R = BY + S'Y
B et B' étant les deux constantes arbitraires, et en désignant par Y et Y' des fonctions déterminées de x et p. Si l'on représente par
H et G , H^ et G^ , les valeurs de Y et ^ , Y' et ^ , correspondantes à x = h, et par H' et G', H/ et G/, celles des mêmes quantités qui répondent à x = ^', on aura , en vertu des équations (4),
B(Gyt H^) = — B'(G/- — H^-zr), B{Q'k + HV) = — B'(G/A: + H/^O;
d'où l'on conclut d'abord
(G/t — H^) (G/^ + H>') = (G'/t + HV) (G A- — H,<3r') ; (16)
équation qui servira à déterminer les valeurs de p. En ajoutant les deux équations précédentes, on aura, en outre, sous une forme
symétrique par rapport aux deux extrémités de la barre,
B = A (G^ + G,'A- — ll^-sr + H>')»
B' = A (1 W — H V — GA- — G'k) ;
A étant une constante qui restera indéterminée. D'après cela, si nous faisons
X = (G/-H-G/A-— 11,^ +H;<ar')Y— (GA- + G'/t— H<5r4-HW)Y', (17)
nous aurons
Il = 2AXe-'';
et la somme 2 ne devra plus s'étendre qu'aux valeurs de p tirées de l'équation (16}. Si cette équation admet plusieurs racines égales, ou n'en emploiera qu'une seule, de sorte que tous les termes de la somme 2 répondent à des valeurs inégales de p, et renferment des exponentielles distinctes. C'est ce que suppose essentiellement le procédé que l'on va suivre pour déterminer le coefficient A en fonction de /» d'après l'état initial de la barre.
Pour cela, j'ai recours à la méthode indiquée dans le n° 85. Je multiplie, en conséquence, les deux membres de l'équalion (3) par Hdx, puis j'intègre dans toute la longueur de la barre, c'est-à-dire depuis X z=: h jusqu'à x=.h' . En faisant, pour abréger,
calLudx = f,
et observant que ccoX. ne dépend pas de t, de sorte qu'on aura en même temps.
il en résultera
h' ^ du , dv
cû)X -j- ax = -r,
h dt dl '
En intégrant deux fois de suite par partie, il vient
/^■-'^•^ rfu dX /'^•'"'^
-^Xdx=.Xa>k-J^-uojkj^+J -^
dX
udx.
Mais en vertu de l'équation (i5), qui détermine R dont X est une valeur particulière, on a
d.ak -7-
dX yr V
la valeur précédente de -^ deviendra donc
les quantités comprises entre les parenthèses répondant à x = A', et celles qui sont i-enfermées entre des crochets à x = h. Or, en vertu des équations (4), auxquelles on doit satisfaire en y mettant Xe"'', ou simplement X au lieu de m, on a aussi
k-r- = 'îS'X , quand x = h,
' dx
dx
' dx
= — -tîr'X, quand j: = h';
et de ces équations particulières, jointes aux équations (4)> on concl ut
ce qui fait disparaître le second membre de l'équation relative à v , et
la réduit à
En intégrant et remettant pour i> l'intégrale définie que cette lettre représente , on aura donc
/ ccolLudx = De" '' ; D étant la constante arbitraire. Pour la déterminer , je suppose
qu'on ait
u = Fx,
quand t=:o , de sorte que Tx soit une fonction de oc, donnée dans toute la longueur de la barre, c'est-à-dire, depuis x = h jusqu'à X = h'. Cette fonction repre'sente la loi des températures initiales de la barre, abstraction faite de l'intervalle de temps pendant lequel cette valeur arbitraire de u ne satisfait pas, en géne'ral, aux équations (4) relatives aux extrémités de la barre; intervalle de temps que l'on suppose assez court pour que les températures de tous les points de la barre, situés à une distance sensible de ses extrémités , ne changent pas sensiblement pendant sa durée. De cette manière , on aura
D = I ccùHFxdx ,
et , par conséquent ,
I c(t)\u(lx = e '' I cco\¥xdx.
Maintenant, si l'on substitue dans le premier membi-e de cette équation , à la place de u, sa valeur en série d'exponentielles, il faudra que les coefficiens de toutes les exponentielles différentes de e~'' soient zéro dans ce premier membre , et que celui de e~ '' soit égal au coefficient de la même exponentielle dans le second membre. Si donc f>' est une racine de l'équation (16), distincte de la racine p, et si l'on désigne par X' la valeur de X correspondante à cette racine f' , il faudra qu'on ait
cco'HX.'dx = o :
équation au moyen de laquelle on démontrera , comme dans le n" 90, la réalité des racines de l'équation (16). De plus, dans le cas de f ' = f , il faudra que l'on ait aussi
A / ccûX.*dx = / ccoX.Fxdx ;
ce qui détermine la valeur du coefficient A correspondant à une racine quelconque f de cette équation (i6).
Au moyen de cette valeur de A en fonction de p , celle de u deviendra
. nh!
