OP. = O

Or, en comparant ce résultat à l'équation (i) , on voit que P„ devra se déduire de la quantité Y,, en supposant cette fonction indépendante de l'angle 4» et y mettant « à la place de 6.

(109). Il est facile de démontrer actuellement le théorème du n* io5.

En effet, on a identiquement

, df I — a"

au moyen de quoi la quantité X peut s'écrire sous cette forme :

En y substituant pour f son développement , on aura donc

. . . .-h- (271 + 1) a"P, -f- etc.]/(G', 4')sin B'dê'd-^' ;

et cette quantité X se trouvera ainsi développée suivant les puissances de a. Or, dans ce développement, le coefficient de a" est, aussi bien que P„ , une quantité de la même nature que Y„ ; en prenant donc

et supposant que a diffère infiniment peu de l'unité, nous aurons

X = Y. H- Y, 4- Y. 4- Y3 +. . . .4-Y. + etc.;

mais, à cette limite, la valeur de X est /(â, 4)> d'après le théorème du n" 106; cette dernière équation n'est donc autre chose que l'équation, (2) qu'il s'agissait de démontrer.

DE LA CHALEUR. aai

Pour que l'ëqualion (2) s'applique aux limites mêmes des valeurs de 6 et 4 > pour lesquelles elle a lieu , il faudra qu'on ait /(ô, o) = /(9, 2.7r), et que les valeurs de /(o, 4) e' /('^ ? 4) soient indépendantes de 4- Quand ces conditions ne seront pas remplies, on devra modifier 1 équation (2), relativement aux valeurs extrêmes de ô et 4> d'après ce qu'on a trouvé dans le n° 107. Lorsque y(ô, 4) sera une fonction continue et d'une forme donnée, si l'on veut étendre l'équation (2) au-delà de ces limites de 6 et 4 > on fera

9 = niTt + M, 4 = im'Tt -\- v;

m et m! étant deux nombres entiers et positifs , et en désignant par u et V des variables positives, telles que l'on ail u <C7r et t» •< 2'7r. En substituant ces quantités à la place de 9 et 4 ^^^us l'expression donnée de /(ô, 4)> ^^^^ se changera en une fonction de u et v, et des deux nombres m et m', à laquelle on pourra appliquer l'équation (2).

Si l'on dift'érentie cette équation, soit par rapport à 0, soit par rapport à 4> on en déduira deux autres formules qui auront lieu dans la même étendue des valeurs de 4 ^t 9, et qui subsisteront aux limites mêmes de ces valeurs , lorsque certaines conditions seront remplies, outre celles qui sont nécessaires pour que l'équation (2) convienne à ces limites. Je me borne ici à indiquer ces deux autres formules , que l'on trouvera dans mon mémoire sur Y Attraction des Sphéroïdes (*).

(i 10). Toutes les fois que /(â, 4) sera une fonction rationnelle et entière de cosô, sin ô cos 4 > sin â sin 4 > comme les quantités de la nature de Y„ , son développement en série de quantités de cette espèce ne renfermera qu'un nombre fini de termes , et il sera facile à former dans chaque cas particulier. Au contraire , quand f{^, 4) S6''^ d'une autre forme, ou bien quand elle sera une fonction discontinue, la série (2) se prolongera à l'infini; et, pour en calculer les termes successifs, il faudra recourir à la formule (4). Or, à cause du facteur 2«-f- i de cette formule, on pourrait craindre que les termes de la série (2) n'allassent en croissant, et que la sé-

(*) Connaissance des Tems, année 1829, page 829.

222 THÉORIE MATHÉiMATIQUE

rie ne fût divergente , auquel cas on ne pourrait plus s'en servir pour représenter la fonction /^(G , 4); mais, par une transformation convenable, on peut prouver que les termes très éloignés des premiers décroissent de plus en plus à mesure que l'indice n augmente, et deviennent nuls quand ce nombre est infini.

