an — 3. an — zj o

ce qui rend identique l'équation (i5).

On conclut de là

A ■+- A,x' ■+- Aj.j?"... ■+- A„x" -f- etc. =

( I -4 cos* CD + 5--F cos^ûj + etc. ) sm'*" 'adco.

Comme on a évidemment

/ cos''""''^ sio"''" ' «rfw = o, on peut, si l'on veut, changer cette dernière série*» celle-ci ;

A / f I + ^ V '^ cos û) -\ cos* et) H 5- cos' <»

•+■ 5—; COS* ù) -4- etc. ) gin'''"' adct),

dont la valeur est ■'":-'

A/ ^ a: ; A cos» • «B 1 J / e sin*'' 'coacD.

i, Par le changement de A et p en B et ^, cette valeur deviendra

celle de la seconde série contenue dans l'expression de P. Nous aurons donc

P = AxP r e' '^"'^"^•sin*''-'«^«+Bx^rV^"""%in»'-'.^^a., (14)

pour l'intégrale complète et sous forme finie dç l'équation (.11), dans le cas où les deux racines ^ et ^ de l'équation (1 2) sont positives, ou, plus généralement, de la forme />' =±= ç' \ — 1 , en désignant par p' et q' des quantités réelles dont la première est positive.

Dans le cas particulier où l'on a m^ — ^, les deux racines p et q sont égales; on a p= \ e\. q = ~; mais pour «viier que les deux termes de la formule (14) se réduisent à un seul, on désignera par cT une quantité infiniment petite, et l'on fera d'abord p^\ et ç = ' + <^' En développant suivant les puissances de é' , on aura

X'' sin "-'« =: x~ \i + cT log (jrsin"«) -|- etc.];

si donc on fait

A + B = A', Bcf = B',

et qu'on supprime ensuite tous les termes multipliés par ^ , on aura

P= A'x ^ f\' ^'^ '"' 'dco + B'x ^ f\^ ^^^^ " log {x sin» cS)dm ,

pour l'intégrale complète de l'équation

i56 THÉORIE MATHÉMATIQUE

En mettant, pour plus de commodité, a' à la place de a, la valeur de u correspondante à l'expression générale de P, sera

+ X' 2Be"''"'rV"'^'''°'sin«'-W«.

En faisant subir à l'exponentielle e"'*''la même transformation que dans le n? 74, cette valeur de u deviendra

— oC j j \ 2Be ^ *^ • e sm'» ' mdcùdcù.

Or, en désignant par (pj: et '\x des fonctions arbitraires de x, on peut supposer qu'pn ait

Ir-;.

on aura en même temps

^ ft9iii;< ■ t j — •■-

Ae «^ ' == (p[a:cosci> + aao) V V>

par conséquent, l'intégrale complète et sous forme finie de l'équation (10), sera

r^ nv , -, — ai'' '•/) — !

ii = .xP / Ç> [x COS ù> -\- 2a{t)\/ 1) e sin (ndm'do-

-j-j:'/ / Afixcos Où -^ laat's/ 1) e sin udjo'do).

t; ii ' 7 — » ./ o ^

Dans le cas àe p = q=\, cette intégrale deviendra

u = X'' I / o (^ cos^cw + 2acii V ^j fi dce'dcû i

+ j?« / ( "^ i^x cos £e) -f- 2«w' V^) ^ log (j: sin'û)) doù'dui ,

et sera celle de l'équation

du . /d'il , u \

Ces inte'grales complètes renferment deux fonctions arbitraires, (p et 4 dans la première, O et 'i' dans la seconde; mais si on les développe suivant les puissances de \'t, on trouvera que tous les coefliciens des puissances impaires sont ze'ro, et que les deux fonctions arbitraires se réduisent à une seule et même fonction dans tous les coefliciens des puissances paires. L'intégrale de l'équation (lo), semblable sous ce rapport à celle de l'équation (5), ne doit eflectivemeut contenir qu'une seule fonction arbitraire, lorsqu'on la développe suivant les puissances de la variable t.

(8i). La somme des deux racines p et q de l'équation (12) étant égale à l'unité, une racine au moins, ou sa partie réelle, est toujours positive. Si l'autre racine est négative, la partie correspondante de la formule (14) n'aura plus lieu, et l'intégrale complète de l'équation (11) prendra une forme différente et plus compliquée. Ce cas se présentera, comme on le verra par la suite, dans les usages que nous ferons de la valeur de P; mais nous aurons seulement besoin de connaître la partie de cette valeur qui répond à la racine positive de l'équation (12). En effet, q étant sa racine négative, le premier terme et quelqiies-ur.s des termes suivaiis auront pour facteur une puissance négative de x dans la seconde série que contient la valeur de P du n° yg; et comme cette série est ordonnée suivant les puissances ascendantes de jc, il s'ensuit que sa véritable valeur sera infinie pour x = o, à moins que ces termes ne soient supprimés. Or, dans les proljlèmes où nous ferons usage de la valeur de P, il faudra qu'elle ne devienne pas infinie pour j:: = o; il faudra donc que le premier terme de cette seconde série disparaisse j ce qui exige que la constante arbitraire B soit égale à zéro, et ce qui fait disparaître la série entière.

