vient
A [/?(/> — i) — m'jx''-' -j- A,[p'{p' — 1) — injxf'-' + A.C/Cp" — 0 — nijxP"-^ + etc., = aAx'' 4- ccA.xP' -)- aA^x''" + etc.
Or, il est aisé de voir que ces deux séries ne peuvent être identiques , à moins que le premier terme de la première ne disparaisse, ce qui exige que l'on ait
et que les exposans p, p', p", etc., ne forment une suite croissante par
DE LA CHALEUR. i53
des différences constantes et égales à 2; de sorte qu'on ait aussi
p' = p+2, D" = n + 4, /j"' = >''-4^6, etc. ''
Cela étant, le premier coefficient A restera indéterminé, et tous les autres se déduiront de celui-là , au moyen de cette suite d'équations
A.[(/> H- 2) (p H- i) — m~\ = Aa,,^.,j, „^.j ^j,,,^
A3[(/j 4- 6) (p 4- 5) — m] = A.a, etc.
•I ;j^i!0 , . ,-, ).• ni
L'équation (1 2) donnera deux valeurs de p que je representeraipar p
et q ; en les employant successivement, on aura deux valeurs de P, dont chacune renfermera une constante arbitraire; ej en faisant la somme de ces deux valeurs , on aura l'intégrale complète de l'équation (11), savoir :
P = x''(A -f- A,jc* + A.^^ + AyV^ + etc.)
+ .r'(B + B..r" + B,x^ + B,x' + etc.).^^^, ,^
On désigne ici par A et B les deux constantes arbitraires; A,, A^,, A3, etc., sont les quantités déterminées par les équations précédentes, et B, , B,, Bs, etc., ce que deviennent ces quantités lorsqu'on y met B et ç à la place de A et /? ; les premières auront A et les secondes B pour facteur commun. , •— ■<^'••
Cette valeur de P , et par suite celle de «,, s'expriment par des mtégrales définies, de la manière suivante. ' ' '■' ' "• ' '
(80). Je mets p(p — i) à la place de m dans l'équation qui a lieu entre deux coefficiens consécutifs A„ et A„,, c'est-à-dire, dans la n""" équation de la série précédente; il en résulte
2n[2n -\- 2/j — i) A, = aA,,. (i3)
En intégrant par partie, on a noD
/cos"«sin°''-'Mrfû) = — cos"~'&)sin*''&i-|-^^^^/"cos"~'(i) sin'''"*'' ado). ■' ip ip ■"
Si p est une quantité positive , ou bien si cette quantité est composée
î5/i THÉORIE MATHÉMATIQUE
d'une partie réelle et d'une partie imaginaire et que sa partie réelle soit positive , le terme compris hors du signe / s'évanouira pour &) = o et pour a = tT ; on aura donc
>(,( Ji/T" cos" a» sin*»"- ' cùdm = "^JlHl Ç" cos"-» m sin'''-^' mdui ;
d'où l'on tire
C cos" ù> sin'f-' eed'i) = —'^^^^^-L- f cos"-" a sin'''"' c^dai.
J o ln-\-7.p —\ J n
Par conséquent , A étant une constante arbitraire , on pourra prendre
ko."
/ ''cos"û)sin'''~' cùdcû.
pour l'intégrale coraplètie de l'équation (i5) aux difterences finies; car , en verlu des deux équations précédentes , on aura
an (ara + 20— i) A. = — r— ^""-"ô ; C cos"— « sin'?- <^do);
^ ' r J ' 1.2.3...2W — 3. an — 1J0
et en mettant n— \ au lieu de n dans l'expression de A„, et multipliant par a, on aura aussi
aA„, = 5 5 / cos'"-'« sm'''-%rfa ;