I caKFxdx
«=2( ^, )Xe-"; (i8)
formule qui renferme la solution générale et complète du problème , en supposant, du moins, l'intégration de l'équation (i5), qui ne pourra s'effectuer, exactement ou par approximation, que quand les valeurs de k, p, c , o), £ , en fonctions de x, seront données dans chaque exemple. Nous allons l'appliquer spécialement au cas particulier de la barre cylindrique ou prismatique, homogène, et dont la surface est partout dans le même état, c'est-à-dire, au cas où ces cinq quantités sont des constantes données.
- (129). Dans ce cas, je fais, pour abréger,
c ' ac
l'équation (3) devient
dt " dx^
et en y mettant ue' ' au lieu de «, elle se réduit à
du . d'u , , ,
:y7 = «zr.-^«; O9)
du ^ d^u
dt ~" rfx"'
eu sorte que l'on pourra supposer la constante p ou b nulle, sauf à multiplier par e~*' la valeur de u que l'on obtiendra dans cette hypothèse.
En faisant donc p = o dans l'équation (i5), et y mettant, poiir plus de commodité, a'f' au lieu de f , elle deviendra
Les deux valeurs particulières de R que l'on a désignées par Y et Y',
DE LA CHALKUR. a65
pourront être
Y = sin fx , Y' = cos fx.
Si l'on place le point C, origine des distances x, au milieu de la barre, et que l'on repré-sente sa longueur par 2I, on aura
h = — /, H= — sin pZ, G=fCosf/, H^ = cospZ, G^ = fsinp/, h'=il, H'=sin f>/, G'=pcosp/, H',= cosf»Z, G', = — psinf/;
au moyen de quoi l'équation (16) deviendra
('ZJT'ZJr' — p*)sin2/'/ + (-sr' + iir) f> cos 2fl = o, (ao)
toutes réductions faites, et en mettant, pour plus de simplicité, k^sr et AW au lieu de <zêr et -ar'. En même temps, on aura, d'après l'équation (17),
X = ('Zêr' — 'Zër)A:cosfZsinf>j: — [(:2f cos fl -{-('W -{-<rir')s\ni>l] kcospx, (ai)
pour la valeur de X qu'il faudra substituer dans la formule (18 1.
On y mettra aussi , sous le signe 2 , l'exponentielle e~"'''' au lieu de e:~'' ; on supprimera au numérateur et au dénominateur le facteur constant cco ; puis ou multipliera la somme Z par e~*'.
Toutes les racines de l'équation (16) étant réelles, il eu sera de même à l'égard des valeurs de f>l que l'on tirera de l'équation (20). L'une de ses racines sera zéro. De plus, si l'on développe sin 2fZ et cos 2fl dans le premier membre de cette équation (20), et que l'on supprime le facteur p, tous ses termes ne renfermeront que des puissances paires de p , alternativement précédées du signe -jet du signe — ; d'où l'on conclut que les valeurs de p' qui s'en déduiront seront toutes positives. La somme 2 s'étendra à la racine p = o et seulement à toutes les valeurs positives de p, parce que l'analyse du numéro précédent supposait que les différens termes qui répondent à des valeurs égales de p sont réunis en un seul , et que l'on a ensuite remplacé p par a'p*. Si l'une de ces valeurs était encore zéro, ce qui aura lieu effectivement dans le cas de <5r = o et or' == o , on en ferait abstraction par la même raison; la racine p = o étant déjà employée.
Il résulte de là qu'à moins que b ne soit zéro, tous les termes de la valeur de u décroîtrout indéfiaiment à mesure que le temps augmentera , et qu'après un temps plus ou moins long , la valeur entière de u ne différera plus sensiblement de la température extérieure qui a été prise pour le zéro de l'échelle thermométrique. Avant de se réduire à zéro, la température de tous les points variera suivant une même progression géométrique ; le temps croissant par des différences égales.
Après avoir formé la valeur de u en fonction de i et a: , et en y faisant f = o, on aura une expression en série de la fonction arbitraii'e Fjt (n° 86) , qui subsistera pour toutes les valeurs de j: >> — / et < /, et qui aura lieu aux limites mêmes a: = zt /, lorsque cette fonction satisfera aux équations (4) pour ces valeurs extrêmes de la variable.
(i3o). L'expression de u devient plus simple lorsque la barre ne rayonne que par une seule de ses deux extrémités.
Supposons que la température de l'extrémité E' de la barre soit constamment entretenue à zéro. Il faudra alors que la seconde équation (4), qui s'y rapporte , se réduise à ^^ = o; ce qui exige que l'on ait tjr' == 00 , puisqu'on a Ç = o. L'équation (20) , d'où dépendent les valeurs de p , se réduira donc à
îT sin 20/ -f- p cos 2p/ = o ,
en la divisant par ta-' , et supprimant ensuite les termes qui ont cette quantité pour dénominateur. D'après la formule (21), on aura, en même temps,
X = k'or' sin p C^r — l) ,
^ X'^.r = -j^ (4pZ — sin 4pZ) ,
en négligeant les termes de X indépendans de (ïtr', par rapport à ceux qui ont ^' pour facteur. La valeur de u, formée comme on vient de le dire, sera, par conséquent,
4? sin f{x — l) j sin f (x' — l) Fx'dx'
4f/ — sin4f^ '
où l'on a euiplojci, pour plus de clarlé , la lettre x' au lieu de x sons les intégrales définies.
