CHAPITRE VIII

Suite de la digression sur la manière de représenter les jonctions arbitraires par des séries de quantités périodiques.

(io5). Supposons qu'on ait décrit une surface sphérique dont le rayon soit e'gal à l'unité , et menons par le centre trois axes rectangulaires. Soit ô l'angle compris entre le rajon d'un point quelconque de cette surface et l'un de ces trois axes ; projetons ce rayon sur le plan des deux autres axes, et soit -vj, l'angle que fait sa projection avec l'une de ces deux droites : les coordonnées de ce point, rapportées aux trois axes fixes , seront

cos 9 , sin 6 sin -^ , sin G cos -v}. ;

l'élément correspondant de la surface sphérique aura sin âr/ôc?-^ pour expression ; et pour étendre les angles 6 et -v}/ à tous les points de cette surface, il faudra leur donner toutes les valeurs comprises depuis 9 = o et -vf/ = o jusqu'à 6 = tt et -v^ = 277".

Désignons par Y„ une fonction rationnelle, entière et du degré n, des trois coordonnées précédentes , qui satisfîisse, en outre , à l'équation

d( sin 6 —y— ) ,,,,

sin ^d^ - + sli^. ^ + "(" + 0Y„ = o; (l)

en sorte que l'expression la plus générale de Y„ soit une intégrale particulière de cette équation aux différences partielles, qui contiendra, comme on peut s'en assurer (*), un nombre 2ii + i de constantes arbitraires.

(*) Mécanique céleste, tome II , pages 3g — 4^-

Cela posé, toute fonction y (G, 4) des (Jeux variables ô et 4 peut être représentée par une série de cette forme :

/(G, 4) = Yo + Y, + Y,4-Y3 + .... + Y„+etc., (2)

pour toutes les valeurs de 6 et 4 renfermées entre les limites G = o et 6 = 7f , 4 = o et 4/= 27f, pourvu que cette fonction ne devienne point infinie entre ces mêmes limites.

Ce théorème est d'une grande importance par les nombreuses applications qu'on en a faites dans la mécanique céleste, dans la théorie de la chaleur et dans d'autres questions de Physique et de Mécanique. La démonstration que j'en ai donnée dans plusieurs mémoires, et que je vais reproduire ici, me semble propre à dissiper tous les doutes que l'on avait élevés sur sa généralité.

(106). Celte démonstration est fondée sur un autre théorème dont voici l'énoncé.

Soit, pour abréger,

cos 6 cos G' -f- sin 9 sin 6' cos (4 — 4) = P ' soit ensuite

a désignant une constante positive qui peut différer aussi peu qu'on voudra de l'unité , et le radical V' — 2a.p -\- a*, qui se trouve au dénominateur, étant aussi regardé comme une quantité positive dans toute l'étendue des intégrations : la limite de X relative à a, c'està-dire, la valeur de X qui a lieu quand la différence j^^pj? a,,dgr-. vient infiniment petite, sera

pour toutes les valeurs de 9 et 4 comprises entre les limites des intégrations; le signe supérieur ou le signe inférieur ayant lieu selon que l'on a a ■< 1 ou a >« i . La démonstration de ce second théorème repose sur les mêmes principes que celle du n* q3.

En effet, le coefTjcienl de d^'d^', sous le double signe yy, de-

2i4 THÉORIE MATHÉMATIQUE

vient infiniment petit en même temps que i — a, excepté lorsque p diffère infiniment peu de l'unité , ce qui rend aussi infiniment petit le dénominateur de ce coefficient. Or, d'après les limites oiisont renfermées 6' et 4'» Gt enti'e lesquelles on suppose comprises les valeurs de ô et 4 > on ne peut avoir p = i, à moins qu'on n'ait 6' = 6, 4' = 4 î donc, en faisant 6' =6+^", 4' = 4 + ^» ^^ suffira d'étendre les intégrations à des valeurs infiniment petites, positives ou négatives, de j- et z, pour obtenir la partie de l'intégrale double qui peut ne pas devenir infiniment petite en même temps que la différence I — a. Mais en traitant ces nouvelles variables j et ; comme des quantités infiniment petites, nous aurons

^ — P = ir + ^ '-' sin* 9.

De plus, si l'on suppose a < i , que l'on désigne par g une quantité infiniment petite et positive , et que l'on fasse i — u = g, on aura aussi

I — 2a.p -\- a'' — g" -i- j" -\- z' sin' 0 ,

(i __ a«)/(ô', 4') sin G' = 2g fi^ , 4) sin G. Au moyen de ces valeurs, nous aurons donc

et maintenant les intégrations s'effectueront sans difliculté.