En effet, pour plus de généralité, considérons l'intégrale double

J oj o

dans laquelle Y'„ représente ce que devient la fonction Y„ du n" io5, lorsqu'on y met G' et -xj,' au lieu de ô et 4 > ^*^ P^"* » ^^ outre , renfermer, d'une manière quelconque, ces angles 6 et ^f,, qui seront regardés comme des constantes données. Cette fonction Y',, et, par suite, cette intégrale, comprendront, comme cas particulier, la quantité P^ et l'intégrale contenue dans la formule (4)- En vertu de l'équation (i), on aura

i„smo „(„^,3 ds' n{n + i)sm6' d^'^'

L'intégration par partie donne

/(e',.4.0^ô' = ^sin6'/(â',4')

di,' J K'^ )^ J'^^ jf'

Y', sin 6' iq^ +J Y', A___J^^ S';

aux limites ô' = o et ô' = ■^r, les quantités comprises hors du signe f s'évanouissent; on aura donc simplement

M' L'intégration par partie donne également

f%^fi^'' 4') ^4' = ^f (6', 4') - Y'» ^^-^

chacune des quantités Y'„ et -.^ a des valeurs égales, aux limites 4'=o et 'l'=2'7C; nous supposerons qu'il en soit de même à l'ëgard de la fonction /(G', 4') ^* ^^ ^^^ coefficient différentiel ^^^— ; cela étant, les termes compris hors des signes/seront égaux , à leurs deux limites, et disparaîtront conséquemment en passant à l'intégrale définie ; en sorte que l'on aura simplement

D'après cela , si l'on fait , pour abréger ,

di' ^^ sin «' d-\'

on conclura de toutes ces valeurs

/;y;^'Y^y(ô^4>in6WÔV/4'=-;^/XY'JX6',4'M^V/4'; (5)

transformation remarquable qui s'applique à l'équation (4) et qui nous servira aussi tout à l'heure à un autre usage.

Maintenant, si l'on met dans cette équation (5) P„ à la place de Y'„, on pourra changer l'équation (4) en celle-ci :

^- = - 4^^ /:/:' r. F («', +') cmi'.

Or, la plus grande valeur de P„ est l'unité en plus ou en moins; généralement, la fonction F (6', 4) ne deviendra pas infinie enti'e les limites de l'intégration , si ce n'est aux limites même 6' = o et Ô'=;5t, à raison du dénominateur de son second terme; mais je supposerai qu'à ces limites la fonction est indépendante de l'angle 4» ce qui fera disparaître les valeurs correspondantes de ce second terme. En désignant donc par k la plus grande valeur de F (6', 4') > abstraction faite du signe, A- sera une quantité finie, et nous aurons, aussi en

gi'andeur absolue,

Y (2ft+iV ,

d'où l'on conclut que quand le nombre n sera très grand, les valeuis

de Y, diminueront de plus en plus, à mesure que leurs indices augmenteront encore davantage , et qu'elles seront nulles pour n = <x> ; ce qu'il s'agissait de faire voir.

(m). Mettons, dans l'équation (5), 9 et -^ au Heu de ô' et 4', et prenons pour la fonction arbitraire y (6, 4)> ""^^ fonction Z„ de la même nature que Y„, mais correspondante à un indice n' différent de n; nous aurons d'abord

d(sm«— j— -) .,„

* («' 4) — — de f" û^m^ '

et , par conséquent,

F (G, 4) = — n'(n'+ i)Z„,sinG, en vertu de l'équation (i) appliquée à cette fonction Z„,. L'équation (5) deviendra donc

fX' Y.Z., si„ «^8^4 = "^^^fX' YA, si. e*4 ;

elle sera identique dans le cas de n' = n; mais ces deux nombres étant supposés inégaux , il faudra qu'on ait

fifo' Y, Z„, sin md^ = o; (6)

propriété très importante des quantités de la nature de Y, ou Z„, , qui se démontre, comme ou voit, indépendamment de la forme de ces fonctions, et d'après la seule considération de l'équation (i) qui sert à les définir.

