V o . — a'fU
u = -2-^ : — = iSinpr.e ' ,
r f/ — sinf/cosfj '
pour la valeur de ru complètement déterminée.
Cette expression de la température clans une sphère entière dont tous les points, également éloignés du centre, sont également échauffés, et que l'on suppose placée dans un milieu qui a une température invariable , est celle que Fourier a donnée le premier, sans démontrer, toutefois, qu'elle convienne à une valeur initiale de la température représentée par une fonction de la distance r entièrement arbitraire, ou, autrement dit, sans avoir prouvé, directement ou indirectement, que la valeur de ru qui en sera déduite pour ^ = o puisse représenter une fonction quelconqueyr. Au moyen de l'équation {r), il est facile de faire coïncider cette formule de Fourier avec l'équation (8j.
Au moyen de cette même équation (7), on peut aussi vérifier l'équation (11). En effet, en efl'ectuant l'intégration, on a
sm prsm p'rdr=. — - — ^-^ / — ,
ou , ce qui est la même chose ,
/'' . • / I / sin tl cos // — f sin p'/ cos »/ sm PT-sm p rdr= ' —■ — ; 0 f — ?
mais, d'après l'équation (7) dont p et p' sont des racines, on a
sin pZ = ~- — -. cos pi , si n p'I = — ^- — - cos p'I ;
ce qui réduit à zéro le numérateur de la fraction précédente , et , par conséquent, la fraction elle-même, quand son dénominateur n'est pas nul. Dans le cas de p'" = p*, îa fraction n'est plus zéro ; elle
se présente sous la forme ^; et sa véritable valeur est -/ sinp/cosp/,
comme cela doit être. L'équation (11), ainsi vérifiée, sert à prouver ( n° 90) que toutes les racines de l'équation (7) sont réelles. Il s'ensm't que toutes les valeurs de f" sont positives; ce que l'on reconnaît, d'ailleurs, en remplaçant dans l'équation (7) sin pZ et cos p/ par leurs développemens : après avoir supprimé le facteur pZ, commun à tons les termes , il en résulte effectivement
/^^ - tS (" + Z'^) + 77^475 (4 + Z'O - etc. == o ;
DE LA CHALEUR. 3g5
et en obeervant que la quantité p est essentiellemeat positive, on voit que cette équation ne peut être satisfaite juir aucune valeur négative de p".
(i40- Lorsque le rayon / est très petit, le produit pi l'est aussi, en général, et la valeur de fl, qui répond à la plus petite racine s de l'équation (7), est également très petite. D'après l'équation précédente, cette plus petite racine est, à très peu près,
Les autres valeurs de p/ tirées de l'équation (7) n'étant pas très petites, il s'ensuit que la somme 2 contenue dans la formule (8) se réduira très promptement au terme correspondant à p = g ; d'ailleurs , la variable r étant aussi très petite, la valeur de ér ou \/ —l— le sera également ; en prenant donc «r au lieu de sin tr, on aura, après un temps très court ,
ou , à très peu près ,
3a'pt
d'après la valeur de €.
La température initiale à la distance r étant F/-, si l'on appelle y la
moyenne de ses valeurs dans le volume entier i^ de la sphère , on aura évidemment
et comme ^r est le produit rYr, il s'ensuit que le coefficient de Texponentielle dans la formule précédente est égal à y. D'un autre côté , le flux de chaleur à travers la surface sphérique dont le rayon est /■, dans le sens du prolongement de son rayon et lapporté à l'unité de
temps , a pour expression — fym^k -^ (n° Sa); d'après l'équation (lo)
relative à la surface de la sphère, ce flux est donc égal à /^Trl^pku à cette surface ; donc en appelant Q le rapport de son coefficient /^Ttl'pk
au produit ^^^ du volume de la sphère et de sa chaleur spécifique ,
nous aurons
k Or, nous avons fait -=a*; par conséquent, la valeur de la température M , à un instant quelconque , est la même chose que
u = ye~ ' ;
et il est facile de voir qu'elle coïncide avec celle que nous avons trouvée dans le n" 40, pour le cas d'un très petit corps de forme quelconque , en supposant , comme ici , le flux extérieur de chaleur proportionnel à l'excès de la température de ce corps sur la température du dehors, et faisant celle-ci égale à zéro..
(142). En généi'al, si l'on désigne par ti un nombre entier et positif, et par J^„ une quantité positive ou négative, dépendante de n et moindre que tt , abstraction faite du signe, ou pourra représenter par
/»Z = «TT -f- «T, ,
toute valeur positive de pi qui satisfait à l'équation (7). En la substituant dans cette équation , on auia
(i — pi) sin J', = {ivTT -f- ^^ cos cTn ;
et si l'on fait successivement n=.\, =■ 1 , =3, etc., il sera facile de déterminer, par des essais, les valeurs approchées de «T, , J^î» (^3 > etc., quand la valeur numérique de i — pi sera donnée. Ijorsque n sera devenu un très grand nombre , on pourra négliger S'„ par rapport à nir , duns le second membre de cette équation ; de celle manière, on aura
ce qui fera connaître immédiatement la valeur de eT» correspondante ^ chaque valeur très grande de n.