On pourra présenter cette valeur sous une autre forme , en transportant l'origine des distances x au point E. Pour cela, il faudra mettre x — l ci x' — / à la place de x et x' ] les intégrales relatives à x' s'étendront alors depuis x' = o jusqu'à x' = 2I; on aura
sin p (x — 2/) = sin px cos api — cos px sin ap/ ;
et comme l'équation d'où l'on doit tirer les valeurs de p donne
cos 2pl = ^ ^ — : , sin 2ûl = — ■ — -^ ,
il en résultera
sin p(x — 2/) = ^^'"f^ + f^osf^
4pi — sin /,pl = 4ii^^l±f!l±if5.
Par conséquent, en mettant aussi f Z au lieu de /, dans la valeur précédente de « , et faisant F (x' — ^ l) =Jx', nous aurons
(ar sin fX 4- f cos fx) 1 (sr sin fx' -\- f cos (X )jx'dx'
pour la loi des températures dans une barre dont la longueur est l, qui rayonne par son extrémité E d'où l'on compte les distances x, et qui a une température constamment nulle à son autre extrémité E' correspondante a x = l.
Le terme de la somme 2 qui répond à f = o s'évanouit, comme on voit, excepté dans le cas de ^sr =. o. Dans ce cas, ce terme est zéro ou ne l'est pas, selon qu'on fait d'abord f ^o et ensuite i3r = o, ou d'abord «jjp ^ o et ensuite p = o ; mais la valeur de sin 2f / dont on a fait usage, et qui doit s'évanouir en même temps que p, exige que l'on fasse p = o avant de donner à la constante -w la valeur particulière «sr = o ; en sorte qu'il faudra toujours faire abstraction du ternie de la somme 2 qui répondrait a p = o. Cette somme s'éten-
dra à toutes les autres valeurs positives de p, tirées de l'équation
fSf sin pZ + p cos pZ = o. (aS)
Il est évident , d'après cette équation , que chaque terme de la somme 2 sera séparément nul au point E' qui répond à j" :^ /. En mettant \l — .rA: et '3r au lieu de a: et «ar dans la première équation (4) relative au point E , elle devient
du
-j- •+- 'zs-u = o ;
dx
condition évidemment remplie, pour jc = o , par chacun des termes de la somme 2.
En faisant t= o dans l'équation (22), il vient
(srsin fx -ffx = 22
f cos p.r) / {■z3-s\nfx'-i-fC0Sfx')fx'dx'
résultat qui subsistera, quelle que soit la fonction arbitraire foc, pour toutes les valeurs de o: > o et < Z, mais qui n'aura lieu pour a: = l, que quand on auray^Z = o, et pour j:==o, que si l'on a
^ [- '^foc ■=. o pour cette seconde valeur de jc.
(1 3 1). Lorsque la longueur l de la barre sera très grande, on résoudra facilement l'équation (aS) par la méthode des approximations successives. En l'écrivant ainsi :
, fl cos fl sm pi :=: j-^ ,
on déterminera d'abord la valeur de //, en négligeant le second membre; en sorte que l'on aura, dans cette première approximation,
fl r= ?i7r;
n étant un nombre entier quelconque. On fera ensuite
pZ = mt + cT ;
et en négligeant S" dans le second membre de l'équation donnée, et
son can'é clans le premier membre, on en déduira
cT = -., 1:1 = UTT
■a-l ' -al
En continuant ainsi , on obtiendra une valeur de fl en série très convergente, ordonnée suivant les puissances négatives de l, et la somme 2 s'étendra à toutes les valeurs positives du nombre ii, Aepuis 71^ I jusqu'à « = 00.
Si cette longueur l devient infinie, la valeur de /> se réduira à
^; elle croîtra donc avec n par des degrés infiniment petits; et si
nous faisons
P = 7- = a, j = da,
la somme relative h p se changera en une intégrale relative à a, qui devra s'étendre depuis a = o jusqu'à a = 00 . La formule (22) deviendra alors
2 —it r'^ f^ (ar sinïx-f-acos«.r)('wsin«.r'-f «cos«j:')/r' «>»»<■ . ,
— - e / j - ■ - e clctcix .
en réduisant à / («zst* -|- «■') 'e dénominateur ■ttr -\- IÇ^sr' -f- f") et remplaçant J par — . Si l'on fait t = o dans cette dernière formule, on
obtiendra une expression de J^x qui subsistera pour toutes les valeurs positives de la variable, et qui aura aussi lieu pour x=o, quand
dfx
cette valeur particulière fera évanouir la quantité -^ + <îïr/j:.
(iSa). L'expression de u se simplifie encore davantage, et la formule (24) peut être vérifiée, dans les deux cas particuliers oîi l'on a
'tîT = o ou 'ZS' = ÛO .