Lorsque les nombres n et n' sont égaux, l'intégrale double que nous considérons pourra toujours s'obtenir sous forme finie par les règles ordinaires; mais sa valeur est très simple et peut s'exprimer d'une manière générale , dans le cas où l'une des deux fonctions comprises sous le signe /f est la fonction particulière P,.

Pour cela, je change , dans l'équation (4) , ô et ^ en 6' et 4'» et réciproquement; p étant symétrique par rapport à 6 et 6', ainsi qu'à ^ et 4', ne changera pas, non plus que P„ ; en désignant par Y', ce que Y„ deviendra , on aura donc

DE LA CHALEUR. ^af

Je substitue la série (2) à la place de f{^, 4)» puisque la quantité P„ est de la même nature que Y„, on aura, en vertu de l'équation (6),

pj^" P.Y., sin md-\, = o ,

tant que les indices n et «' seront inégaux; tous les termes du premier membre de l'équation précédente s'évanouiront donc , excepté celui qui répondra à ii' zzz n; par conséquent, on aura

/;/;'p.ï.si„ww4=^ï'.. (7)

(112). C'est sur les propriétés des termes de la série (2), exprimées par ces équations (6) et (7), que sont fondés les nombreux usages que l'on fait de cette série. La première conséquence que l'on en déduit consiste en ce qu'une même fonction y(G, -\,) ne peut être représentée que d'une seule manière par une série de cette nature, pour toutes les valeurs de 6 et ^ comprises entre 6 = o et 9 = tt, ■4/ = o et -vf/ = aTT. En effet, supposons que par des moyens quelconques on ait trouvé ces deux expressions

. / (G, 4) = U, H- U, -I- U. + U3 +. . . .4- U„ + etc., /(G, 4) = V„ -I- V. + V, 4- V3 +....+ V„ -H etc.,

en séries convergentes, dont les termes généraux U,et V„ sont des fonctions de la nature de Y„ ; entre les limites des valeurs de 6 et 4 , il faudra que ces deux séries soient égales; or, si on les multiplie par P, sin G^G^4) ^* *î"6 ^'on intègre ensuite depuis G=o et 4=0 jusqu'à G = 'rr et 4 = 2'îT, on aura, en vertu de léquation (6),

flfo^ P. U^ sin md\ = o , /7//' P. V„ sin md-\ = o ,

tant que les indices n et n' seront différens; il en résultera donc

f'f^' P„ U. sin GrfW4 = f^pj P, V. sin md^ ;

et d'après l'équation (7), on en conclura U„ ^ V„; en sorte que les deux séries seront identiques.

Il n'en serait pas de même si la fonction donnée était représentée, comme dans le chapitre précédent, par une séi'ie de sinus et de cosinus des multiples de 9 et 4 = une même fonction, pour une étendue donnée des valeurs de chaque variable , peut être exprimée sous cette forme de beaucoup de manières différentes; et quand on est pai'venu à une équation dont les deux membres sont de telles séries, on n'en peut pas conclure, en général, que les termes semblables soient égaux de part et d'autre; égalité qui a toujours lieu, au conti-aire, pour les séries ordonnées suivant les quantités de la nature de Y„.

(ii3). Au moyen des équations (6) et (7), on peut aussi obtenir immédiatement sous forme finie , la valeur de toute intégrale double Q , de la forme :

rw ri7t Y„ sin hdld-^

^ J oj o \/l — 2c!p -f .<' '

a étant une constante donnée , p désignant la même quantité que dans le n° 106, et le radical étant supposé positif dans toute l'étendue de l'intégration. Selon qu'on aura a <[ i ou a>- i, abstraction faite du signe, on développera (i — 2 a.p -f- a*)~' en série convergente, ordonnée suivant les puissances positives ou négatives de a; le coefficient de a," dans le premier cas, ou de a~"~' dans le second, sera toujours la quantité P„ du n" 108; d'où Ton conclut, en vertu des équations (6) et (7),

dans le cas de a •< i , et

dans le cas de a >• i.

