n.2i{2i — i)(2z' — 2). . .(ai — /i+i

ce qui montre que pour n=i-\- i et au-delà, tous les coefficiens

DE LA CHALEUR. i6i

Cj+,, Cj^.,, elc, seront zéro; en sorte que la valeur précédente de P sera composée d'un nombre de termes fini et égal à /-f- i-

Eu prenant successivement V^ — i avec le signe + et avec le signe — , on aura deux valeurs différentes de P, contenant chacune une constante arbitraire. Leur somme satisfera encore à l'équation (i 8), et en sera l'intégrale complète, savoir :

(.^)^(.-.)(/-g) ^,^3 + etc.1 ;

C et C étant les deux constantes arbitraires. Ainsi, non-seulement la formule (17), qui n'est qu'une intégrale particulière de l'équation (18), mais aussi son intégrale complète, s'exprime sous forme finie, sans le secours des intégrales définies.

En faisant disparaître les imaginaires, remplaçant C et C par deux autres constantes arbiti-aires D et D', et posant, pour abréger,

2Wi (i — i)x^ , 2*a'i{i —1) (i — 2) (i — 3 )x* ^ v

I ^^ , / . -T^ -. — j — etc. = X ,

2a.ix 2Wi(i — 1)(/ — 2)x' , 2^»^i(i — i) (i — 7.) (i — 3 j (i — A)x^ -^ ,

—. 5 — :-^ — -. — .; . , ■ ■ '-^. . , ^ . — etc.=X ,

on aura, pour cette même intégrale complète,

P = ï)a:~' (X sin ctx — X' cos ax) -\- D'j:~'(X cos etjc -f- X' sin etjc).

Pour en déduire la formule (17), il y faudra supprimer la partie qui devient infinie pour ar = o. Or, quand la variable x est infiniment petite , cette dernière valeur de P se réduit à D'x~' , en négligeant toutes les quantités infinies d'un ordre inférieur à x~' ; pour que P ne soit pas une quantité infinie quand 0^ = 0, il faut donc qu'on ait D' = o; par conséquent, la formule (17) doit coin-

i62 THÉORTE MATHÉMATIQUE

cider avec la première partie de cette dernière formule; et si l'on fait D = AE , et qu'on divise par x'"^', 11 faudra qu'on ait

J cos (ajccos Cù) sin*'"^' coda = Ej:~"~'(X sin ctx — X' cos clx) , (19)

en déterminant convenablement la constante E.

Dans le cas de jr = o, le second membre de cette équation se pi'ésente sous la forme f ; par la règle ordinaire , on a