Le premier cas est celui où le rayonnement est nul à l'extrémité E. L'équation (aS) se réduit à f cos fZ= o; en faisant abstraction de sa racine zéro et de ses racines négatives, et désignant par « un nombre entier et positif, on aura donc
(in — iW
et la formule (22) se changera en celle-ci ;
M=-e Sf / cos^ ^j^ — Jx'dx \co%^ '
dans laquelle la somme 2 s'étendra depuis n=. i jusqu'à ?* = ce . La formule
fx = yX f 1 cos . Jjc'dx'j cos
(2«— i)îTa:
qu'on en déduit en y faisant t = o, coïncide avec la formule (13) du n° 96, quand on suppose dans celle-ci f{ — x)-^fx. Elle a évidemment lieu à la limite x = l, quand on 3iflz=o, et à l'autre limite x=.o,
lorsque l'on a -7- :^ o pour cette seconde valeur de x.
Dans le cas de '3r= oo , la température de la barre est entretenue constamment à zéro, à la seconde extrémité E, comme à la première E'. En vertu de lequation (aS), on a sin fl = o; d'où l'on ûté
Hfr
et la formule (22) devient
u ■= -, e 2 f / sm —j-jx dx j sin -y- e /> ; (aS) .
la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs du nombre entier et positif «, depuis ra=i jusqu'à w = oo . En y faisant ï = o, on en déduit
fx = 7 2 { 7 siu —7— ix dx ) sm — j- :
MOI ui '.'J , ;:;.;^-.i^vnh 4,-; >.y «:.:,, , l- t, .^ -J r. ■■^■.
résTiitat' qui ëiUciAë âVèd ■lâ'''fdi'rriiîlfe-'(ici)*'lîtf h-'^é, et qui n'a liëti pour j; = o et pour x = l, que quand fx s'évanouit à ces deux limites, 'i ! 00 inlso i-
Observons que si, dans k second cas, les températures des points extrêmes E et E' de la barre, au lieil d'être zéro comme la température extérieure Ç, étaient des températures invariables et données 6 et 6', il serait facile d'éte«dre la formule (26) à cette hypothèse.
Pour cela, je partage la valeur de u en deux parties ^x et u ,
dont ia première soit une fonction de x seulement, et la seconde une fonction de x et de t. Je suppose cette première partie (px déterminée par l'equalion
et telle que l'on ait <p:r=6 pour x =i o , <px=(i' pour x = l. En intégrant cette équation, et déterminant les deux constantes arbitraires, d'après ces valeurs particulières de (px , ou trouvera, sans difficulté,
ipx = Aes' + Be-'% . .vj -,1).
où l'on a fait , pour abréger,
l/Z) . il' — f<-~S' „ ie'' — ê'
La valeur complète (px-{-u' de u devant satisfaire à l'équation (19) du mouvement de la chaleur , et la partie ^x remplissant déjà cette condition, il faudra qu'on ait
du' , d^u' . ,
de plus, il faudra que l'inconnue u' s'évanouisse pour x = o et pour x= l, puisque déjà, à ces deux limites, çx a pour valeurs 6 et 6', qui doivent être celles de u; par conséquent, l'expression de u sera donnée par la formule (20), en y mettant à la place de yx la valeur initiale et inconnue de u' , que je représenterai par y'x, et qui sera nulle comme u' aux deux limites a: = o- et x = L De cette manière, nous aurons d'abord
M=Ae^- + Be-^'H- ]e-"l(^fjm^f'x'dx'^&m^ e
Cela posé, désignons toujours par fx la valeur initiale de u; en sorte que fx soit une fonction de x donnée arbitrairement, depuis xz=o jusqu'à x^=l, mais dont les valeurs doivent être 6 et ô' pour les deux valeurs extrêmes zéro et l de x. En faisant t ^= o dans l'équation précédente, et observant que la somme S, comprise dans le
second membre a alors -foc pour valeur, il en résultera
f'x = fx — Ae«^ — he-f.
D'ailleurs, en effectuant les intégrations, on a
l . . nicx j , tittIU — ef' cos nw)
i , . n-xx I / msUv — e-s'cosna-)
et, d'après ces valeurs et celles de A et B, nous aurons finalement
ef' — e-s'
H- |e-»'2 (/^'sin^>W^')sin'-^e-^-
Oq appliquera cette formule au cas d'un anneau dont un point a une température invariable et égale à G, en y faisant G' = â : ce point est l'origine des distances oc, comptées sur l'axe curviligne de l'anneau, dont / est la longueur.
(i35). Si le rayonnement est nul aux deux extrémités de la barre, il faudra faire à la fois '3r = o et 'iîr' = o dans les équations (4) , et, conséquemment , dans l'équation (20), ce qui la réduit à p' sin i\;l = o. Elle aura donc une racine triple p = o ; mais , d'après ce qu'on a dit plus haut, on ne devra employer qu'une seule fois cette valeur de p. Le terme correspondant de la formule (18) se présentera sous la forme 3 ; on en obtiendra la véritable valeur en supposant cette quantité p infiniment petite; la valeur de X donnée par la formule (21) se réduira alors à X = — 2;:k, dans le cas que nous considérons où ^sr et «ar' sont zéro ; et le terme correspondant de la formule (18 ) , multiplié par e~'" , sera
¥a.''Hx'.