Si l'indice n est zéro, Y'„ sera une constante j et en la désignant par a, il en résultera

Q = 47Ta, ou Q = 4p, selon qu'on aura «. < i ou a > i ; résultat qu'on peut vérifier au

moyen d'un théorème sur la réduclion des intégrales doubles h des

intégrales simples, auquel je suis parvenu par des considérations

géométriques.

. D'après ce théorème , on a

Il <fp. sin ^ci^d-^ =: 271 1 <Ppdp ,

quelle que soit la fonction (pp. Relativement à l'intégrale Q , ou aura donc

dans le cas de Y„ = a. En effectuant l'intégration relative à p , il vient

Le radical devant toujours être positif, si l'on suppose, pour fixer les idées, que la constante a soit aussi positive, il faudra toujours prendre i + a pour la valeur de \/(i + a)'; et selon qu'on aura a •< I ou a > I , il faudra prendre i — a ou a — i pour celle de \/{i — a)*; d'où il résultera

Q = 47ra, ou Q = ^ ;

valeurs qui coïncident avec celles que l'on obtient par le développement en série.

La différence des deux valeurs de Q provient, comme on voit, de la nécessité d'une série convergente, quand on développe le radical ; ou bien, lorsqu'on intègre directement sous forme finie, elle résulte de ce que le radical doit conserver le même signe dans toute l'étendue de l'intégration , y compris les limites p = dr i.

Si la constante a diffère infiniment peu de l'unité, les deux valeurs de Q diffèrent aussi infiniment peu l'une de l'autre ; mais il n'en est

pas de même à l'égard des valeurs de -3-. En différentiant par rapport

à a les valeurs de Q , on en déduit

^ — i — 3 = O, OU :=

selon qu'on suppose a ■< i ou a > i ; et ces deux valeurs sont , comme on voit, très différentes l'une de l'autre, à la limite où la différence I — a. devient infiniment petite. Ce paradoxe tient à ce qu'à cette limite une variation infiniment petite dans la valeur de a suffit pour produire un changement brusque , c'est-à-dire , une variation de grandeur finie dans la valeur de l'intégrale. Dans le cas oîi l'on aurait rigoureusement a = i , la valeur de cette intégrale serait la moyenne des deux valeurs précédentes, ou de zéro et 2; et, en effet, on a alors

/+i (ci—p)dp I r>+t dp ., (TIIJ^Tô^ ~ ^^J -, ^"^

Au reste, il existe beaucoup d'autres intégrales définies renfermant une constante sous le signe /", qui ont des valeurs très différentes, selon que cette constante, comme ici la différence i — a, est positive ou négative, quoiqu'elle soit infiniment petite, et qui prennent une valeur moyenne , quand cette constante est rigoureusement nulle. C'est ainsi que l'on a, par exemple ,

/** sin bx 1 = -97-,

= 0, = - {yr.

selon que la constante b est < o , = o , > o , et quelque valeur qu'elle ait, finie ou infiniment petite, dans le premier et le dernier cas.

(11 4). Si u est une quantité relative aux différens points d'un corps A, leur température par exemple, cette quantité pourra être considérée comme une fonction des ti'ois coordonnées polaires d'un point quelconque, c'est-à-dire, de son rayon vecteur, que j'appellerai r, et des deux angles Q et 4/ du n" io5 , qui déterminent la direction de r, de sorte que l'on aura

DE LA CHALEUR. aag

De plus, si l'origine de ces coordonnées polaires est un point pris darjs l'intérieur de A, il suflira, pour appliquer cette fonction à tous les points de ce corps, d'étendre les valeurs de r depuis r = o jusqu'au rajon dun point quelconque de la surface, qui sera donné, pour chaque corps, en fonction de 6 et -vf. > ^^ ^^s valeurs de ces angles depuis û = o et 4^ = o jusqu'à 6 = tt et 4/ = int. Or, en combinant la série (a) avec l'une des formules du chapitre précédent , on pourra toujours exprimer cette quantité u en une série de quantités périodiques, applicable à tous les points de A.