Si le rayon / est très grand, et que le produit pi le soit aussi , on aura , à très peu près ,
^' — ~ pl'
pour les valeurs de n qui ne seront pas très grandes ; d'où il suit que pour ces valeurs , celles de pZ croîtront par des différences à très peu
près égales à rr — —., ou simplement à tt. Pour de 1res grands nom-
bres n, deux valeurs consécutives de é\ étant déterminées par les équations
tang J^, = — ^ , tang S^^^, = ^7 ,
il en résultera
tang(J^.-J^) = ^^-^-^;
et celte quantité étant très petite, la différence ^„ — ê'n+x le sera également; d'où il suit que les valeurs de fZ relatives à de très grands nombres n , croîtront aussi par des différences égales à ■ir. On conclut de là que si le rayon l devient infini , toutes les valeurs de p croîtront par des différences infiniment petites, et rigoureusement égales
à J-; en sorte que si nous faisons, dans ce cas,
p = ^ = a , j =1 da.,
la somme 2 relative aux valeurs positives de p , se changera en une intégrale relative à a, qui s'étendra depuis x = o jusqu'à a = co . En
même temps , la fraction -77^ ! ~~ '^ „ , contenue dans la for-
^ ' fV' — />'(« — pi)
mule (8), sera égale à l'unité; par conséquent, cette formule pourra s'écrire ainsi :
ru = - / sm ar sm ar.e Jraraa;
et elle fera connaître la température en un point quelconque d'un corps homogène et infini en tous sens, lorsqu'on la suppose égale en
n..g8 THÉORIE MATHÉMATIQUE
tous les points également éloignés de celui d'où l'on compte les distances r.
SI l'ou fait f=o et ni=ij'r, il faudra qu'où ait
fr=~ / sin etr' sin ar. fr'dr'da ,
pour toutes les valeurs positives de r, depuis r = o jusqu'à rr=<Xj ; ce qu'il est aisé de vérifier. En effet, d'après la formule (14) du n° 102, on a
fr = - / / sin a/' sin a.r . fr'dr'da, ,
H — / / cosetr' cos ar .fr'dr'da,
depuis r = — 00 jusqu'à r = co , et quelle que soit la fonction fr. Or , si l'on suppose que cette fonction soit telle que l'on ait /■( — r')= — f^'> tous les élémens de l'intégrale relative à r' seront deux à deux , égaux et de même signe dans la première intégrale double , égaux et de signes contraires dans la seconde ; par conséquent, on pourra supprimer la seconde intégrale double, et doubler la première , en y étendant l'intégrale relative à r', seulement depuis /■' = o jusqu'à r'=: coj ce qui fera coïncider cette dernière expression de fr avec la précédente, qu'il s'agissait de vérifier.
(145). On peut aussi effectuer l'iiitégration relative à a, et réduire à une intégrale simple l'expression de ru. D'après une formule connue , qui se déduit facilement de celle que nous avons employée dans le n" 74, on a
e ^''** cos 2Qctda. = — ~ e '
& et y étant des constantes dont la première peut être réelle ou imaginaire. Si donc on fait y =: a \''t , que l'on prenne successivement Ê = ^Cr — r) et ê = i {r-\-r'), et que l'on retranche l'une de l'autre les deux équations qui en résulteront, on aura
2 / e smarsmar.aa —
et , par conséquent ,
r'Vr'.dr'
en remettant r'Tr' au lieu de fr'. On parviendrait également à ce résultat au moyen de l'intégrale, sous forme finie , de 1 équation générale du mouvement de la chaleur, que l'on a trouvée dans le n" 76, et dans laquelle on prendrait pour la fonction arbitraire F(.r, ^, z) , qui exprime la température initiale du point dont x , y, z , sont les trois coordonnées orthogonales, une fonction Fr de la seule variable /■ ou \ x^ + j* -)- z*.
Si réchauffement primitif a été renfermé dans un espace limité autour du point d'où l'on compte la distance r, de sorte que F/' soit zéro pour toute valeur de r' plus grande qu'une ligue donnée i , il suflira d'étendre l'intégrale relative à ;' depuis r' = o jusqu'à r'-=(. En dehors de cet échauffement primitif, et quand la quantité a\/t sera devenue très grande par rapport à i, on pourra développer les exponentielles contenues sous le signe /, en séries
très convergentes , ordonnées suivant les puissances de — j--; et si l'on
néglige ensuite le carré de cette fraction , on aura
M=— ^e~^' f'r'^fr'dr'.
a^t\/vt J o
Mais, en appelant A la totalité de la chaleur communiquée primitivement au corps que nous considérons, et observant que c est la chaleur spécifique, on a
A = 4zc r r'^Tr'dr' ;
nous aurons donc
A ia^t
fi ^^2 p ^
^c{ayvty
pour 1.1 température qui aura lieu au bout du temps ; et à la distance r- (lu centre de réchauffement primitif.
