CHAPITRE IX

Distribution de la chaleur dans une barre dont les dimensions transversales sont très petites.

(n6). Considérons, généralement, une barre homogène ou hétérogène, dont la section perpendiculaire à sa longueur peut varier d'un point à un autre, pourvu qu'elle soit toujours très petite; supposons-la d'abord échauftè'e d'une manière quelconque suivant toute sa longueur; et proposons-nous de déterminer, à un instant donné, la température qui répond à une section normale aussi donnée.

Soit EE' (fig. i5) l'axe de la barre, compris dans son intérieur, et perpendiculaire en E et E' aux deux sections planes qui la terminent. Sur le prolongement de EE', prenons un point fixe C. Soit aussi M un point quelconque de EE'; et faisons

CM = X, CE = h, CE' = h' ,

de sorte que h! — h, x — h , h' — x, expriment la longueur de ia barre et les distances du point M à ses deux extrémités. Appelons ca l'aire de la section normale faite par le point M, et £ le contour de cette section. Les dimensions de o) seront supposées très petites par rapport à sa longueur EE' ; et, dans cette hjpothèse , on pourra regarder la densité, la chaleur spécifique et la température comme étant sensiblement les mêmes en tons les points de chaque section normale. Nous désignerons par p et c la densité et la chaleur spécifique de la matière de la barre qui répondent au point M ou à la section &> ; et , au bout d'un temps quelconque t, Hous représenterons par u la température relative à cette même section normale.

Les quantités a , i , p , c , seront des constantes données , si la barre est homogène et partout également épaisse; et, en général, ces quantités seront des fonctions données de x, La quantité u sera une fonction inconnue àc x ei t qu'il s'agira de déterminer. A la rigueur, Cl) , e , p , c , varieront aussi avec la température ; mais , dans les applications qu'on fera des formules suivantes, on pourra faire abstraction de cette variation, et regarder ces quatre quantités comme indépendantes de t.

Cela posé, je divise la barre en tranches normales d'une épaisseur insensible. En appelant » l'épaisseur de la tranche qui répond au point M, son volume, sa masse et sa surface latérale seront ojji, pa», êH. Soit M' un point de la droite ME' très voisin de M; faisons

CM' = x', MM' =r s;

désignons par où , p', u, ce que deviennent ce, p, u , quand on y change x en jr' ou x -\- s; et appelons n' l'épaisseur de la couche normale qui répondra au point M', et dont la masse sera p'a'n'. Si l'on considère l'échange de chaleur entre chaque partie de grandeur insensible, appartenant à la masse pwn, et toutes les parties semblables comprises dans sa sphère d'activité et appartenant à la masse p'ûj'n', il est évident que cet échange sera le même dans toute l'étendue des deux sections o) et ct>' , excepté à des distances de leurs contours, moindres que l'étendue serïsible du rayonnement moléculaire. En supposant donc que les dimensions de «, quoique très petites, soient néanmoins extrêmement grandes par rapport à cette étendue, et négligeant, en conséquence, les échanges de chaleur qui ont lieu près de la surface latérale de la barre, on pourra supposer la totalité de la chaleur émanée de la tranche pci») et absorbée par la tranche p'co'n', proportionnelle à l'aire œ de la première; et comme elle est aussi proportionnelle à leurs épaisseurs et à leurs densités (n* lo), et qu'elle s'évanouit en même temps que la ditTérence de leurs températures, on pourra la représenter, pendant l'instant^/, par un produit

copp'yiy]'F (u — u')clt,

dans lequel P est un coefficient positif, qui n'a de valeiirs sensibles

que pour des valeurs insensibles de la distance MM'. En même temps, la chaleur émanée de la masse pV»' et absorbée par fan pendant cet instant cit, pourra être représentée par

«>'p'>,P'(«' — u)dt;

mais cette quantité devant résulter de la précédente, par la simple permutation des lettres relatives au point M et de celles qui répondent au point M', il faudra qu'on ait

P = co'P'.

Nous exprimerons chacune de ces deux quantités égales par le produit

(p étant une fonction de s très rapidement décroissante, et sensiblement nulle à une très petite distance que nous représenterons toujours par /, comme dans le chapitre IV. Celte quantité sera, en outre, une fonction symétrique par rapport à m et u', ainsi qu'à x et x' ; elle ne dépendra pas de x et x' , lorsqu'il s'agira d'une barre homogène.

Il résulte de là , que si le point M est situé à une distance ME de E' qui surpasse /, la quantité de chaleur communiquée par la tranche f»» pendant l'instant dt , à la partie ME' de la barre, sera la somme des valeurs de

^(û) -|- ù)')m'^{s, u, II', X, x') (u — u')dt,

étendue à toutes les valeurs sensibles de la fonction (p, dans laquelle fonction on a compris le facteur ff,', ce qui n'en change pas la nature. De même, si l'on considère un autre point M^, appartenant à la partie ME de la barre et situé à la distance ^ de M; que l'on désigne par x^ la distance CJNI^ , de sorte qu'on ait o"^ = a? — s ; et que l'on représente par »^, co^, u^, ce que deviennent h, ou, u, relativement à ce point M^, la somme de toutes les valeurs sensibles de

l(^ + «''J>'^<P(-y> ", «,, ^, x) {u — u^)dt,

exprimera la quantité de chaleur communiquée pendant l'instant dt,

par la tranche p&»i , à la partie EM de la barre. En réunissant cette somme à la pre'cédente, nous aurons donc la perte totale de chaleur de cette tranche, provenant de la communication de la chaleur; et comme ces deux sommes pourront être remplacées par des intégrales dans lesquelles on mettra ds au lieu des épaisseurs »' et >i^ (n° 46), il s'ensuit que cette perte de chaleur de fcùy\ , pendant l'instant dt^ aura pour expression

2L/0 '^^^' "' "' ^' ^')(*'+*'')("-"')«'*+/ <P(*, « , ",! a:, ar^)(«+«^)(«— uje/j J y,di.

