II, , ..•+J

( I — 2xp + «')

d'après le théorème général , il faudra donc que cette quantité se réduise à l'unité pour la valeur particulière a = i. C'est ce qu'on vérifiera de la manière suivante.

Au lieu de l'intégrale double contenue dans X, considérons, pour plus de généralité, l'intégrale ;. .i ^^■,:

<p/>.sin 6aoV/4,

dans laquelle (pp est une fonction quelconque de p. Décrivons une surface sphérique d'un rayon égal à l'unité, par son centre menons arbitrairement un axe fixe, et par cet axe un plan fixé. Soient 6' l'angle compris entre un rayon quelconque et cet axé, 4' l'angle que fait le plan de ces deux droites avec le plan fixe , et ds l'élément différentiel de la surface sphérique auquel aboutit le rayon quelconque. Les constantes û et 4 sei-ont les valeurs de 6' et 4' qui répondent à un rayon déterminé, et /> exprimera le cosinus de l'angle compris entre ce rayon et celui qui répond à G' et 4 • On aura

ds = sinGWÔ'^4';

l'intégrale précédente se changera en celle-ci f/<ppds, et elle s'étendra à tous les points de la surface sphérique. Or, l'angle dont p est le cosinus et la fonction Çp ne dépendant aucunement de la direction arbitraire de l'axe fixe à partir duquel l'angle 6' est compté, il est évident que cette dernière intégrale double en sera aussi indépendante ; ou peut donc, si l'on veut, faire coïncider cet axe avec le rayon qui répond aux angles G et 4» et si l'on représente alors par ô^ et 4/ ce que

deviennent les angles variables 6' et 4', il en re'sultera

^ = cos6^, c?J = sin6^c?ô^rf%J>,= — dpd-\^.

Vm\éer&\e ff^pds , étendue à la surface sphérique entière, deviendra , de cette manière ,

ff(ppds = rjyj" <pp . sin 6,^9,^4/ —f,'f^^ '^P ^P ^4/ > d'où l'on conclut

f" r^' (fip. sin 6 WÔW^' = 2 TT r ' (ppdp ;

ce qui est le théorème cité plus haut (n° 1 13), au moyen duquel on réduit une classe très étendue d'intégrales doubles à des intégrales simples.

En l'appliquant à l'intégrale contenue dans l'expression de X , elle se réduira à celle-ci :

27rpdp

I+jC '

qui s'obtient par les règles ordinaires , quelle que soit la constante et. De cette manière , on trouve

{(' - «y [(c - 2)« + (i -hcLY]

+ (i H- «y [(c 2)a - (i — uy]};

quantité qui se réduit effectivement à l'unité, dans le cas de a = i.

DE LA CHALEUR. a55