5oo THÉORIE MATHÉMATIQUE
Si u^ est le maximum de cette température , et t^ le temps corespondant, c'est-à-dire , les valeurs de t et u qui répondent à j- = o ,
ou aura
' c \r \ -i.Tte'
en remettant pour fl° sa valeur -. On peut comparer ces valeurs de u^
et ti aux résultats analogues que nous avons trouvés dans le n° i56, pour la propagation de la chaleur dans ime barre cylindrique et homogène, qui se prolonge indéfiniment de part et d'autre du lieu de réchauffement initial.
(i44)' Déterminons actuellement la distribution de la chaleur dans une sphère composée d'un noyau sphérique et homogène , recouvert par une couche sphérique d'une épaisseur constante, également homogène, mais d'une matière différente de celle du noyau. Nous supposerons toujours la tempéralure égale à chaque instant, en tous les points également éloignés du centre de la sphère ; de sorte qu'en appelant r le rayon mené de ce centre à ini point quelconque, soit du noyau, soit de la couche extérieure, la température de ce point au bout du temps t sera, comme précédemment, une fonction de /• et t.
ÎNous représenterons cette inconnue par u pour tous les points du noyau, et par lî pour tous ceux de la couche extérieure. Soient, de plus , c et A- la chaleur spécifique et la conductibilité de la matière du noyau, c' et A' les mêmes quantités relativement à la matière de l'autre partie de la sphère, h le rayon du noyau, / l'épaisseur de cette autre partie, et, conséquemment , li-\-l le rayon
de la sphère entière. Faisons ensuite - = a* et —,=ia'*. Les équations
du mouvement de la chaleur dans Its deux parties de cette sphère, pourront être mises sous cette forme :
-ir = ^^Fr, -j^=a^-^; (12)
DE LA CHALEUR. 5oi
la premièie ayant lieu depuis ;• = o jusqu'à r = h, et la seconde depuis rz=h jusqu'à r = A + /.
Si la sphère est placée, comme précédemment, dans un milieu dont la température est zéro, et que l'état de sa surface soit partout le même , l'équation relative à cette surface sera
Il du , I ,
p' étant un coeflicient constant et positif, qui dépendra de la densité de l'air dans lequel la sphère sera placée , et de l'état de sa surface. Cette équation n'aura lieu que pour la valeur particulière r= h -\- l ; et en faisant y/ = k'Q , on pourra l'écrire sous la forme :
d.ru
Kous aurons encore les équations du n° go, relatives à la surface de séparation des deux parties de la sphère , savoir :
-^ rf^ + '/(" — "')=o, k' -^-hq{u—u') = o;
q étant une constante positive , dépendante des matières de ces deux parties, et dont la valeur numérique sera aussi donnée dans chaque exemple. Ces deux équations ne subsisteront que pour la valeur particulière /== A ; et si l'on fait |= ^ et y =b', on pourra les remplacer par celles-ci :
dr
-j- (b — t) '" — bru'z= o,
d.ru
Enfin, il faudra joindi'e à ces différentes équations la condition r-u=o quand r=o, nécessaire pour que la température ne devienne pas infinie au centre de la sphère, et, de plus, les équations relatives à l'état initial de chacune des deux parties de la sphère , qui auront lieu pour t = o, et que nous représenterons par
ru = fr, ru' = f'r;
5o2 THÉORIE MATHÉMATIQUE
fr et y V étant deux fonctions données arbitrairement, la première depuis r = G jusqu'à r = h, la seconde depuis ;■ = h jusqu'à r = h-\-l. Si l'on désigne par Fr et F'/- les valeurs initiales de u et u, on aura fr = /Fr et /'/• = rY'r.
Tel est donc le système d'équations qu'il faudra résoudre simultanément, pour déterminer les deux inconnues u et u' en fonctions de r et t. Mais auparavant nous ferons remarquer que si l'on a q = ce , il faudra, d'après les équations relatives à la surface de séparation des deux parties de la sphère , qu'on ait u z= u pour iz=h-, en sorte qu'il n'y aura alors aucun changement brusque de température dans le passage de l'une de ces parties à l'autre, quoiqu'elles puissent être de matières différentes. Si l'on a, au contraire ,
' .. ' 1 • , ■ du . du' , „ 1
n=zo, ces équations se reduu'ont a — =r o et -y- = o; le flux de
chaleur sera nul en tous les points de la surface de séparation; et, dans ce cas , la distribution de la chaleur dans chaque partie de la sphère sera indépendante de celle qui aura lieu dans l'autre partie. Elle sera la même, dans la couche extérieure, que si le noyau était remplacé par un espace vide, comme dans le n° iSy ; et, en même temps, la loi des températures dans le noyau intérieur sera celle qui a lieu dans une sphère homogène dont la surface est imperméable à la chaleur; laquelle loi se déduit de l'équation (8), en y faisant la quantité p infiniment petite.