Mais, en outre, la même tranche éprouve pendant cet instant une autre perte de chaleur provenant du rayonnement extérieur et du contact de l'air , qui sera proportionnelle à la surface latérale nê de la tranche, et que l'on pourra représenter par

Viip {il — K)dt;

'C, désignant la température extérieure (n° 67) qui pourra être une fonction donnée de f, ou simplement une constante donnée; et/) représentant un coefficient positif, qui pourra dépendre de « et ^, et varier d'un point à un autre de la barre, quand l'état de sa surface ne sera pas partout le même. Il faudra donc ajouter cette dernière quantité à la précédente, pour avoir toute la diminution de chaleur de la tranche [coy\ correspondante à la variation du de sa température; laquelle diminution a aussi pour valeur — cccrdu (n°5). Donc, en égalant ces deux expressions d'une même quantité, et réunissant en une seule les deux intégrales relatives à s, nous aurons

ccj^ = ^y^ [<P(-y, ", «', X, x') {u -f- co') {ul — u)

+ <p{s,u,Ui,x^ x^ ) (w H- U)') {u, — «)] ds —ipiu — l);

résultat d'où l'on déduira facilement l'équation aux différences partielles relatives au mouvement de la chaleur, suivant la longueur de la barre.

Le flux de chaleur qui a lieu à ti'avers la section m correspondante au point M, proviendra des échanges entre toutes les tranches de la partie EM de la barre et toutes celles de la partie ME'; sa valeur

sera donnée par une intégrale double, étendue depuis zéro jusqu'à /, de part et d'autre de cette section; et si on le désigne par Yaicit pendant l'instant dt, en le considérant de la partie EM dans la partie ME', il est aisé de voir, d'après ce qui précède , que l'on aura

Tco = - f 1 <p(s,ul, u,x',x) {cû' + cû){iii — u')ds'ds,, (2}

en faisant

MM' = s', MM, = s^, M^M' = s,

et conservant d'ailleurs toutes les autres notations.

(117). Dans la formule (i), si l'on développe suivant les puissances de s les quantités comprises sous le signe f , excepté celles qui varient très rapidement avec cette variable , les termes indépendans de s et ceux qui dépendent de sa première puissance se détruiront. Si l'on veut traiter comme on l'a fait dans le n" 49 > l'étendue du rayonnement moléculaire comme insensible, il faudra donc borner l'approximation aux termes dépendans du cai-ré de s. On aura alor.*;

, du I ^ d'u

dx 2 dx^ '

du ^, i ^ d'u

' """ dx "^ 2 dx^'

11 suffira de conserver la première puissance de s dans les développemens de co' et cù^, et dans celui de la fonction i^; ou aura, en conséquence,

; ■ deô

da

et en observant que la fonction cp est symétrique, soit par rapport aux températures, soit par rapport aux distances auxquelles elles répondent , nous aurons aussi

<p {S, «, u,, X, X,) = Q - i{âr^Yx + d^)'

où l'on a fait, pour abréger,

<p (s, u, u, ce , x) = Q.

Au moyen de ces différentes valeurs, et en remplaçant ^ -j^ -^ -^

par la différence partielle de Q prise par rapport à ^ et à tout ce qui en dépend, c'est-à-dire, à J? et à la température u considérée comme une fonction de jr, la première partie de la formule (i) deviendra

d.a,^ r'qs'ds

dx J o

dx

Donc en étendaut jusqu'à l'infini l'intégrale relative à ^, ce qui est permis, et faisant •

r" Q s^ds = k, il en résultera

d dx

pour l'équation demandée du mouvement de la chaleur.

Au degré d'approximation où nous nous arrêtons, il suffira de conserver la première puissance de s sous le double signe ff dans la formule (2), et de cette manière, on aura immédiatement

résultat d'où l'on peut aussi déduire l'équation précédente. Il s'ensuit, en effet, que l'excès de chaleur qui va de la partie EM dans la

partie ME' de la barre pendant l'instant dt , est exprimé par — k -^ cùdt ;

celui qui va pendant le même instant, de la partie EM' dans la partie

M'E', aura donc pour expression — k -jz ^dt j sdt , en négligeant le carré de s; par conséquent l'augmentation de chaleur qui en résultera pour la partie correspondante à MM' ou s, sera égale à

— -, sdt', en en retranchant la perle de chaleur sip (ic — Ç)dt,

qui a lieu pendant l'instant dt, à travers la surface late'rale si. de cette partie de la barre , on aura donc son augmentation de chaleur casdu correspondante à la variation du de sa température; et en supprimant le facteur commun sdt, il en résultera l'équation (5).