Les autres valeuis de p tirées de l'équation sin 2p/ = o , seront
tous les multiples de — . ; mais il importera de distinguer ïéStfns des
autres les multiples pairs et les multiples impairs. En désignant par n un nombre entier et positif, on fera donc successivement
mr [271 — l)îr
Pour la première de ces deux valeurs , la formule (21) donnera , dans le cas dont il s'agit ,
X = — j cos-p;
d'où l'on tire
au moyen de quoi la partie correspondante de la valeur de u, déduite de la formule (18), ainsi qu'on l'a expliqué plus haut, sera
j e '^Xl cos —7— Fxdx jcos-y- e
La seconde des deux valeurs précédentes de f rendra nulle la valeur de X tirée de l'équation (21), et qui répond à îër = o et ■zs-' = o. Tous les termes de la partie correspondante de u se présenteront sous la forme ° ; et , pour en déterminer les vraies valeurs, il faudra supposer que les constantes tB- et ■tzr' ne soient qu'infiniment petites. Pour une valeur de f> infiniment peu difTé-
rente de j~^ > ^^ formule (21) se réduira à
= 2kiy sm j ;
en désignant par cT une constante infiniment petite, et négligeant les infiniment petits du second ordre. On en conclut
f^ X'^==4/A'cr'';
et, d'après ces valeurs, la partie correspondante de u sera
i e-^'2 (f^^ sin ^^"-'^"" Fx'dœ' ) sin (2!L=!2^ e 4^ •
Cel^ posé, npus aurons
{in — i)'?r*a = «
pour la valeur complète de u dans le cas d'une barre terminée par deux sections normales qui sont imperméables à la chaleur; la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs de n, depuis ti = i jusqu'à 7z = co , et l'origine des distances x étant au milieu de la barre dont la longueur est 2/.
Quand la constante b n'est pas nulle, cette température u devient zéro après un certain temps, à cause du rayonnement latéral de la barre; mais si b=:o, la surface de la barre est partout imperméable à la chaleur; et alors la température finale, au lieu d'être zéro, est égale, en tous ses points, à la moyenne de ses valeurs initiales. On voit, en effet, qu'au bout d'un certain temps la somme 2 s'évanouit toujours , et la valeur de u relative à Z> = o , se réduit à cette moyenne
-j f Yx'dx'.
On peut mettre l'expression de u -en fonction de ^ et x , sous une forme un peu plus simple, en transportant l'origine des dislances X à l'une des extrémités de la barre , et changeant , en conséquence , X et x' en j: dzZ et ar'rbZ. Les deux parties comprises sous la somme 2 se réunissent alors en une seule 5 les limites des intégrales définies deviennent zéro et /; et si l'on change, en outre, Z eu ^Z, et qu'on fasse F(ar dh ^/) ■=jx, il vient
u=:je-'-f^fx'dx'-hje-"xÇf^cos '~fx'dx''^cos "-pe~~T^~;
la somme 2 s'étendant toujours à toutes les valeurs de ii, depuis 71 = 7 jusqu'à 71 = X . Au lieu de déduire , comme nous l'avons fait , cette expression de u, ou la précédente, du cas général où les quantités <zêr et (ïîr'ont des valeurs quelconques, ce qui a exigé une attention particulière, on aurait pu aussi considérer immédiatement le cas
particulier où l'on a «zr = o et '3r'=o, et déterminer directement, par l'analyse du ïi° 128, la valeur de u qui s'y rapporte.
Si l'on fait t = o et 11 =Jx dans la formule précédente , ou aura
fx = jr fx'dx' 4- ^ 2 r / cos -^^ fx'dx'j cos -^ ;
ce qui est effectivement vrai, en vertu de l'équation (9) du n" 96 , pour toutes les valeurs comprises depuis x= o jusqu'à xz=:l, inclusivement. La différentielle de cette équation ne subsiste, comme cela doit être, aux deux limites x = o et x = l que quand la va-
dfx leur de -^ s'évanouit pour ces deux valeurs de x.
(iS/j). Lorsque l'axe de la barre formera une courbe fermée, on comptera les distances x sur cette courbe, à partir d'un point lixe , choisi arbitrairement ; et si Z est la longueur de la courbe entière , il
faudra que les valeurs de m et -j- , qui répondent à x r= o, soient les
mêmes que celles qui ont lieu pour x :=: l ; doù il résultera deux équations particulières qui remplaceront les équations (4), ainsi qu'on l'a dit précédemment (n° iiS). Il serait facile, d'après cela, de déterminer, par l'analyse du n° 128, la loi des températures dans un anneau hétérogène, d'une épaisseur variable, et dont la surface varie aussi d'un point à un autre; mais nçus nous bornerons à considérer le cas d'un anneau homogène, dans lequel 1 état de la surface et la section normale seront partout les mêmes. Cet anneau se refioidira librement, c'est-à-dire, que la température d'aucun de ses points ne sera entretenue forcément à un degré constant; on fera abstraction du rayonnement de l'anneau sur lui-même, et la température extérieure sera toujours supposée égale à zéro; en sorte que l'équation (19) sera celle du mouvement de la chaleur suivant la longueur de l'anneau que nous allons considérer.