(t45). Les valeurs de ru et ru en séries d'exponentielles qui satisfont aux équations (ra), et dont la première remplit, en outre, la condition /y^ = o quand r=o, peuvent être représentées par
. . mr —,n't ru := 2 A sin — e , a
mr\ —m'i
ru'= 2 (A' sin J^ + B'cos^')^
les sommes 2 s'étendant à toutes les valeurs possibles , réelles ou imaginaires, des constantes m, A, A', B'. Pour que cette valeur de ru! satisfasse, quelle que soit la variable t, à l'équation (ij) relative à r = //-f-/, il faudra qu'on aii
DE LA CHALEUR. 5o3
d'où l'on tire
A'= {Zil^,±i) sin ^/i-^ - [Q{h + /) I] cos ^^+^} B ,
B' = {^^+i^co.s^±i)+[^(A + /)-i]sin^^±-^}B;
B étant une constante qui demeure indéterminée.
En ayant égard à ces valeurs de A' et B', et substituant celles de ru et /«'dans les équations (i4)> q"i ont lieu pour r = A et pour toutes les valeurs de <, ou en conclut
. fTmh mh , , . , \ • mh~\
A 1^— cos — + {bh—i) sm — J
= Bbh [^^^cos 5^+ [Ç(h +/)-.] sin ^l ,
B fr^\^(A 4- 0 - -] + "-^^ ( ^'/^ + O]cos 5-^
-[^^^^^-(*'A + .)[€(A+0-.]]sin5-'}=Aè'Asin^^.
On satisfait à l'une de ces deux équations, à la seconde, par exemple, en prenant
A = MQ , B = M sin "i^ ,
où l'on désigne par M une constante indéterminée, et l'on fait, pour abréger ,
-{=W^-À(*'*+0[«(*+')-.])sin?-' = Q.
En substituant ensuite ces valeurs de A et B dans la première de ces mêmes équations, et ayant égard à cette valeur de Q, on trouve
5o4 THÉORIE xMATHÉMATIQUE
(m^h{h + 1) ,,,, \rpfL I 7\ -,1 TO^ mh . ml
\ ^, - — (f>h + i)[Cih-{.l)—i]]— cos — sin^
imhr-^.j j -,/ji > m(h-]-l),j ,, ,, , , 1 . mh ml
— I ^[^C^'^+O— '](^'^— 0 ^^(Z>72— M+i)Jsm — cos-^=o;
équation qui servira à déterminer les valeurs de m. Maintenant, si nous faisons
n = y sin — ,
, f,m(h-\-l) m(h-t-l—r) , r/», z. ■ /n i • m(^4-/— r)l . mh W = -^^^—^ CCS ——h ^ -+■ [Slh 4- /) i] sin -^ — ; } sin — ■ ,
les valeurs de ru et ru' seront
m ='lMRe-""', ru' = SMR'e-""'. (i6)
Dans chaque somme 2, on pourra supposer réunis en un seul les ternies correspondans à des valeurs égales de m, ou à des valeurs égales et de signes contraires; et cela étant, on n'étendra plus les sommes 2 qu'aux racines de l'équation (i5) dont les carrés sont des quantités inégales, de telle sorte que toutes les exponentielles comprises dans chaque somme seront distinctes l'une de l'autre. C'est dans cette supposition que nous allons déterminer M en fonction de m, au moyen du procédé général indiqué dans le n" 85, et d'après l'état initial des deux parties de la sphère.
(146). Chaque terme des valeurs de ru et ru' satisfaisant séparément aux mêmes équations que les valeurs entières , il s'ensuit que l'on aura, comme on peut d'ailleurs le vérifier,
d'K m^^ d'Tx m', , ,
dr' a' ' dr' a' \ / ■/
pour toutes les valeurs de r, et, en particulier,
DE LA CHALEUR. 3o5
R = o, quand r = o, -^+ (C— j^^K'=o, quand rz=h-\-lA
^ 4- (i— J)R — èR' = o, quand r = A, / ^^^^ ^ + i'R (^i'+ ^) R' = o, quand r = A.