Ainsi, en supposant que / soit la valeur de ;• qui répond à la surface de ce corps, on aura, d'après la formule (g) du n° ()6,

« = }/jF(r',ô, 4)rfr'+ 2 2'[/^os^'F(y,Ô,4)^/]cos'^,

depuis r = o jusqu'à r = Z inclusivement, et pour toutes les valeurs de Ô et -vl/ ; la somme 2' s'étendant à toutes les valeurs du nombre entier n' , depuis /?' = i jusqu'à «' = x . En mettant 6' et ■\,' à la place de G et ^^/ dans cette série , et la substituant ensuite à la place de f{^', 4') dans la formule (4)> o^i aura le terme général de la série (2). Si A est une sphère , et que l'origine des coordonnées soit placée à son centre , le rayon / sera une constante; et, dans ce cas, la série (2) donnera, après cette substitution ,

" = 4^/ " Ulflfr ^ ('-'' ^'' -^'^ ^'^ ^'dr'dVd^^ (27.. + I) P. +i^^'LA7oX''°'^'^(''''^''^'>"'^'^''''^^'^^G^""+0P«cos"^^

Trr

la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs entières et positives de n, y compris zéro.

Lorsqu'on supposera le rayon / infini, la première partie de cette expression disparaîtra, la seconde changera de forme, et la formule conviendra à tous les points de l'espace. Çn faisant alors

TITT ;r ,

la somme 2' se changera en une intégrale relative à a, qui s'éten-

„Zo THÉORIE MATHÉMATIQUE

dra depuis a= o jusqu'à «= oo , et l'on aura

M = -L 2 [CCrPJ ï'('^' ô'' 4')cosar'cosarsin ^' dadr' S' d-i'~\.

'lu

La fonction u ou F(r, 6, 4) ^^ trouve ainsi exprimée pour tous les points de l'espace par une série de quantités périodiques, dont tous les termes sont des intégrales quadruples. Par le théorème de Fourier (n" 102) , étendu à une fonction f{x, y, z) des trois coordonnées rectangulaires X , y, z, d'un point quelconque, cette quantité u ou f{oc , j , z) se trouverait exprimée par une intégrale sextuple , savoir :

it — — I I I I I I f{x' ,y ,z')cos<t{x-x')coiÇ{y-y')cosy{z-z')diidZdydx' dj dz

On emploiera l'une ou l'autre de ces deux expressions d'une même quantité , selon les différentes questions où l'on en devra faire usage.

(ii5). Le théorème du n° 106 a sufli pour démontrer celui dun" io5; mais la première de ces deux propositions est comprise dans une autre plus générale , qu'il est bon de connaître.

Soient c une constante positive quelconque, et p la même quantité que dans le n" 106, savoir :

p = cos 6 cos G' -I- sin 9 sin 6' cos (4' — 4') ?

si nous faisons

«y o«y o (1 — 2cip + a')

2CLp •

et que nous supposions «< i, pour fixer les idées, nous aurons

à la limite oix la différence i — a deviendra infiniment petite; théorème qui aura lieu, comme celui du n" 106, pour toutes les valeurs de 6 et 4 comprises depuis 6 = o et -vj, =r o jusqu'à è r=: tt et G=:27r, et qui se démontrera absolument de la même manière.

DE LA CHALEUR. a5t

Toutes les fois que la fonction y (9', 4) sera telle, que les intégrations relatives à G' et 4-' pourront s'effectuer sous forme finie par les règles ordinaires , sans attribuer à la constante a aucune valeur particulière, il sera possible de vériGer la valeur de X qui^^répopd à la limite a = I. Pour en donner un exemple , prenons /(ô', 'l'')=p. En faisant ô'= 6 et 4=4 dans l'expression de p qu'on vient de rappeler, on aura /(â, 4) ^^ ^ > ^^ quantité X sera , ,

c(i — «'f f^ /^2T p sin 6'dyd-l'