Nous aurons
u = e~*'2(Asinfx H- B cos pjr) e""'''' ,
pour l'intégrale complète de cette équation en série d'exponentielles; la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs possibles, réelles
ou imaginaires des trois constantes f , A , B. Pour que les valeurs de u
qui répondent àj7 = o et^ = Z soient égales, et qu'il en soit de
même à l'égard des valeurs de -r- , quelle que soit la valeur de ^ , il
faudra qu'on ait
B = A sin f Z + B cos fl ,
A = A cos fl — B sin fl.
En éliminant A ou B, l'équation qui en résulte se réduit à cos pZ:=i. Si l'on désigne par n un nombre entier ou zéro , on aura donc fl == 2«77- ; pour cette valeur de fl, celles de A et B resteront indéterminées, et la valeur de u deviendra
; = e-*'2 f Asm -^ f-Bcos— j-Je '^ .
La somme 2 devra s'étendre à toutes les valeurs positives ou négatives de n ; mais on peut supposer réunis en un seul les deux termes de cette somme qui répondent à chaque couple de valeurs de Ji égales et de signes conlraii-es, et ne plus étendre la somme 2 qu'aux valeurs de n positives, y compris zéro; au moyen de quoi les exponentielles qu'elle contient seront toutes distinctes les unes des autres.
Le cas qui nous occupe dififère des précédens en ce qu'il reste deux coefliciens A et B, au lieu d'un seul, à djéterminer d'après l'état initial de l'anneau; ce qui n'empêche pas que la méthode générale indiquée dans le n° 85 , ne s'applique également à cette détermination.
En effet, désignons par a et ^ deux constantes quelconques, et faisons , pour abréger ,
a sm — -j — + b cos — j — = A..
Multiplions, conformément à cette méthode, l'équation (19) par \c{x, puis intégrons depuis x = 0 jusqu'à a? = Z ; nous aurons
d. j ILudx . .
-:L^ =a» f J^,X^ —b rXuda:.
dt J o dx' J o
Si l'on intègre deux fois de suite par partie, et si l'on observe que
chacune des quantités ;z, -t^, X, j^ , a la même valeur pour x = o
et pour x=l, on aura
en ayant égard à la valeur de X. On aura donc
équation dont l'intégrale est
r Xuda: = De-"e ~~'' ;
D étant la constante arbitraire. Pour la déterminer, je suppose qu'on ait n=Jbc quand t^=o, de sorte que yor soit une fonction donnée arbitrairement depuis x = o jusqu'à x = l, mais assujettie à la condition d'avoir la même valeur à ces deux limites. 11 en résultera
D = f^Xfxdx.
A un instant quelconque, on aura donc
J^ Xudx z=z e-"e '• r Xfxdx. (37)
Cela posé , si « et n' sont deux nombres entiers ou zéro , différens l'un de l'autre , on aura
/ sm — j — sm — j — dx = o , / sin —, — cos — j- dx = o ,
ri . in'irx 2.nirX ,
/ sm — J — cos — Y~ dx ^^ o,
ri in%x in'vx ,
/ COS — y — cos — — dx == 0 ;
2jS THÉORIE MATHÉMATIQUE
dans le cas de n! ■=.n, on aura aussi
sm' — ï— dx = I cos* — j— doc =^ - l ,
sin — J— cos — ^ — dx = o ,
en observant que si «=o, la dernière intégrale sera toujours zéro, mais les deux préce'dentes ne seront plus égales : la première sera zéro , et la seconde égale à L On conclut de là que si l'on substitue dans l'équation (27), à la place de u et de X, leurs valeurs, on aura
- / («A + SB) = 0, I sin ^-^^ fxdx -\-C f cos —7— Jxdx ,
pour une valeur quelconque de n, ©t en particulier
IB = I Jxdx ,
pour n = o. Les équations précédentes devant subsister pour toutes les valeurs des constantes a et ê , elle se décomposera eu deux autres , savoir :
-Ih. = I sin — ^ Jxdx ,
-ÏB z= I cos — J- Jxdx.
Par conséquent , les coefficiens A et B seront déterminés pour toutes les valeurs de n, excepté le coefficient A relatif à « = o, qui demeure indéterminé, mais qui disparaît de l'expression de u.
Au moyen de ces valeurs de A et B, et en changeant x en x' sous les intégrales définies, l'expression de u sera finalement
« =ie-*' f^Jx'dx'+]e-^{ f^cos'JII^^^Jx'dx')e~^^^;(28)
la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs de n, depuis nz= i jusqu'à « = 00 .
