CHAPITRE X
Distribution de In chaleur dans les corps spheriques.
(iSy). Dans ce chapitre, nous supposerons que tous les points également éloignés du centre de la sphère ou de la couche sphérique que nous voudrons considérer, ont à chaque instant une même température; en sorte qu'en désignant par ;■ la distance d'un point quelconque de cette couche à son centre, la température u de ce point, au bout du temps #,sera une fonction de /■ et /, qu'il s'agira de déterminer; et l'inconnue ne dépendant ainsi que de deux variables, le problème sera semblable à celui du chapitre précédent.
Afin de rendre linéaire l'équation du mouvement de la chaleur, c'est-à-dire l'équation (7) du n° 49 > nous supposerons la chaleur spécifique c et la conductibilité k indépendantes de la température u. Si la couche sphérique est hétérogène, les quantités k et c seront supposées des fonctions de r. Nous supposerons, de plus, que chacune de ses deux surfaces soit partout dans le même état, et que la température extérieure ne dépende que de t. Ces conditions sont nécessaires pour que la température u puisse être, comme on vient de le dire, une fonction de r et t seulement ; ce qui aura effectivement lieu au bout d'un temps quelconque, lorsqu'en outre la température initiale ne sera fonction que de r.
Cela étant, cette équation générale du mouvement de la chaleur se réduira à
d . r^k y- . du dr . .
ainsi qu'on l'a vu dans le n* 120. En appelant /*' et h les rajoos
des surfaces concentriques, extérieure et intérieure, de la couche sphérique , nous aurons d'abord , en vertu de l'équation ( 2 ) du n° 67 ,
■£ ■+■ p{u — 0 = o, quand r = h' ; (3)
?f étant la température extérieure, qui pourra être une fonction donnée de ^, et /? désignant un coefficient constant et positif, dépendant de l'état de la surface extérieure et de la conductibilité k qui a lieu près de cette surface , c'est-à-dire , pour abréger , le coefficient p de l'équation citée, divisé par cette quantité k. Pour fixer les idées, nous supposerons qu'on ait fait le vide dans l'espace terminé par la surface intérieure; les échanges de chaleur entre les points voisins de cette surface répondant, par hypothèse, à des températures égales, il s'ensuit que le flux de chaleur sera nul à travers chaque élément de cette même surface; par conséquent, on aura
— - = o, quand r z=i h. (3)
Telles sont donc les trois équations du mouvement de la chaleiu' dans la couche sphérique, d'une épaisseur constante et égale à h' — h, que nous considérons. En les comparant aiix équations (3) et (4) des n°' 1 17 et 1 18, on voit qu'elles coïncident avec celles-ci, en faisant
jc = /■ , (M = r" , <zër = o , fsr' = pk ,
et supprimant dans l'équation (3) le terme relatif au rayonnement latéral de la barre. 11 s'ensuit que la loi des températures dans l'épaisseur de la couche sphérique se déterminera au moyen des formules du n° 128, que nous appliquerons tout à l'heure au cas d'une couche homogène. Auparavant, nous ferons remarquer que si les quantités c et k variaient en raison inverse du carré de la distance r, la distribution de la chaleur dans la couche sphérique serait la même, d'après les équations précédentes , que dans une barre cylindrique pour laquelle le rayonnement latéral et celui de l'une de ses deux extrémités seraient zéro; si l'on avait, en outre, p = o, cette distribution serait celle que nous avons déterminée dans le n° i33, en faisant h =zo, dans les formules de ce numéro.
(i58). Daus le cas de l'homogénéité, où les quantités k et c sont
k constantes, je fais - = «*, et j'écris l'équation (i) sous la forme
d.ru ^d\iu
En supprimant le terme qui dépend du rayonnement latéral dans l'équation (i5) du n" 128, faisant x = r e\. cù=^r*, et y mettant, pour plus de commodité, a'f' au lieu de f , elle deviendra
-rf-r- -4- fVR = o.
On pourra prendre
r\ = sin fr, rY' = cos fr,
pour déterminer les valeurs particulières de R désignées par Y et Y' dans ce numéro. Il en résultera
hH = sin f>h , h*G = fh cos j>/i — sin fh ,
hïl^ = cos fh, h'G^ =. — fh sin fh — cos fh,
h'W= sin fh', h"G'= pA'cos fh' — sin fh',
A'H',= cos fh', h''G\= — fh' sin fh' — cos fh' ;
au moyen de quoi et de fw' ^ pk et <i!rz= o , l'équation ( 1 G ) de ce même numéro, d'où dépendent les valeurs de f , deviendra
{f^hh' + 1 — ph') sin f/ = (Z -f- phh') f cos fl, (4)
en désignant par / Tépaisseur h' — h de la couche sphérique. L'équation (17) sera , en même temps,
^•A'VX =zk{\— ph') /j* sin f{h'— r) — kh'^ sin f {r— h)
— khh'f \h' cos f{r—h) + h cos f{h' — r)'\; (5)
et si l'on fait, dans la formule (18) du numéro cité, a: = r et cû = /', que l'on y supprime le facteur c constant et commun au numérateur et au dénominateur, et que l'on y remplace f par a^f*.
on aura
]a foncliou Fr étant la valeur initiale de u , et la somme 2 setendant à toutes les valeurs positives de f, tirées de l'équation (4), j compris f = o.