L'intégrale relative à z étant infiniment petite pour toutes les valeurs finies de la variable , nous pourrons l'étendre , sans altérer sa valeur, depuis z-=. — oo jusqu'à :; =r co ; alors, si l'on fait

r; sin 6 = z' s/g" -{-y'' , sin G rfz = X^g" +j'dz' , les limites relatives à z' seront toujours =1= oo , et l'on aura

/(e, ^) r gdy r^ dz' f{i, ^^) r gdj

D'après ce que la constante g représente, l'intégrale relative à y est

DE LA CHALEUR. 2i5

aussi indépendante des limites qu'on lui attribuera; car, eu désignant par h une quantité positive et d'une grandeur finie, et intégrant depuis y= — h jusqu'à y=.h , on aura

/^ = -rc(tangJ);

quantité égale à Tr , puisque g est un infiniment petit, et, consé-

, h quemment , - = oo .

Nous aurons donc finalement

pour la limite de X relative à la diflférence i — a. infiniment petite, quand on suppose a < i ; et l'on trouverait de même — f(Q , 4) pour cette limite, dans le cas de a > i ; ce qu'il s'agissait de démontrer.

Le principe essentiel de cette démonstration consiste en ce que l'on considère la fonction y(S', 4') comme constante dans l'étendue des valeurs de G' et 4'» infiniment peu différentes de ô et 4? et pour lesquelles l'intégrale représentée par X ne s'évanouit pas avec la différence i — a.. Cela résulte effectivement de ce que, par hypollièse, la fonction f{^, 4) "^ devient pas infinie entre les limites de l'intégrale double; en sorte que si l'on fait

'( sera une quantité qui deviendra infiniment petite , quand les différences 6' — 9 et 4' — 4 ^'^ seront l'une et l'autre. De cette manière , on aura

) sia i'di'dy I /^ /»/->(! — ce') Ç sin 6'd6'd4,'

^"^ JJ (i-2«p+«r jJJ (' —

Lorsque a différera infiniment peu de l'unité, il sufBra, comme on l'a dit plus haut, d'étendre les intégrations à des valeurs infiniment petites de 6' — 9 et 4' — 4' ^^ P^"^ grande valeur de Ç, dans cetle étendue, sera elle-même infiniment petite; et si nous la désignons

2i6 THÉORIE MATHÉMATIQUE

par €, la seconde intégrale double sera moindre que

â /^/* (! — «') sin b'M'd^.'

»J %J (l — 'lap-\-a-Y

par conséquent, on pourra la négliger comme infiniment petite par rapport à la première; ce qui revient à regarder yfô', 4) comme une constante égale à f{^, ■\'), ainsi que nous l'avons pratiqué ici et dans tous les cas semblables. Nous faisons cette observation pour répondre à une objection que l'on avait élevée contre l'exactitude de notre analyse.

(107). Avant de conclure de ce théorème celui du n" 104, il est bon de remarquer que la limite de la quantité X n'est plus égale à d=/'(G, 4)> lorsqu'on donne à G ou à %[/ l'une de ses valeurs extrêmes, et de chercher ce que devient cette limite pour chacune de ces valeurs.

Si l'on a 4 = o j il y ^ura deux valeurs 4' = o et 4' = ^'^r, telles qu'en les prenant avec 6= 6, la quantité p sera égale à l'unité. Pour avoir alors la valeur complète de X , qui a lieu quand la différence \ — a. est infiniment petite, on devra donc faire successivement 4= - ^t 4' = - + 27r; mais comme la variable 4' doit toujours être positive et ne pas dépasser avr, il faudra, dans le premier cas, n'attribuer à z que des valeurs positives, et, dans le second, ne lui donner que des valeurs négatives. Il en résulte que dans le calcul du numéro pi-écédent, on devra seulement intégrer depuis z = o jusqu'à s = =0 dans le cas de 4' = ^ 5 et depuis s= — co jusqu'à 5 = 0 dans le cas de -i^' =■ z -\- 27r ; ce qui réduira, dans ces deux cas, à la moitié de sa valeur précédente l'intégrale relative à z; et de là on conclut que pour la valeur particulière 4 = o la limite de la valeur de X sera

On verra pareillement que cette limite sera encore la même pour l'autre valeur extrême 4 = 277".

Dans le cas de 9 = o, on a /? = cos G', et, conséquemment ,

^ i f'^^r f" f{^\ 4') (i — «') sin ^'dd' '

i^J o (i— 2«cos6'-|-«")'^ .