Si l'on y fait «=o et uz=.Jx, on a
Jx = \[l Jx'dx' H- f 2(/;cos"'- ^^-^'^Jx'dx');
résultat qui s'accorde avec la formule (5) du 11° 95, et qui a lieu depuis X = o jusqu'à x^:=l, y compris les valeurs extrêmes zéro et l, puisqu on a par hjpolhèseyb = fl.
L'expression de u est, comme on voit, une fonction de x qui demeure la même, ainsi qu'on l'a dit plus haut (n° ii8), lorsqu'on y augmente ou diminue la variable x d'un multiple quelconque de /. Au bout d'un certain temps, qui n'est pas très long en général, la somme 2 se réduit sensiblement au terme correspondant à n = i. A cette époque si l'on appelle v la valeur de u relative h x-\-^l, ce terme disparaît dans la somme u-\-i' , et l'on a simplement
u + v =je-''f'fx'dx';
d'oii il résulte que l'anneau parvient toujours à un état dans lequel la somme des températures qui répondent aux extrémités d'un même diamètre, est la même pour tous les diamètres, et décroît en progression géométrique, lorsque le temps, à partir de cette époque, croit par des difTérences égales. Au bout d'un temps encore plus long la somme 2 disparaît en entier, et les températures de tous les points de l'anneau décroissent suivant cette même progression géométrique. Enfin, ces températures deviennent toutes égales à zéro, comme la température extérieure, excepté dans le cas de l'imperméabilité calorifique de la surface, où l'on a b=o, et oii elles convergent toutes vers
une température constante et égale à la moyenne jl fx'dx' des températures initiales.
(i35). La valeur de u que l'on déduit de la formule (26) en y faisant 6' = 6, et qui se rapporte à un anneau dont une section normale est entretenue à une température invariable et égale à ô, diffère essentiellement de la valeur de u donnée par la formule (28) et relative à un anneau qui se refroidit librement. Au bout d'un certain temps , la somme 2 disparait de la première valeur de m , et l'anneau parvient à un état stationnaire , dans lequel la température d'un point quelconque se réduit à
It — ■ ■ ■ ï 7 ; ; •
28o THÉORIE MATHÉMATIQUE
Maintenant, si l'on supprime la cause qui entretenait la température 6 de l'un des points de l'anneau , et qu'on laisse ce corps refroidir librement, il faudra, pour déterminer la loi de ses températures au bout d'un temps t à partir de cette suppression, substituer cette valeur de M à la place Aq fx dans la formule (28). Or, on a
, , , (eS' — 1)1 ^/cos — , a/îîT sin — =— )
U'e^- cos "'^^"-^r/x-=: ^ ' , --.
l J o l 4nV + g-t
rf: -••
COS —j dx = j ^,-
au moyen de quoi la formule (28) deviendra
2fg-/e-*'(e'»'' — e-î^O
inwx ~\
I '^"^ 1 — Ijn-'n'a-'t I
En y faisant i = o, on devra retrouver la valeur particulière ^3: de u, d'où l'on est parti; et si l'on met pour plus de simplicité il au lieu de l, puis x — la-n lieu de x, il en résultera
nifX
cos TlTt COS — r-
es==4-e-e^ i Z
pour toutes les valeurs de x, depuis x = — l jusqu'à x=.l; ce qui est effectivement une formule connue , qui subsiste également lorsqu'on y met g \/ — 1 au lieu de g (*).
Nous ferons aussi remarquer qu'eu mettant l — x au lieu àe x
dans cette dernière équation , de sorte que cos nw cos -—'- se change
en cos —=-; multipliant ses deux membres par l, supposant ensuite / = co , et faisant
-=z, -i =dz',
(*; Journal de l'Ecole Poljriechnique, 18' cahier, page 3i2.
la somme 2 se changera en une intégrale relative à z, qui s'éleiidra depuis z=o jusqu'à ; = («; le terme compris en dehors de cette somme s'évanouira ; et si g est une quantité positive et x une quantité finie , on aura
ef' — e-s' Par conséquent, l'équation précédente deviendra
^ cos zxdz ic
ce qui est encore une formule connue, qui nous sera utile dans la suite, ainsi que sa différentielle relative à x , savoir:
^ z siu zxdz 11
z'-IrS- 2
("iSô). Il nous reste encore à considérer la propagation de la chaleur dans une barre droite ou courbe, qui se prolonge indéfiniment de part et d'autre du point C, d'où l'on compte les distances x. Je supposerai cette barre homogène, sa section normale constante, et sa surface partout dans le même état; et pour déterminer dans ce cas la valeur de ti en fonction de t et .r, je ferai usage de l'intégrale sous forme finie de l'équation (19) du mouvement de la chaleur.
D'après ce qu'on a vu dans le n° 74, cette intégrale sera
" ~ \7^7 — ^ *'/^'^ + ia.ay/i)d^; (39)
fx étant la fonction arbitraire qui exprimera la valeur de z/ correspondante à <=o, et sera donnée par conséquent, d'après l'état initial de la barre, depuis x = — co jusqu'à j?=co. Au moyen de cette formule, on pourra donc toujours calculer par les quadratures, la température d'un point quelconque à un instant donné; ce qui est la solution complète du problème.