Cela posé, je multiplie la première équation (12) par Rdr , la seconde par R'dr; puis j'intègre leurs deux membres dans les limites où chacune de ces équations a lieu ; ce qui donne
Krudr . ,
dt J o dr^ '
Kru'dr ^ , .
dt =«7 A -IF^^"^'-
En intégrant deux fois de suite par partie, et mettant pour -jr et -^-^ leurs valeurs données par les équations (17), il vient
'^'•'■"dj r>d.ru dR rn' ^n j
^;:^R^r = R'-^- ru ^ - - fK'rudr.
Les termes compris hors du signe f dans la première de ces formules, disparaissent à la limite j=o, puisque R et rw s'évanouissent avec r. Ces termes disparaissent aussi dans la seconde formule à la limite r = h-\-l', car, en combinant ensemble la seconde équation (18) et l'équation (i3), qui ont lieu l'une et l'autre pour cette
valeur de r, on en déduit
^^- -' f = ijiri - 0 (ï^'-' - 1^'-') = -
Enfin, à la limite r ■=z h , les équations (r4) et les deux dernières équations (18), qui ont lieu toutes les quatre pour r=/, donnent
3o6 THÉORIE MATHÉMATIQUE
^^-^ - ru§ = b[Rnc' -K'ru],
les quantités comprises entre les crochets se rapportant à cette valeur particulière r = h. D'après ces différentes valeurs, nous aurons
d. I Krudr .
-^^ = a'b [Rm' — R'm] — m'C' îirudr,
rh+i
d.l RVuVr w^/
•^^ ^^ =—«'»*' [Rra'—RVw] — m'y^ R'mWr.
Or , si la quantité q relative à la surface de séparation des deux parties de la sphère est zéro, h et b' le seront aussi; les variables u et u' seront séparées dans ces deux équations, qui s'intégreront toutes deux immédiatement; et ces inconnues se détermineront indépendamment l'une de l'autre. Nous supposerons que ce cas particulier n'ait pas lieu ; les quantités b et // n'étant donc pas zéro, on pourra diviser la première équation par a*b , et la seconde par a'*b' ; et en les ajoutant ensuite, les quantités comprises hors du signe f se détruiront. De cette manière , nous aurons
d'oii l'on tirera, en intégrant,
D étant la constante arbitraire, que l'on déterminera en faisant < ssc o et mettant pour ru et ru' leurs valeurs initiales fr et f'r; ce qui donne
Je substitue maintenaqt, dans cette équation (19), les formules (iC)
à la place de ru et ru'. Le coefficient d'une exponentielle distincte de é~'"'' dans le premier membre de cette équation , devra être e'gal à zéro ; en sorte que m^ étant une racine de l'équation (i5), dont le carré est différent de m', et en désignant par R^ et R^ , ce que deviennent R et R' quand on y met m^ au lieu de m, il faudra qu'on ait
et comme a^b et rt'*è'sont des quantités positives, cette équation servira à démontrer, par le raisonnement du n° go, la réalité de toutes les racines de l'équation (i5) qui entrent dans les formules ( 1 6) . Dans le cas de m' = m', le coefficient de l'exponentielle contenue dans le premier membre de l'équation (19) devant être égal à D, comme dans le second membre, on en conclura
ce qui détermine la valeur de M en fonction de m. D'après les valeurs de R et R', on a
R'dr = - Q*( ft — - sm — cos — ) , 0 2^\ rn a «/
en faisant, pour abréger,
et en mettant aussi pour D sa A'aleur, celle de M sera
rh rh+i , „
a'^b' I Y^frdr -{- la'b I ^'frdr
■<h+l la'
, ,,„ /, a . mh Tnh\ , ,,„ . . mn
<^'b'(y(h sin— cos— ) 4- a'ô^ sip"
3o8 THÉORIE MATHÉMATIQUE
Au moyen de cette valeur de M, les formules (i6) ne contiendront plus rien d'inconnu, et elles donneront, à un instant quelconque, la température de tel point qu'on voudra, appartenant à l'une ou à l'autre des deux parties de la sphère que nous considérons. La même analyse s'étendra, sans autre difficulté que la longueur des calculs, au cas d'une sphère composée de trois ou d'un plus grand nombre de parties de matières différentes.
(147). On peut voir, à priori, que le terme de chaque somme 2 qui répond à la racine m =0 de l'équation (i5), doit s'évanouir; car, s'il n'était pas nul, les températures des points de la sphère convergeraient, dans tous les cas, vers une valeur constante qui ne serait pas zéro, et qu'elles atteindraient après un certain temps; en sorte que la température finale et permanente de la sphère serait toujours différente de la température extérieure ; ce qui ne peut avoir lieu, pour la sphère entière, ou seulement pour le noyau intérieur, que quand le flux de chaleur est nul à leurs surfaces respectives. On fera donc abstraction de la racine zéro de l'équation (i5), et l'on étendra les sommes 2 à toutes les valeurs positives de m, tirées de cette équation.