Mais, lorsque a diffère infiniment peu de l'unité, l'intégrale relative à G' n'a de valeur que quand la variable est infiniment petite ; ce qui permet de faire 6'= o dans /(ô', ^j/'), et de conserver, néanmoins, les limites ô'=o et ^=.'7( de cette intégrale. La formule précédente se changera donc en celle-ci :

J o (i — 2acos5'+a*)' Or, quelle que soit la constante a , on a

(i— .«')sin9W I— «' , ç ,

ri , se a.\/ \ 2i«COs6'+«'

(l — 2«cos6 -f •-)''

C étant la constante arbitraire. Aux deux limites Q' = o et 9' = tt , le radical a pour valeur rh(i — a)et=fc(i+<x); et comme il doit toujours être ime quantité positive , il faudra prendre 1 -\- a. à la limite ^' =. -^ , et, selon qu'on aura a <[ i ou a >■ 1 , ou prendra i — a ou a — i à la limite 6'=o; d'où l'on conclut, en passant à l'intégrale définie ,

» (1 — «=") sin ôVÔ' 2 3 = 2 , ou = — - ,

selon que la différence quelconque i — a sera positive ou négative. Par conséquent, la valeur de X, qui a lieu quand cette différence devient infiniment petite, sera

On trouvera de même

pour cette limite de X, dans le cas de ô = tt.

Ainsi, abstraction faite du signe, la limite de X qui répond aux valeurs extrêmes -xj, =: o et %{/ = 27r , est la demi-somme des valeurs correspondantes dey(ô, 4)> ^t la limite de la même quantité, qui a lieu pour chacune des valeurs extrêmes G = o ou â = 77", est la moyenne des valeurs de f{o, 4') ou de /{tt, ^f/'), depuis -\,'z=o jusqu'à -4/'= 277-. Pour que la limite X = ±y(6, 4)» ou le théorème du numéro précédent , convienne à ces valeurs extrêmes de

2i8 THÉORIE MATHÉMATIQUE

4 et fl, il faudra donc qu'on ait f{^, o) =z f{f) , 27r), et que la tbnctioa y(ô, -vf.) soit indépendante de 4 > pour G = o et pour G = tt. Dans l'étendue des valeurs de G et 4 où ce théorème subsiste , la fonction /"(G, 4) pourra être continue ou discontinue; mais si elle a , par exemple, une certaine forme depuis G ::= o jusqu'à G = 6^, et une autre depuis 6 = G, jusqu'à ^=^7r , et si les deux valeurs de /(G, 4) qui répondent à G = G^, ne sont point égales, on s'assurera aisément, par l'analyse précédente , que pour cette valeur particulière de 6 la limite de X sera la demi-somme de ces deux valeurs inégales de y(G, 4)- Il sn sera de même relativement à l'autre variable 4-

(io8). Maintenant, soit

Supposons a > o et •< i , et développons suivant les puissances

de a ; nous aurons

P = 1 + aP. + a'P, + a^Ts +....+ a"P„ -f- etc. ;

P„ étant une fonction de p , rationnelle , entière et du degré tt , qui a pour expression

!...n V 2.2n 1' 2.4.2rt I.27I — à'

' I , a . 3 ... '2 V ^ ■ ^" — ' " :i . 4 . -S" — i . y.fi- — J - / rjN

comme il est facile de s'en assurer, en développant d'abord la quantité f par la formule du binôme, suivant les puissances de spa. — a% et ensuite les termes de ce premier développement suivant les puissances de et.

D'après ce que p représente (n" io6), on peut regarder Cette quantité comme le cosinus d'un certain angle, de sorte que p ne peut jamais surpasser =i= i. Dans le cas de /9 = rb i , on a

or, je dis que pour toute autre valeur de p, le coefficient P, est moindre que l'unité, abstraction faite du signe (*).

(*) Exercices de Calcul intégral, tome II, page 248.

Faisons, en effet,

p = cos cù , e =b, e =>>

e étant la base des logaritlimes népériens, et a un angle réel. Nous aurons alors

En développant ces deux facteurs de f par la formule du binôme , on voit que /> sera le produit des deux séries

qui sont convergentes, puisqu'on suppose a •< i ; et si l'on multiplie ces deux séries Vune par l'autre, que l'on prenne la somme des termes du produit qui auront c6' pour facteur, et que Ion fasse disparaître les imaginaires, le coefficient de a" ou P„ sera évidemment de la forme :

P. = A cos nciù 4- B cos (« — 2) « -f- C cos {n — 4) <» + «t<^- j

A, B, C, etc., étant des quantités positives et indépendantes de u>. Par conséquent, la plus grande valeur de P„ répondra à « = o ou /> = I , et ne surpassera pas l'unité.

Il résulte de là que le développement de f sera une série convergente, quelle que petite que soit la différence i — a.; condition indispensable pour qu'on puisse employer cette série à la place de f dans les calculs suivans.

Observons au.ssi que la quantité P, est un cas particulier de celle que nous avons désignée généralement par Y, dans le n° io5. En effet, après avoir mis coso» à la place de p, si l'on différentie le produit ap par rapport à &> et à a , on en conclura, sans difficulté ,

,, a \ sin a— 3 — )

« .«» , \ au /

—rr H — — 1 = o ;

a» « sin ada

et si l'on substitue dans le premier membre de celte équation , à la

place de /», son développement, et que l'on égale ensuite à zéro le

coefficient de a"~' dans ce premier membre, on aura

'^^'""Sr")

dP„'