(i 18). Si l'on désigne par ■is' et ■'ût' ce que devient la quantité p relativement aux surfaces planes qui terminent la barre en E et E', par e et e' les aires de ces sections normales, et par v et v' les températures qui répondent à des points /a et fx' situés à une distance très petite, mais un peu plus grande que /, de E et E', les quantités '23- (t- — C)^dt et rar'iy' — Qe'dt seront les flux de chaleur qui auront lieu pendant l'instant dt , de dedans en dehors, à travers les surfaces e et e . Appelons aussi y et y' les valeurs de F relatives aux points [x et /*'. Les flux de chaleur pendant l'inslant dt , de EjiA dans fxEJ et de E'f<' dans yW-'E, auront pour expressions y'c'dt et — yedt. D'ailleurs, si les dimensions de e et e', quoique très petites , sont cependant supposées très grandes par rapport aux longueurs E^ et /a'E' des parties extrêmes, on pourra négliger les pertes de chaleur résultant du rayonnement à travers leurs surfaces latérales, par rapport aux flux de chaleur à travers leurs sections normales. Les accroissemens de chaleur de ces parties, pendant l'instant dt , seront donc simplement

[y'^^'(^^>^Qydt, -\y + <z!r{^ — !:)]edt;

par conséquent, les coefllciens de e'dt et edt, dans ces expressions, devront élre des quantités extrêmement petites, comme les longueurs E^ et /W.'E', sans quoi la température varierait avec une extrême rapidité , d'un instant à l'autre, dans les parties extrêmes de la barre. Nous admettrons qu'une telle variation de température n'a plus lieu dans aucune partie de la barre, après les premiers momens de son échauflement ou de son refroidissement (n° 68). Nous continuerons aussi de regarder comme insensible l'étendue / du rajonnement moléculaire; les longueurs E/a et jx'^' des parties de la barre que nous considérons seront également insensibles; et, par suite, les coe/Tî-

24o THÉORIE MATHÉMATIQUE

ciens de edt et e'dt seront sensiblement nuls ; en sorte que l'on

aura

y + <w{v — Ç") = o, y' — 'ar'(p' — Ç) = o.

On pourra aussi , sans erreur sensible , faire successivement x=.h ei x = h', dans les expressions de F et « , pour en déduire les valeurs des quantités y el v , y' et v' , que ces équations renferment. Donc, abstraction faite des premiers momens qui suivent l'état initial de la barre , et en supposant insensible l'étendue du rayonnement intérieur, nous aurons

k -j iff(ii — Ç) = o , pour X = h , \

équations qui se déduisent aussi immédiatement de l'équation (3) du n* 67, relative à la surface d'un corps de forme quelconque.

Lorsque les sections extrêmes e et e' de la barre seront dans le même état que sa surface latérale , ce qui suppose que cette surface soit aussi partout la même , on fera «zs* = «jïp' = p. Si la barre est placée dans le vide et que l'une de ses extrémités soit imperméable à la

chaleur, on aura 'îër=:o ou iz«r'=o; ce qui réduira à ^ := o l'équation relative à cette extrémité. Si la température qui répond à l'une des extrémités est entretenue , par un moyen quelconque , dans un état constant ou variable suivant une loi donnée, on remplacera par u = \] celle des deux équations (4) qui s'y rapporte ; U étant la température constante ou donnée en fonction du temps. Observons aussi que les sections normales de la barre étant supposées très petites, les équations (5) et (4) subsisteront encore lorsque l'axe EE', auquel ces sections sont toutes perpendiculaires, sera une ligne courbe quelconque , pourvu que les distances x soient comptées sur cette courbe, à partir d'un point fixe C choisi arbitrairement. Il pourra arriver que cet axe soit une courbe rentrante sur elle-même, et que la barre se change en un anneau. Les points E et E' étant alors un seul point, il faudra que les températures désignées par v et / soient égales, et que les flux de chaleur ^ et

>' soient aussi égaux ; ou , autrement dit , il faudra que les valeurs de u qui répondent à j: = /i et x = h', soient égales, ainsi que les valeurs

de r, ou celles de -7- ; et les deux équations qui en résulteront devront remplacer les équations (4). Dans le cas d'une barre changée en un anneau, on pourra prendre tel point que l'on voudra sur l'axe curviligne, pour le point où se réunissent les deux extrémités E et E'; d'où il résuite que la fonction u et son coefficient différentiel

j- devront avoir cette propriété de ne pas changer de valeurs , lorsqu'on y augmentera la variable x d'une quantité égale à la longueur entière de l'axe curviligne : c'est , en effet , ce que l'on vérifiera par la suite.

Ces diverses équations particulières , relatives aux différons cas qui pourront se présenter, jointes à l'équation (3) commune à tous les points de la barre, et à la loi de ses températures initiales, suffiront toujours pour déterminer complètement la valeur de u en fonction de X et t.

Quand la température extérieure Ç' sera constante, et que les températures des extrémités de la barre seront entretenues à un dej^ré constant, la barre parviendra, après un temps plus ou moins long, à un état permanent dans lequel u ne sera plus qu'une fonction de x. D'après l'équation (5), on aura donc, pour déterminer cette inconnue ,

d.ùift —

dx

équation différentielle du second ordre dont l'intégrale contiendra deux constantes arbitraires , que l'on déterminera au moyen des valeurs données de u qui répondent a jc = h et x = h'. Comme elle ne contient pas la chaleur spécifique c , la loi des températures permanentes de la barre sera aussi indépendante de cet élément , qui influera seulement sur la loi du refroidissement de la barre avant de parvenir à son état final.

(119). Si l'on fait abstraction du rayonnement latéral, et que l'on suppose constante la section normale co , l'équation (3) se ré-

duira à

du ax

dt dx '

Pour qu'elle coïncide avec celle que nous avons déduite , dans le n° 65, de 1 équation (7) du n° /{g, relative à un corps de forme quelconque , il faut que l'inte'grale de'signe'e par k dans le n° 117 soit la même que celle qui avait été représentée par cette lettre dans le n" 49- Ces intégrales sont, d'après les notations employées dans ces deux numéros ,

k = r'qs'ds, k = -^- f^Yr^dr;

et, par la nature des quantités Q et V, on peut indifféremment les étendre à la limite /, comme nous le faisons ici, ou jusqu'à l'infini , comme dans les numéros cités. Ce sont donc ces deux valeurs de k dont il s'agit de vérifier l'identité.