Pour faire usage de cette formule , on formera l'intégrale
Ç' {•'''SJ'dr . dont la valeur exacte s'obtiendra immédiatement d'a- J h près celle de X ; on éliminera ensuite de cette intégrale siii f/ et
cos fl , au moyen de l'équation (4) ; puis on substituera sa valeur, ainsi préparée, dans la formule (6). Cela fait, on mettra $uccessiyement dans cette formule la racine p = o et les autres racines de l'équation (4), calculées par approximation, quand les valeurs numériques de j3 , h, h', I, seront données. Le terme de celle formule qui répondra à f = o s'évanouira toujours; mais quand la quantité p sera nulle , on la supposera d'abord infiniment petite, et l'équation (4) aura aussi une racine infiniment petite, indépendamment de p = o, à laquelle il faudra avoir égard.
On déterminera cette racine en substituant à la place de sin fl et cos fl leurs développemens, supprimant ensuite le facteur f commun aux deux membres de l'équation (4), et négligeant, après cela, les termes qui ont f* ou f'p pour facteur. De cette manière , on
trouve
f^l(hh' + ^l')=ph";
d'oii l'on déduirait la valeur infiniment petite de f, correspondante à celle de f*. En même temps, l'équation (5) se réduit à
h'h''rX -r- — k(h' -f- h'')rf ,
en négligeant le cube de f et le produit fp. Si l'on appelle L le volume de la couche sphérique, de sorte qu'on ait
il en résultera
et au moyen de ces diflerentes valeurs, le ternie de u qui répond aux valeurs infiniment petites de p el f, sera
ce qui est évidemment la moyenne des températures initiales de la couche entière. Les autres termes de la valeur complète de u seront insensibles au bout d'un certain temps, et cette température ne différera plus sensiblement de la moyenne de ses valeurs initiales, ainsi que cela doit être, en effet, dans le cas que nous examinons, où le flux de chaleur est nul aux surfaces intérieure et extérieure de la couche , en sorte qu'elle ne peut perdre aucune partie de sa chaleur initiale, qui finit par s'y distribuer uniformément.
(i5g). Si la couche sphérique se change en une sphère entière, dont le rayon soit /, on aura h = o et h' = l ; l'équation (4) deviendra
(i — pi) sin f>l = fl cos f>l; (7)
et en considérant h comme un infiniment petit dans le second membre de l'équation (5) , elle se réduira à
A*rX =: — ^ sin f>r.
On aura donc
et comme l'équation (7) donne
cos fl = > ' ~^ , sin pZ :=
il en résultera
j o f'i^ + (i —piy
'2go THÉORIE MATHÉMATIQUE
Au moyen de celte valeur et de celle de h'rlL, il est facile de voir que l'équation (6) prendra la forme :
en désignant par/r le produit /F/' ou la valeur initiale de ru, et la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs de p tirées de l'équation (7). Le terme de cette somme qui répond à p = o s'évanouit, comme on l'a dit plus haut. Si la quantité yj a une valeur finie, toutes les autres racines de l'équation (7) seront aussi des quantités finies , et tous les termes de la formule (8) s'évanouiront sensiblement après un certain temps. Mais ces termes décroîtront avec des vitesses très inégales, parce que les racines de l'équation (j^ seront généralement très différentes; avant que la valeur de u soit réduite à zéro, ou devienne égale à la température intérieure, il y aura donc une époque où la somme 2 se réduira , à très peu près , au terme correspondant à la plus petite racine de l'équation (7); en sorte qu'en désignant par é cette plus petite racine , on aura
ce qui montre qu'à partir de celte époque les températures de tous les points de la sphère décroîtront suivant une même progression géométrique ; le temps croissant par des différences égales. Dans cet état de la sphère , si l'on désigne par k> la température de son centre , ou la valeur de u qui répond à r = o, et que l'on compare la température en un point quelconque, à cette température centrale, on aura simplement
wsin ir u =
où l'on voit que la température u décroit continuellement en allant du centre à la surface, puisque l'arc tr croît toujours plus rapidement que son sinus.