Ainsi, dans ces problèmes, la valeur de P se réduira à la partie correspondante à la racine positive p de l'équation (12), et sera simplement

P = x" (A -f- A. a' H- A. x< + ... -f. A„ .X" -+- etc.}.

De plus, la constante a contenue dans l'équation (ii) sera une quantité négative ; eu remplaçant donc a par —et', cette équation deviendra

f^ !!? P+ ci'P = o; (i5)

et en mettant aussi — a^ au lieu de a. dans l'expression des coefficiens A,, A,, A3, ... A„, etc., on aura

P = kCYi - "-^^1^^ + "'""T'; - etc.") sin'^-' a,da> ,

ou , ce qui est la même chose ,

P = Aa:''r"^cos(a.rcos&-)sin*''~'û)<iw- (16)

Cette valeur de P résulte également de la première partie de la formule (i/,), en y mettant — a» à la place de a, et observant qu'on a

^— acosaV/— i__^Qg^j^^ cos û))-i-sin (ajccosa;) S^ — li

d'où il suit

P = Ax'' / cos (ajT cos oj) sin"'""' œdci)

-|- A \' — 1 x''/ sin (aa:sin de)) sin"''"' &)(/», •

quantité qui se réduit à la formule (iG), parce que cette dernière intégrale est nulle, comme étant composée d'éléraens qui sont deux à deux égaux et de signes contraires.

La formule (16) est une intégrale particulière de l'équation (i5), assujettie à la condition spéciale de ne pas devenir infinie pour j? = o, et qui suffira pour résoudre les problèmes auxquels nous l'appliquerons par la suite. Ou vérifie aisément qu'elle satisfait à l'équation (i5). En effet, à cause de p (p — i) = ra, on en déduit

- — — — ^ P -f- *" ï* = Aa*x^f ci)s(?'.rcos a) si n •''■*"' arf»

dX' X J o

— 2pA.a.x''~' I sin {aa: cos cd) sin'''~' &> cos adùo;

DE LA CHALEUR. i5g

or, en intégrant par partie et observant que par hypothèse l'exposant 2p est positif, on a

j sin (axcosa))sin*''~' co cos a)dco= — / cos [a.x cos <») sin''''*' ' codu);

ce qui réduit à zéro le second membre de l'équation précédente.

(82). Si / désigne un nombre entier et positif, et que l'on ait m = i(i-\- i), les deux racines de l'équation (12) seront p=/-f- i et qz= — i. La formule (i6), relative à la racine positive, sera donc

P = Ajr'"*"'| cos (aj? cos û)) sin*'"*"' M(^/&); (i^j)

or, la valeur de cette dernière intégrale s'obtient sous forme finie; en sorte que, dans ce cas, la quantité P s'exprime sous cette forme, sans le secours des intégrales définies.

En intégrant deux fois de suite par partie, et observant que les termes compris hors du signe /"s'évanouissent aux deux limites cd = o et o) :^ TT, tant que / surpasse l'unité, on a effectivement,

cos (ctjc cos a) sm""*"' wdcù-= --—^ / cos (ctxcos co) siq*'~' coda

o a X J Cl

— ïfiL-^ / cos (ctjc cos co) sin*'~' co cos'codco,

ou, ce qui est la même chose,

/ cos (ax cos co) sin""*"' codco = — ^^—^— f cos (etxcosoù) sm*^~'(oda

— g»^» / ^^^ ^^^ ^'^^ ®) sin"~^ codco ;

équation d'après laquelle ou déterminera successivement les valeurs de l'intégrale dont il s'agit , qui répondent à i=:2, =3, =4? etc., au moyen de celles qui ont lieu pour /=o et /=i. Quant à celles-ci, on a immédiatement

/cos (ax cos co) sin CDdco = — ■ sin ax ; o ^ . ' ax

i6o THÉORIE MATHÉMATIQUE

et par le procédé de l'intégration par partie, on trouve

/ cos {a.x cos «) sin' cùdcù = -^3 (sin ctx — a,x cos (toc).

Pour?' = 2, on aura ensuite

/ cos(aa'Cos &))sin^&)r/ft)= ^— ^(Ssinaa: — Sajccosajr — a^j:* sînao;);

et de même pour / = 3, = 4> ^tc. Ces expressions se présentent sous la forme § quand x ■=■0; par la règle ordinaire, leurs véritables valeurs sont

/ sin«c?«=2, / sin^ &)<Y&)= |, / sin^a)rf&)= -7, etc.

Mais de cette manière on parviendrait difficilement à l'expression de la formule (17) relative à un nombre quelconque /. Pour l'obtenir je fais

P=e*^\/^(Cx-'+C,ar--^'+C,x-+' + . . .+C„x-'+"+C„^,^-'^"-^'-f-etc.);

C, C, , Cj,, etc., étant des coefficiens indépendans de ^, je substitue cette valeur de P dans le premier membre de l'équation

et après avoir supprimé le facteur e=" V—^^ commun à tous les termes, j'égale séparément à zéro le coefficient de chaque puissance de x. Il en résulte, entre les deux coefficiens consécutifs C„ et C„^, , l'équation

(n+i) {-xi — n) C„^, 4-2ct\/ — 1 (/ — n) C„ = o,-

d'où l'on conclut que le coefficient C restera indéterminé, et que l'on aura, pour un autre coefficient quelconque,