Puisque, dans le calcul des échanges de chaleur, on peut décomposer les corps immédiatement en élémens différentiels, et remplacer les sommes par des intégrales (n° i6) , je prends djc pour l'épaisseur de la tranche normale qui répond au point M , et <^ pour celle de la tranche correspondante au point M'; je désigne aussi par d<x un élément quelconque de la section a, et par dy' un élément aussi quelconque de la section «' ; en sorte que les élémens différentiels des volumes de ces deux tranches soient exprimés par dxd^ et dsdo' . Soit r la distance de l'un à l'autre. L'échange de chaleur, pendant l'instant dt , entre les parties matérielles qui leur correspondent, aura pour expression , d'après le n° 45 ,

dxdsda-da- rt , /\ 1

R (tt — u) dt ;

R étant une fonction de /• et d'autres variables, qui n'a de valeurs sensibles que pour de très petites valeurs de r. Par conséquent , la quantité de chaleur émanée de la tranche correspondante au point M, et absorbée par celle qui répond au point M', pendant le même instant, sera l'intégrale de cette quantité, étendue à tous les élémens

dff et d'y' des deux sections uorniales w et a, relatives à ces points M et M'; laquelle quantité a été représentée plus iiaut (n° 1 16) par

i (&) + 0)') dxds . $ (^ , u, lî, X , x') [u — u') dt ,

en remplaçant par dx et ds les épaisseurs >i et «' des deux tranches. Si donc on supprime le facteur {u — u')dxdsdt, constant dans cette intégration et commun à ces deux dernières formules ; que l'on réduise R et (p{s, u, u' , x, x') aux premiers termes V et Q de leurs développeraens (n" 49 ^t n?)» *^^ ^*^^ l'on mette &> à la place du facteur ^ (ûj + a') , nous aurons

équation dans laquelle V est une fonction de r, m, jt, et Q une fonction de s , u, X , qui s'évanouissent dès que /' ou s surpasse /.

Maintenant, pour effectuer l'intégration relative à la section co' , j'abaisse de l'élément da de la section co une perpendiculaire sur a' , qui rencontre cette section a en un point 0 ; j'appelle s' la distance de l'élément da' de «' au pied 0 de cette perpendiculaire, et 4/ l'angle que fait cette droite s' avec une ligne fixe menée par le point 0 dans le plan de cù' ; de cette manière, on aura

r* = s" + s'', do-' = s'ds'd-^;

et si le point 0 est situé à une distance sensible du contour de a, c'est-à-dire, à \ine distance plus grande que l, on devra étendre l'intégrale dont il s'agit depuis -vj/ = o jusqu'à 4 = 2"^, et depuis s' ^=0 jusqu'à s' = l, ou, si l'on veut, jusqu'à / = oo . En observant d'ailleurs que la quantité V est indépendante de l'angle -vf/ , on aura alors

Dans cette dernière intégrale, je remplace / par la variable r; on

aura s'ds' = T'dr, et les limites relatives à r seront r=s et r=<x> ; on

aura donc

rydo-' /•* Ydr

Les dimensions de m étant extrêmement grandes par rapport à l , on peut, dans l'intégration l'elative à a, négliger lesélémens pour lesquels le point 0 est situé à une distance de la surface latérale de la barre, moindre que /, et prendre, en conséquence, cette dernière

valeur de / — -^ , pour celle de cette quantité dans toute l'étendue

de cette intégration ; et comme cette valeur est la même dans toute cette étendue , il s'ensuit que l'on aura alors

d'où l'on conclut

Cela posé, en intégrant par partie, on a

le terme compris hors du signe / s'évanouit aux deux limites s = o et s:= l; de plus, en différentiant la valeur précédente de Q par rapport à^, il vient

ds s '

en désignant par V ce que devient V quand on y met s au lieu de r; on aura donc

f^ Qs^ds = Ç f^ Y's'ds;

ou bien, en employant la variable r au lieu de s dans la dernière intégrale ,

f' Qs'ds = ^J^' Yr'dr;

ce qu'il s'agissait de vérifier.

(i2o). La quantité A- qui entre dans l'équation (3) étant ainsi la même que celle qui est désignée par la même lettre dans l'équation (7) du n" 49» on peut encore vérifier que ces deux équations

coïncident, non-senlement dans le cas d'une barre cylindrique ou prismatique, comme dans le n° précèdent, mais aussi dans le cas d'une barre conique, en supposant toujours que l'on fasse abstraction du rayonnement latéral de la barre.

En eflet, prenons le sommet du cône pour le point C; appelons r la distance CM qui était précédemment désignée para"; la section correspondante co se déduira de la section e qui répond au point E ou à la distance CE = A , de sorte que l'on aura

En supprimant le terme de l'équation (3) qui dépend du rayonnement extérieur, on aura donc

, . du

,du dr

Cr* -y = j .

dt dr

Mais, si le point C est le centre d'une sphère, et si, dans ce corps, la conductibilité k et la température u sont les mêmes en tous les points également éloignés de C, de manière que ces deux quantités ne soient fonctions que de r et t, il est évident que la distribution de la chaleur dans chaque cône appartenant à cette sphère, et qui a son sommet au point C, sera la même que dans le cône isolé auquel se rapporte 1 équation précédente; par conséquent, cette équation devra coïncider avec l'équation (7) du n° /^^, appliquée à la sphère dont il s'agit.