Si l'on fait < = 0 et 7^^ =fr dans l'équation (8), nous aurons
pour toutes les valeurs de r > o et < /, quelle que soit la fonction
arbitraire Jr. Pour que cette formvilc subsiste p<«»r r-=-o , il faudra que^r s'évanouisse à cette limite; et poup' qu'elle ait aussi lieu à l'autre limite r = l, il sera nécessaire qu'on sajtisfasse à l'équation (3),
en y faisant u =r: -Jr et supprimant la quantité 'Ç , c'est-à-dire, qu'il
faudra qu'on ait
pour rz=l; ce qui résulte, en ellét, de la formule précédente et de l'équation (7}. Puisque nous avons prouvé préalablement (n° 84) que la série d'exponentielles dont nous sommes [ariis peut toujours représenter l'inconnue u en fonction de t et de r, et comme on peut admettre que les conditions du problème ne sout point incompatibles, de sorle qu'il est susceptible d'une solution , quel que soit l'état initial de la sphère, il s'ensuit que la formule précédente est une conséquence nécessaire de cette solution générale, sur laquelle il ne peut rester aucun doute ; mais il serait à désirer que l'on put parvenir plus directement à cette formule. Elle se vérifie dans le cas particulier où l'on a p/= i : abstraction faite du facteur pi , l'équation (-)
se réduit à cos fl=. o ; elle donne {. = j^ > '^'^ désignant par
n un nombre entier et positif; et l'expression de fr dont il s'agit devient
{in — \)7Tr
> = î^(/>i.iî^i^7^*)
sm
ce qui coïncide avec la formule (la) du u 96, quand on suppose dans celle-ci y ( — x) = — f^t ^^ <îue l'on y fait x= r.
(140). Au lieu de déduire la valeur de u relative à une sphère entière, de celle qui répond à une couche sphérique, ainsi que nous venons de le faire, on peut aussi la déterminer directement. Dans ce cas, il serait difficile d'établir, à priori , la nécessité de l'équation (5) relative à r = o ou au centre de la sphère ; mais en
prenant ru pour l'inconnue du problème, et faisant — = a*, comme
plus haut, on remplacera l'équation (1) par celle-ci :
en faisant ^ =: o dans l'équation (2) qui a lieu pour r= /, on pourra aussi l'écrire sous cette forme :
d.ru / i\ , ,
-dF + \P — V'''^ = ''' ('°)
et, enfin, on remplacera l'équation (3), relative à r = o, par la condition ru = o, nécessaire pour que la température u ne devienne pas infinie au centre de la sphère.
Cela posé, la valeur de ru en série d'exponentielles qui satisfait, de la manière la plus générale, à l'équation (g) et à la condition iu = o quand r=o, sera évidemment
ru = 2A sin fr.e"~°'''' ;
la somme S, s'éteudant à toutes les valeurs possibles , réelles ou imaginaires, des deux constantes A et f. Afin qu'elle satisfasse également à l'équation (10) pour r = Z et pour toutes les valeurs de t, il faudra que les valeurs de p soient déterminées par l'équation (7). En supposant donc que l'on n'emploie que des valeurs de /' tirées de cette équation et différentes entre elles, de sorte que les exponentielles contenues dans la somme 2 soient toutes distinctes les unes des autres, il ne s'agira plus que de déterminer, en fonction de j> ,\e coefficient A d'un terme quelconque, d'après l'état initial de la sphère.
Pour cela , conformément au pi'océdé général , indiqué dans le n° 85, je multiplie par sin frdr les deux membres de l'équation (9), et je les intègre ensuite depuis /•=: o jusqu'à r= l; ce qui donne
d. I ru sin prdr J o ^ ^ r' ■ d\m ,
dt =«7o ^^° '"' -5r^^^-
En intégrant deux fois de suite par partie , et ayant égard à l'équation (10) qui a lieu à la limite r=l, il vient
/o ^^"f'''-i:i^^'^= — |^(p — j)sin fZ+fcos P^^^ + f'/^^ ru sin frdr ;
A désignant la valeur de ru qui répond à r = Z. En vertu de l'équation (7), le terme compris hors du signe / s'évanouit j par consé-
quent, on aura simplement
d. I ru sÏBf rdr .
i = a*p* I ru sin frdr ;
et en intégrant , on en conclura
y ru sin frdr = De"""*'"'
D étant la constante arbitraire. Pour la déterminer, je suppose que l'on ait, comme plus haut, ru-=^Jr quand ^ = 0; il en résultera
D = I sin fr.frdi",
et nous aurons, à un instant quelconque ,
/ ru sin frdr = e""''*' / sin pr. frdr.
Eu substituant dans cette équation la valeur de ru en série , et comparant les termes semblables dans ses deux membres , j'en conclus
/ sin fr sin f>'?dr = o , (11)
tant que p et p' sont des racines de l'équation (7) , qui ont des carrés différens, et, en particulier,
A/ sin*prdr=: 1 sin pr. frdr, dans le cas de f''= f*. De cette dernière équation, on déduit
2f I sin fr.Jrdr
fl — sin fl cos fl'
et il en résulte
P / sin or. frdr