Dans le cas du flux de chaleur nul à la surface extérieure, on regardera le coefficient p' relatif à cette surface , comme une quantité infiniment petite; la quantité S le sera également; et l'équation (i5) admettra une racine qui sera aussi infiniment petite. Pour la déter-' miner, je développe suivant les puissances de m les sinus et les cosinus contenus dans cette équation, puis je supprime le facteur m" commun à tous ses termes, et je néglige ensuite les termes qui ont m'^ ou m'ë pour facteur; il en résulte
d'où l'on tirerait la valeur infiniment petite de m, s'il était nécessaire de la connaître. On aura , en même temps,
pK mh p m'hr p, m'hr
a' ' aa' ' aa!
Ces valeurs de R et R' étant égales et pioportionnelles à r, on voit déjà que les termes correspondans des formules ( 1 6) divisées par r, seront
indépendans de r et auront la même valeur pour les deux parties de la sphère; et les autres termes de ces formules disparaissant au bout d'un certain temps, à cause des exponentielles qu'ils contiennent, il s'ensuit que la température finale et permanente de la sphère entière sera la même en tous ses points. De plus, on aura aussi
, a . mh mh zn^h^
n^ — sin — cos
p iim'hl(h+ l) , 2m'P
et au moyen de ces valeurs et des préce'dentes, la valeur correspondante de -MR ou - MR', c'est-à-dire la température finale dont il
s'agit, aura pour expression
>h rh+i
i"b j r-Frdr + a'b r'F'rdr
\ Va"b' +hl{h + l)a'b + i l'a'b '
en mettant rFr et rF'r dans M au lieu de fr et /'r. Comme on a(n° 144)
on voit que cette température seia indépendante des conductibilités A" et A' des deux parties de la sphère; elle ne dépendra pas non plus de la quantité q relative à leur surface de séparation ; mais elle variera avec le rapport de leurs chaleurs spécifiques.
En désignant par V et V les volumes de ces deux parties, par C et C les quantités de chaleur qui leur ont été primitivement communiquées, on aura
C = 47rc y^VPr^r, C = 47rc' T"^^ r'F'rdr ; la valeur précédente de la température finale deviendra donc
5io THÉORIE MATHÉMATIQUE
résultat évident , qui peut servir de confirmation à notre analyse , et qui aurait également lieu dans un corps hétérogène de forme quelconque , dont la surface extérieure serait imperméable à la chaleur, comme celle de la sphère dans le cas que nous considérons.
(148). Toutefois, ce résultat suppose perméables à la chaleur les surfaces de séparation des différentes parties du corps : si elles étaient imperméables, comme sa surface extérieure, chaque partie conserverait toute sa chaleur primitive; et la température finale changerait, en général, d'une partie à une autre. Dans le calcul du n° 146, nous avons exclu ce cas particulier relativement à la surface de séparation du noyau et de la couche extérieure. S'il avait lieu, on aurait b = o et b' z=. o; l'équation (ig) serait remplacée par deux autres équations , savoir :
f^ V.mdr = De-'""' , f^^' K'ru'dr = D'e"""' ;
D et D' étant deux constantes arbitraires , dont la première se déterminerait d'après l'état initial du noyau , et la seconde d'après celui de la couche extérieure. La valeur du coefficient M en fonction de m se déduirait ensuite de celle de D, pour la première formule (16), et de celle de D', pour être employée dans la seconde. Enfin, en faisant b = o et b' = o dans l'équation (i5), elle devient
r, . ai ,j , 7\n ni ml) / ■ mh mh mh\
[i+a(A + /)]^cos^}(^sm- — cos-)=:o; elle se décomposera donc aussi en deux autres, qui seront
. mh mh ^^ mh
sm cos— - = o,
['^^^4- , - g(^ + Z)] sin 5^ - [Z H* a (A -H Z-)] '4gos 5^= o.
La première déterminera les valeurs de m que l'on devra employer dans la première formule (16), et la seconde celles que l'on devra substituer dans la seconde de ces deux formules.
On voit par là que dans le cas particulier de rimperméabillté de la surface de séparation des deux parties de la sphère , les lois des températures, à un instant quelconque, se détermineront indépendamment l'une de l'autre dans ces deux parties , ainsi que nous l'avons dit plus haut. En mettant à la place de m, fa dans les formules relatives au noyau , et fo! dans celles qui répondent à la couche extérieure , il sera facile de voir qu'elles coïncident avec celles que nous avons trouvées précédemment, soit pour le cas d'une sphère entière, en y supposant zéro le flux de chaleur à la surface extérieure, soit pour le cas d'une couche sphérique qui termine un espace vide.