Or, en plaçant au point C l'origine des coordonnées rectangulaires X, jr, z, du point quelconque M, on aura

la température u n'étant fonction que de t et du rayon vecteur r, on en conclura

du du X du du y du du z

dx dr r ' djr dr r ' dz dr r ^

et parce qu'il en est de même à l'égard de k, il en résultera

. , du , ; ^"

dx dr x^ , , du r^ + z^

dx dr r'' ' dr ' r'

dy dr j du x"" + z'

dy dr r"- * dr

dz dr ^ , 1 du x'+j"

dz dr ' 7^ "^ 1? ' ~P ■'

au moyen de quoi l'équation {j) se changera en celle-ci :

du du ' dr 7.k du

^Tt ~ ~~dF f" T 5? '

qui coïncide avec la précédente, après qu'on a multiplié ses deux membres par r'.

(i2i). Examinons actuellement le cas où l'étendue du rayonnement intérieur n'est pas regardée comme insensible ; et pour simplifier la question, supposons la barre cylindrique et homogène, et la conductibilité indépendante de la température ; en sorte que la section a» soit constante, et que la fonction ç comprise dans l'équation (l) ne soit fonction que de la variable s; ce qui réduira cette équation à

c ^ = f^ («' + ", — 2u) q>sds ^(m — Ç). (6)

En observant que u' et m, sont ce que devient u, lorsqu'on y change x successivement en x-{-s et x — s, on aura, d'après le théorème de Taylor,

, , du , s' d'u , s^ d^u ,

" = " + ^ ^ + r^. 5? + rrs ^ + etc.,

du s' d^u s^ d^u

et, par conséquent^ " ' ~ ~ -=

„ du , ji d^u , s^ d^u ,

U 4- u, - 2u = 5»4.__ + g-g + etc.

Si donc on fait d'abord

I s*(psds

et ensuite

^ f s^ipsiù =: Aa«, =-r^-n C s^^sds = Aa»^% etc.,

l'équation (6) se changera en celle-ci :

^5r+f("-0 = ^(^ + «»^ + «"^'5^H-etc.);(7)

mais pour qu'on en puisse faire usage , il faudra que la série contenue dans sou second membre soit convergente.

Or, la ligne l étant supposée de grandeur sensible, mais très petite, et, ë, etc., seront aussi des lignes très petites; si donc la fonction u ne varie pas très rapidement avec x, la série dont il s'agit sera effectivement très convergente; au contraire, si m varie très rapidement, les coefllciens différentiels j— , -j-^, etc., formeront une

suite très rapidement croissante, et la série que nous considérons cessera d'être convergente et pourra même devenir très divergente. Mais, en excluant le cas où la température initiale et arbitraire varierait très rapidement dans quelques parties de la barre, la variation de u à un instant quelconque ne peut être très rapide par rapport à x, que dans les parties extrêmes Eu. et fj,'E' de la barre auxquelles l'équation (i) ou l'équation (7) que l'on en a déduite ne doit pas s'appliquer. Ainsi, d'une part, la série contenue dans le second membre de cette équation (7) sera toujours très convergente, de sorte qu'on pourra la réduire à un certain nombre de ses premiers termes; et d'un autre côté, dans la valeur de u en fonction de < et de a:, qui proviendra de l'intégrale complète de cette éqiiation, on devra supprimer, comme étrangers à la question, les termes de cette expression qui varieraient très rapidement avec jc.

C'est d'après cette considération, comme nous l'avons déjà dit (n° 48), que l'on ramènera toujoui's au même degré de généralité la valeur de u tirée de l'équation (7) , quel que soit l'ordre de cette

équation , résultant du nombre de termes que l'on aura conservés dans son second membre. Si la barre est parvenue à un état permanent, de sorte qu'on ait — = o, l'équation (7) se réduira à une

équation différentielle du 2°, du [\ , du 6° ordre, selon que

l'on poussera l'approximation jusqu'au i", au 2% au 3'... terme de son second membre; mais, dans tous les cas, après que l'on aura supprimé les parties de son inîégrale étrangères à la question, la valeur de u ne renfermera plus que deux constantes arbitraires, suffisantes pour satisfaire aux conditions relatives aux deux extrémités de la barre : il serait absurde, en effet, qu'un problème fût déterminé ou indéterminé, à volonté, selon le degré d'approximation auquel il nous conviendrait de le résoudre.

(122), Pour vérifier cette assertion sur un exemple très simple, supposons que la température extérieure Ç' soit constante, que les températures des deux extrémités de la barre soient aussi invariables, que la barre soit arrivée à son état permanent, et que l'on conserve seulement les deux pi'emiers termes du second membre de l'équation (■y). Prenons la température 'C, pour le zéro de l'échelle thermométrique, et faisons, pour abréger,

en faisant aussi 27=0 dans l'équation (7), on aura

pour l'équation différentielle dn 4° ordre qu'il s'agira de considérer. Si la surface latérale de la barre est partout dans le même état, et que la quantité p soit supposée indépendante de la température, aussi bien que la conductibilité A, la quantité g sera une constante; et a en étant aussi une, on satisfera à cette équation (8) en prenant

ff désignant la base des logarithmes népériens, et m une constante

telle que l'on ait

d'où l'on tire

- :^^ (i dz Vi + 4^r)-

La ligne que a représente est très petite et comparable à l'étendue / du rayonnement intérieur; elle est donc très petite eu égard aux

dimensions de la section normale de la barre (n" 116), et — est une petite fraction numérique ; ~ en sera une aussi , en général ; par conséquent, "^-^ ou a'g:* sera une fraction extrêmement petite. On aura donc, en série très convergente,

d'où il résulte que si l'on prend le signe inférieur dans la valeur de m*, et que l'on néglige la quatrième puissance de ag , nous aurons

m* = g* (i — a'^*)» m = dz g(i — i a»g');

et, au contraire, si l'on prend le signe supérieur, et que l'on réduise la valeur de m* a son premier terme , ce qui suffira pour l'objet que nous nous proposons, il en résultera

m = — —, /n = db - y — i .