Supposons que la barre n'a été échaulTée primitivement que dans une portion limitée qui s'étendait depuis x = — ê jusqu'à a'= £, de sorte qu'en dehors de ces limites sa température initialeyit était zéro,
282 THÉORIE MÂTHÉMxVTIQUE
comme la température extérieure. Si nous faisons
il en résultera
x' — X 7 dx
act =
%ay' t •2.a\/ 1
et la fonction Jx' étant zéro pour toutes les valeurs de jr' > g ou < — ê, il suffira d'intégrer par rapport à x' , depuis x' = — «jusqu'à x' ■= a; en sorte que l'on aura
— ■ / e 4«'' fx'dx' .
•2.ay %t J — •
Cette expression de m nous montre que la chaleur communiquée à une portion de la barre se répand instantanément dans toute sa longueur; car, quelque grande que soit la distance x, et quelque petit que soit le temps ^, il y aura toujours une valeur de u qui ne sera pas rigoureusement nulle. Ce résultat tient à ce qu'en formant l'équation du mouvement de la chaleur, nous avons supposé instantanés les échanges de chaleur entre les tranches de la barre comprises dans l'étendue du rayonnement intérieur. Or, quelque rapides que soient ces échanges, ils ne peuvent avoir lieu dans la nature qu'en des intervalles de temps de grandeur finie; et si nous avions eu égard à cette circonslance, la conductibilité k et par suite la quantités ne seraient plus rigoureusement constantes : a serait une fonction du temps qui varierait d'abord très rapidement, et atteindrait bientôt une valeur constante ; ce qui suffirait pour empêcher que la communication de la chaleur ne fût instantanée à toute distance du lieu de réchauffement primitif. Mais on voit aussi, en ayant égard à l'exponentielle conte mie sous le signe /, que la valeur précédente de u sera tout-à-fait imperceptible, hors de l'étendue de réchauffement primitif, tant que la quantité 2a\/^ sera très petite par rapport à la distance x, ou plus exactement jrrt «. Si l'on considère des points de la barre très éloignés du lieu de cet échauffement, et si l'on attend que l'élévation de température y soit devenue sensible, on pourra la calculer avec une très grande approximation, en négligeant x' dans l'exponentielle dont il s'agit. De cette manière , on aura
simplement ^^^ ^^^
En appelant A la quantité totale de chaleur communiquée primitivement à la barre, on aura aussi
\ == Cù) I jx'dx:';
et en éliminant enti'e ces deux équations l'intégrale qu'elles contiennent, il en résulte
Ou l'on voit que la température des points très éloignés de l'écliauffement primitif ne dépendra que de la quantité de chaleur A, et nullement de la loi de sa distribution initiale, ou de la forme de la fonction yx.
Pour comparer deux barres de matières différentes, sous le rapport des plus ou moins longs temps qu'elles emploient à transmettre des quantités égales de chaleur à la même distance, nous ferons abstraction du rayonnement de leurs surfaces. Soit donc 7)= o, nous aurons
eau =
Ce produit cuu est la quantité de chaleur transmise dans le temps t à la distance jc ; en déterminant son maximum par rapport à t, on
trouve qu'il répond h t= — , et qu'il est égal à =. Il ne dépend
donc pas de la quantité a , ni de rien qui soit relatif à la matière de la barre j en sorte que deux barres de matières différentes transmettent néanmoins le même maximum de chaleur à une distance donnée; mais cette transmission a lieu dans des temps différens; et d'après la valeur de t qui répond à ce maximum, elle est la plus rapide dans la barre pour laquelle la quantité a est la plus grande.
28/t THÉORIE MATHÉMATIQUE
Or, nous avons fait - = a* (n° 12g); il s'ensuit donc que ce n'est
pas toujours la matière qui a la plus grande conductibilité k, qui conduit le plus promptcment la chaleur à une distance donnée; cette propriété dépend à la fois de la grandeur de k et de celle de la chaleur spécifique c de cette matière.
Dans mon premier mémoire sur la distribution de la chaleur dans les corps solides, j'ai appliqué la formule (29), non-seulement au cas d'une barre indéh'niment prolongée , mais aussi au cas d'une barre dont la longueur est limitée, et j'ai fait voir comment, dans ce dernier cas, cette formule se transforme toujours en une série d'exponentielles. Dans les numéros qui précèdent, j'ai suivi une marche inverse : ayant préalablement établi que la valeur inconnue de u peut être représentée, quelle qu'elle soit, par une série d'exponentielles, j'ai employé une série de cette forme pour satisfaire simultanément à toutes les conditions de chaque problème. Cette méthode est plus simple que la première, et c'est celle que je suivrai constamment dans cet ouvrage; mais, sous le rapport de l'analyse, la réduction de l'intégrale définie que contient la formule (2g), ea des séries différentes d'exponentielles, selon les diverses conditions relatives aux extrémités de la barre, est néanmoins une transformation délicate et importante , pour laquelle je renverrai au mémoire cité (*■).
(*) Journal de l'École Polytechnique , 19" cahier, page H'].