(149). La surface de séparation des deux parties de la sphère étant supposée perméable à la chaleur, nous allons actuellement considérer, en particulier, le cas où l'épaisseur l de la couche extérieure est très petite. Cependant nous supposerons toujours cette épaisseur beaucoup plus grande que celle de la couche superficielle d'où émane et où est absorbée la chaleur rayonnante ; ce qui n'empêchera pas que cette autre couche ne puisse avoir une épaisseur appréciable , dont la grandeur, jusqu'à ce qu'elle ait atteint un certain maximum, influe sur l'intensité du rayonnement extérieur (n° ^i).
Si la constante a n'a pas une valeur très petite, les termes des formules (16) qui répondent à des valeurs de m pour lesquelles
-r n'est pas une très petite quantité en même temps que /, s'évanouiront très promptement, et l'on en pourra faire abstraction au bout d'un temps très coui't. Il sufEi'a donc d'avoir égard aux tiès petites
valeurs de -^. Aloi'S , en négligeant les termes multipliés par
sin — dans l'équation (i5), remplaçant cos ~ par l'unité et h-\-l
par Â, et supprimant le facteur —7- qui sera commun à tous les termes, on aura simplement
(g+ ^') ^cos^ + {èbh — Q — h') sin ^ = o.
En remettant pour Q , b , b\ leurs valeurs (n° 144) > et faisant
5i2 THÉORIE MATHÉMATIQUE
^b qp __ ^,
cette équation deviendra
(i — Q'h) sin fh =r pA cos f>h ;
et eu la comparant à l'équation (7) , on voit qu'elle sera la même que celle qui aurait lieu dans le cas d'une sphère homogène, d'un rayon h égal à celui du noyau , qui aurait aussi la même conductibilité k, et pour laquelle le coefficient p' relatif à sa surface extérieure serait diminué dans le rapport de q à q +p'. On aura aussi , à très peu près,
^— ^- > r — o, n— ^,^, smpr, on tire de l'équation précédente , comme dans le n° i3g, h--sm fh cos ph = —.j^-^^^j-—^;
et en négligeant, dans l'expression de M, l'intégrale dont les limites sont h et h-\-l, la première formule (16) devient
Dans toute l'épaisseur de la couche extérieure, la distance r est à peu près constante et égale à h + l; la valeur de R' se réduit donc à
R' = ^ fh sin fh ;
et à cause de ,, ' ^ = —£ — ;? la seconde équation (16) devient
j-p')h'^ f'h'+C'h{C'h-j) \J ^jrsmfrarje
L'expression de ru , comparée à la formule (8) , montre que la distribution de la chaleur dans une sphère recouverte par une couche très
DE LA CHALEUR. 5i3
mince et d'une matière différente de la sienne, est la même, après un temps très court et jusqu'à son refroidissement total, que si la sphère émettait directement sa chaleur au-dehors, mais que le coefficient/»' du flux de chaleur à travers la surface extérieure de la couche , fût diminué dans le rapport de q a q-hp' ; la quantité q étant relative au passage de la chaleur à travers la surface intérieure de la couche, et dépendant de la matière de celte couche et de celle de la sphère.
La valeur de u' nous fait aussi voir que la couclie extérieure , quelle que mince qu'on la suppose, ne prend pas, en général, la température de la sphère près de leur surface de séparation ; car si l'on appelle U la valeur de u qui répond à r = h, on aura, à un instant quelconque,
en sorte qu'il faudrait que la quantité q fût extrêmement grande et comme infinie par rapport à p', pour que l'on eût u':^l]. Nous avons indiqué dans le n° 124, un moyen de déterminer la valeur de q qui a lieu dans le contact de deux matières données ; en la comparant à celle de p', on en conclura le rapport des températures u' et U qu'il serait difficile d'observer directement.
(i5o). Nous appliquerons encore les formules précédentes au cas où l'épaisseur de la couche extérieure et le rayon h du noyau seront des lignes très petites, sans que les constantes a et a' soient aussi très petites. Parmi les racines de l'équation (i5), il y en aura deux pour
lesquelles les quantités — et —7 seront, dans ce cas, de très petites
fractions, et qu'il suffira d'employer, après un temps très court, dans les formules (16), ainsi qu'on va le voir.
Pour déterminer leurs valeurs approchées, je développe le premier membre de l'équation (i5) en une série ordonnée suivant les puissances de m'; je supprime le facteur m* commun à tous ses termes , puis je néglige le cube et les puissances supérieures de m' ; et dans les coefficiens de chacun des termes restans, je conserve seulement les parties de la moindre dimension par rapport k h et l. En remettant pour a*, fl'% b, b', leurs valeurs, il vient
5i4 THÉORIE MATHÉMATIQUE
q^^'^iy — Im'^qch? + qc'l' + 'iqc'hJqi + /) + /^'c7<A + Z)']
H- - m^cc'hl [l' + 5h(h-\- l)=o. (20)
On tirera de cette e'quation deux valeurs de m*, que nous représenterons par m'* et m"', et qui seront de la dimension — 1 par rapport à h et /; d'où l'on peut aisément conclure que tous les termes du développement de l'équation (i5), que nous avons négligés, seraient d'une dimension plus élevée que ceux qui ont été conservés, et qu'ainsi les racines m'" et m"' sont deux valeurs d'autant plus approchées de 7?z*, que ces lignes h et / seront plus petites. Quant aux autres valeurs de m' que l'on déduirait de l'équation (x5), elles seraient toutes de la dimension — 2 par rapport à h et l , et, conséquemment, très grandes relativement à m'* et m"*; les termes qui leur répondent dans les formules (16) s'évanouiront donc les premiers , et très proraptement ; en sorte qu'après un très court intei'valle de temps, dont nous ferons abstraction, ces formules se réduiront sensiblement aux termes correspondans à m' et m".