Donc, en employant ces quatre valeurs de m, et remplaçant les exponentielles imaginaires par des sinus et cosinus d'arcs réels, nous aurons

u = Ae"-"^^ ■+- Be"f' + C sin - -\- D cos - ,

pour l'intégrale complète de l'équation (8); A, B, C, D, étant les quatre constantes arbitraires, et n désignant un nombre positif et très peu différent de l'unité, savoir :

Or, la ligne et étant très petite, on voit que les deux derniers termes de cette valeur de u varieront très rapidement avec x ; d'après ce qu'on

25o THÉORIE MATHÉMATIQUE

vient de dire, il faudra donc les supprimer comme étrangers à la question, et l'on aura simplement

u ■=. Ae-"«^ + Bé'"^'; (g)

expression qui ne contient plus que deux constantes arbitraires , ainsi qu'il s'agissait de le vérifier. Quoique cette valeur de u ait la même forme que si l'on eût considéré l'étendue du rayonnement moléculaire comme insensible, on voit néanmoins que cette étendue, quand elle a une grandeur sensible , influe sur la loi des températures permanentes de la barre, à raison du nombre n qui contient la constante a.

(i23). Ou déterminera les constantes arbitraires A et B en désignant par G et 6' les valeurs constantes et données des températures qui ont lieu aux points E et E', c'est-à-dire, les valeurs de u qui répondront à x= A et x = /i'. On aura alors

d'oîi l'on tire

ô = Ae-"«'' -\- Be"^*, 6'= Ae-"^*'-|- Be"^*';

Ôe"^''' — 6'e"§''

(lO)

en désignant par A la longueur donnée de la ban-e, de sorte qu'on ait h' — A = A.

Si l'axe de la barre est une courbe fermée, les deux points E et E' n'en formant plus qu'un seul, on aura 0' = ô. En prenant ce point pour celui d'oii l'on compte les distances x , c'est-à-dire pour le point fixe C, on aura aussi /* = D et A' = A; et si l'on substitue les valeurs de A et B dans la formule (9), il en résultera

pour la loi des températures permanentes dans un anneau dont une

DE LA CHALEUR. aSi

seclion normale est entretenue, par un moyen quelconque, à une température invariable.

Le cas le plus simple a lieu lorsque la barre se prolonge indéfiniment à partir de l'un des deux points E et E', à partir du premier, par exemple. En prenant E pour le point fixe C, de sorte qu'on ait h = o et h' = X, cf faisant la longueur A infinie , ou du moins très grande , les valeurs de A et B se réduiront à A = ô et pi = o, et l'on aura simplement

ce qui montre que les températures permanentes de la barre décroissent en progression géométrique, lorsque les distances croissent par des différences égales; résultat conforme à l'expérience, dans les limites des erreurs dont ce genre d'observations est susceptible (*). En ayant égard à la valeur de Ji, on voit que, toutes choses d'ailleurs égales, l'influence de l'étendue sensible du rayonnement intérieur a pour effet de rendre un peu moins rapide le décroissement des températures , sans en changer la loi.

Si l'on désigne par f une longueur déterminée, prise quelque part que ce soit sur la longueur de la barre , ot que l'on appelle p le rapport de la plus petite à la plus grande température qui ont lieu aux extrémités de f, on aura

p = e-if, logp = — g/,

en négligeant le second terme de la valeur de n. Pour une autre barre, parvenue également à son état permanent, si les quantités p et g deviennent p' et g' , on aura de même

p' = e-^'f, loglp' = - g'f;

d'où l'on conclut

log p g- '

En supposant que la section normale a et son contour é soient les

(*) Traité de Physique de M. Biot , tome IV, pages 666 et suivantes.

mêmes dans les deux barres; en supposant, de plus, que leurs surfaces soient dans un même état, où elles ont été amenées, si cela est nécessaire, au moyen d'une couche additive (n° 40» ^^ sorte que la quantité p soit aussi la même pour les deux barres ; enfin , en désignant par k' la conductibilité de la matière de la seconde barre, qui est k pour la première, le rapport de g'* à g' sera celui de A à k', et l'on aura, en conséquence,

i / log f'x .

k' — K\osfJ '

équation très simple dont les physiciens se sont servis pour comparer les conductibilités de deux matières diflerentes, mais qui exige une très grande précision dans les valeurs de p et p' que l'on y substitue.

(124). Pour donner un exemple de la distribution de la chaleur dans une barre hétérogène, supposons que l'on juxtapose exactement l'une à la suite de l'autre deux barres homogènes qui ont la même section normale, et qui peuvent différer par leurs conductibilités et par l'état de leurs surfaces, qu'on suppose le même dans toute l'étendue de chaque surface.

Les points E et E' étant toujours les deux extrémités de la barre totale, appelons E^ le point de jonction de ses deux parties. Soient A et A' leurs longueurs EE^ et E^E' ; prenons l'extrémité E pour le point d'où l'on compte les distances x ; supposons la barre entière parvenue à son état permanent; et, dans cet état, désignons, relativement à la distance quelconque x, par u la température qui a lieu dans la partie EE^ , et par u' celle qui a lieu dans l'autre partie E^E'. En considérant l'étendue du rayonnement comme insensible , nous aurons , d'après l'équation (9) , appliquée successivement à ces deux parties,

u = Ae-s^ -f- Be^' ,

g et g' désignant les mêmes constantes que dans le numéro pi'écédent, et A, B, A', B', étant quatre constantes arbitraires que Ton déterminera de la manière suivante.

La valeur de u subsistera depuis x = 0 jusqu'à x = A, et celle de

tt' depuis xz=X jusqu'à j: = ^ + A'. Pour j: = o, la première devra coïncider avec la température du point E, que nous représenterons par 6, et pour a7 = A + A', la seconde devra être égale à la température aussi donnée du point E', qui sera représentée par â'; on aura donc, en premier Heu ,

De plus, en vertu des équations (5) du n° 70, on aura au point de jonction E, les deux autres équations

dans lesquelles q est une quantité positive, dépendante des maiières dont les deux parties de la barre sont formées. En y substituant les expressions précédentes de u et u, et donnant ensuite à ^ la valeur particulière a: = A, qui répond au point E^, on aura

{q— gk)ke-^+{q+ gA") Be=^ = yA'e"»"'^ -f- fyB'e^'% (

(^ + g'A-')A'e-"V(î — g'A-')B'e^''= ?Ae-^ + ^Be^^ ) ^"^

et ces deux équations, jointes aux valeurs précédentes de 6 et 6', feront connaître les valeurs demandées de A, B, A', B'.

Si la partie E^E' de la barre se prolonge indéfiniment , de sorte qu'on ait A' :^ ce , la valeur de B' sera nulle , sans quoi la valeur précédente de ô' serait infinie; on aura donc simplement

ce qui montre que la température u' de cette partie E^E' décroîtra en progression géométrique pour des valeurs de x croissantes par des différences égales ; et cela doit être , en effet , puisque E E' est alors une barre dont l'extrémité E^ est entretenue à une température invariable , et qui se prolonge indéfiniment à partir de ce

point E^. Eu désignant par / le rapport des températures qui répondent aux deux extrémités d'une partie f prise quelque part que ce soit sur E^E', nous aurons, comme plus haut,

On ne doit pas perdre de vue que les formules précédentes n'ont pas lieu au point même E^ ; elles ne subsistent qu'à une distance un peu plus grande que l'étendue du rajonnement moléculaire, de part et d'autre de ce point de jonction : à des distances moindres la température varie très rapidement; en sorte qu'à cette distance même, quoiqu'elle soit très petite et que nous l'ayons supposée insensible , la température peut avoir des valeurs très différentes pour les deux parties de la barre. Je désignerai par jk et y' les températures de ces deux parties , qui ont lieu à cette distance de E^ un peu plus grande que l ; les valeurs de / et j' se déduiront de celles de u et u', en y mettant pour X des quantités très peu différentes de A, ou bien, avec une approximation suffisante, en y faisant x= X; par conséquent, dans le cas où la partie E^E' est infinie, nous aurons

Le second membre de la seconde équation (i i) sera la valeur de qj ; et en faisant B' = o dans son premier membre, nous aurons aussi

qr = (q + s'k')k'é-^'\ On conclut de là

et comme la quantité g'k' est toujours positive, il s'ensuit qu'on a aussi toujours j- ^j-'. ,

Je représente par p^ le rapport de ^' à^; en substituant dans cette dernière équation, à la place de g', sa valeur précédente, elle deviendra

?/ = (7/ + ^' log ;>) ?,.

Lors donc que la conductibilité k' relative à la matière de la par-

tie E,E' de la barre sera connue, que l'on aura pris pour f une longueur déterminée, et que l'on aura déterminé, par l'expérience, les deux fractions f' et f^, cette dernière équation fera connaître la valeur de la quantité ^ relative au passage de la chaleur d'une matière dans une autre. Nous n'avons aucune donnée sur sa grandeur, qui peut varier avec la matière de chacun des deux corps; il serait à désirer que les physiciens l'eussent déterminée : ce serait un quatrième élément à ajouter à la chaleur spécifique, à la conductibilité et au pouvoir rayonnant des corps, dont l'expérience seule peut nous faire connaître les valeurs numériques.

(i25). Lorsque l'on considérera les quantités k et p comme variables avec la température, l'équation du mouvement de la chaleur ne sera plus linéaire par rapport à u , et dans le cas même d'une barre cylindrique et homogène parvenue à un état permanent , on ne pourra plus intégrer cette équation sous forme finie; mais si les températures de ses différens points ne sont pas très élevées , on obtiendra sans peine la valeur de u par la méthode des approximations successives.

Pour le faire voir, je suppose que les valeurs de k et p soient développées suivant les puissances de u, seulement jusqu'à la seconde puissance exclusivement; je mets, en conséquence, k-\-kmu et P H" Py^ ^ ^^ place de A' et p dans l'équation (5) ; j'y fais aussi ^■ = 0, et j'y regarde w comme une quantité constante; il vient

d'n dx

La constante g* est, comme précédemment, égale à ^. Dans le vide,

la constante y serait le logarithme népérien du nombre constant 1,0077 i^° 26)» ^•^'•^^^ l'air, sa valeur est modifiée par le contact du fluide, et n'a pas été déterminée par l'expérience (n° 09). Quant à la constante /7i , elle dépend de la manière dont la conductibilité varie avec la température, et sa valeur n'est pas non plus connue. Je supposerai la barre indéfiniment prolongée au-delà du point E, à partir duquel je complei'ai les distances oc, et dont la température donnée sera G , comme plus haut.

Cela posé, en négligeant d'abord le second membre de l'équation (12), on aura

D'après la méthode des approximations successives, on fera donc

et en substituant cette valeur de « dans l'équation (12), on négligera la nouvelle inconnue v dans son second membre ; en sorte que l'on aura

g gV = g-S- {y - 2m) e-^'.

De plus, cette inconnue v devra s'évanouir pour A = o et pour X = 00 , puisque déjà le premier terme de la valeur de u est égal à 6 et à zéro pour ces deux valeurs extrêmes de x. D'après cela, nous aurons

et , par conséquent ,

ce qui montre que, dans le cas que nous examinons, la température ne décroît plus exactement en progression géométrique pour des distances croissantes par des différences égales.

Par des expériences précises , faites sur des barres de différentes matières, si l'on parvenait à mesurer les quantités dont la loi des températures s'écarte de la progression géométrique, on en pourrait conclure la valeur de la quantité jn, en supposant connue celle de >, ou du moins, on en conclurait les différences des valeurs de m relatives à des barres dont la surface est dans le même état.

(126). Dans le cas où l'étendue du ra yonnement intérieur n'est pas supposée insensible , et auquel se rapporte la valeur de u déterminée par l'équation (n), il est bon de donner aussi l'expression cori'espondaute du flux de chaleur T.

Je suppose, comme dans l'équation (7), la barre cylindrique et

homogène, ce qui réduit la formule (a) à celle-ci :

T = f f (u, — u')<psds'ds^;

dans laquelle u' eï u^ sont les valeurs de u qui répondent a x-\-s' et X — s^, et où l'on a

Par le théorème de Taylor, on aura donc

„,-,/ = * (., + y) + ^ £:(.,.-.-) - rb S (V + /■) + T:^ij, S W - '") etc.

Or, quel que soit le nombre n, on a évidemment,

ce qui fera d'abord disparaître les différentielles paires de ii dans la valeur de F. De plus, en cteiulant l'intégrale relative à s' depuis j' = o jusqu'à s' =^co , ce qui est permis, et remplaçant ensuite / par la variable s, les limites relatives à s seront s=:s^ et i-^oo , et l'on aura

I <psch' = / psds.

Cette dernière intégrale sera une fonction de s^ qui s'évanouira pour s^ = /, et au-delà; je la désignerai par -^s^; et en la différentiant par rapport à s^, nous aurons

par la règle de la différentiation sous le signe /. En intégrant par partie, on aura donc

Le terme compris hors du signe f s'évanouit aux deux limites *, = 0

et J =/; si donc on remet dans le premier membre de cette équation

f (psds' a la place de -^s^, et que l'on emploie la lettre s au lieu

de s dans l'intégrale que renferme le second membre, on en conclui'a

et , par conséquent ,

foC ^•^'° "^ -"'"^ (P^rls'ds, = ^^ f!^"'^' «P-^^- ('4)

Au moyen du développement de u^ — u' et des équations (i3) et (i4), nous aurons, pour la valeur de T en série,

k, a, ê, etc., étant les mêmes constantes que dans le n° 121.

(127). Cette expression de T montre qu'en général le flux de chaleur n'est pas proportionnel à l'accroissement de température dans une épaisseur iuGniment petite de la barre, divisé par cette épaisseur. Cette proportionnalité, qu'on avait admise pour démontrer les équations du mouvement de la chaleur, d'une manière indépendante d'aucune hypothèse sur le mode de sa propagation (u° 65) , n'a réellement lieu que dans deux cas particuliers : lorsque l'étendue du rayonnement moléculaire est insensible , ce qui réduit la valeur précédente de r à son premier terme, en rendant les termes suivans insensibles par rapport à celui-là; et quand la température varie uniformément, quelle que soit alors l'étendue de ce rayonnement. Dans ce dernier cas, le flux de chaleur est proportionnel, comme on va le voir, au rapport constant de l'augmentation de température dans une épaisseur quelconque à cette épaisseur.

En effet, pour appliquer cette formule au cas des températures permanentes de la barre, il sulfira d'y substituer à la place de u sa valeur donnée par la formule (9). Dans le cas où le rayonnement latéral est nul, on a g^ = o; mais en supposant d'abord cette cons-

DE LA CHALEUR. aîîg

tante infiniment petite, la formule (9) devient

,^ = A + lî + (li — A)ngx.

En vertu des e'quations (10), on a, en ge'néral,

quantite's qui se réduisent à

On aura donc alors

A ' ngx '

en sorte que la température croîtra uniformément dans toute la longueur de la barre. Or, en substituant cette valeur de u dans celle de F, il vient

c'est-à-dire, une quantité proportionnelle à la différence 6 — 6' des températures extrêmes de la barre, divisée par sa longueur A; ce qu'il s'agissait de vérifier. On voit que dans ce cas d'une température croissante uniformément, le flux de chaleur est indépendant de la grandeur sensible du rayonnement moléculaire, et ne dépend,

outre le rapport , que de la conductibilité k, qui aurait lieu

si cette grandeur était insensible.

(128). Occupons-nous maintenant du mouvement de la chaleur dans l'état variable de la barre, ou de la valeur de u en fonction de t et de X. Mais supposons, pour simplifier la question, l'étendue du rayonnement moléculaire insensible, ce qui permettra d'employer l'équation (5); les quantités k et p indépendantes de u, ce qui rendra

26o THÉORIE MATHÉMATIQUE

cette équation linéaire; et enfin la température Ç constante et égale à zéro. Les quantités cù, k, p, seront des constantes ou des fonctions quelconques de.x, données dans chaque exemple.

Quelle que soit la valeur inconnue de u, on pourra la représenter (n° 84) par

M = 2 Rfi-f;

f étant une constante quelconque, R une fonction inconnue Ae x , qui pourra contenir p et d'autres constantes indéterminées, et la somme 2. s'étendant à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, de p et de ces autres constantes.

Je substitue cette valeur de u dans l'équation (3); en égalant le coefficient de la même exponentielle e"'' dans ses deux membres, il vient

d.ak — —

-^~ = (^P — ccef)Vv. (i5)

De cette équation différentielle du second ordre, on tiiera pour R une valeur de cette forme :