En conservant la lettre m pour représenter l'une ou l'autre des quantités nï et m", les valeurs approchées de P, Q , R , R', seront
'^—aa'T'T' hb' Zd^'h i'
T>, nr'hr
aa
on aura, en même temps,
h. mh 7 a . mh mh im/k
sm — = — , rt — — sin — cos — =
a a ma a
d'où 11 résultera , en remettant toujours pour a', a'*, h , h', ë, leurs valeurs
DE LA CHALEUR. 3i5
où l'on a aussi substitué rFr et rFV &Jr et y'/-. Donc , en désignant par fjJel ft" ce que devient cette dernière quantité quand on y met successivement m' et Tra" à la place de m, et réduisant les seconds membres des équations (i6) aux termes correspondans à ces racines de l'équation (i5), nous aurons
i- .," L-L. (^+W m"'c'[P-{.Ul{h+l)-]x "., \ (21)
u'= iJ.'e-"'" + At-'e-"''"' , )
où l'on voit que la température sera la même dans toute l'étendue de chaque partie de la sphère, et indépendante des conductibilités k et A', mais dlfléreute, en général, pour ses deux parties, quelle que petites qu'elles soient. Pour qu'elle fut la même pour la sphère entière i' il faudrait que la quantité q relative à la surface de séparation des deux parties, fût infinie.
(i5i). L'hypothèse du n" Sy , relative aux corps d'un très petit volume, ne convient donc au cas de la non homogénéité que quand la matière varie par degrés insensibles dans leur intérieur; et pour pouvoir l'étendre, comme le font généralement les physiciens, à des corps composés de deux ou d'un plus grand nombre de parties contiguës, de matières différentes, il serait nécessaire que le coefficient de la différence des températures, dans Je flux de chaleur qui a lieu au passage d'une partie à une autre, eût une valeur infinie, ou exlrémement grande, ce que l'expérience pouirait seule nous apprendre.
Au reste, on peut aussi parvenir dune manière dii'ecte au résullat que nous venons d'obtenir, en admettant seulement que la température est la même dans toute l'étendue de chacune des deux parties de la sphère, du moins après un intervalle de temps assez court pour qu'on en puisse faire abstraction.
3i6 THÉORIE MATHÉMATIQUE
Pour le faire voir, je conserverai tontes les notations précédentes , de manière que u et u soient, au bout du temps t, les températures de la couche extérieure et de la sphère qu'elle i-ecouvre ; c' et c leurs chaleurs spécifiques; / l'épaisseur de la couche, et h le rayon de l'autre partie; pu' et q[u — u') les flux de chaleur rapportés aux unités de surface et de temps , qui ont lieu , de dedans en dehors, à la surface de la sphère entière et à celle de la sphère intérieure. Cette dernière surface étant égale à /^Tth*, la perte de chaleur de la sphère intérieure, pendant l'instant dt , sera /çrh^q{u — u'); prise avec un signe contraii-e , cette quantité exprimera donc l'augmentation de chaleur correspondante à l'accroissement du de la température; et cette augmentation étant aussi égale au produit de cdu et du volume ^î-5— de cette sphère, il s'ensuit qu'on aura
ch -r -f- 5(jf(M — u') = o.
De même, l'augmentation de chaleur de la couche extérieure pendant le même instant , sera égale à l'excès de la quantité de chaleur /^7rh.'^q{u — u')dt qui lui est communiquée par la sphère intérieure sur celle que la couche émet au dehors, et qui est exprimée par /çr{h-\- lYp'u'dt ; par conséquent, cet excès devra être égal à l'augmentation de chaleur correspondante à l'accroissement du' de la température , c'est - à - dire , au produit de c'du' et du volume
-tU* H" ^hl{h 4- Z)] de la couche extérieure; nous aurons donc
aussi
[Z ^ + 3Â/(A H- Z )] c' ^ + 3 {h + lyp'u' + ^h'^ {u' — m) = o.
On intégrera ces deux équations, en prenant
u^ixe-""', u' =1 fjtfe-""' ;
(M , fi', m , étant des constantes indéterminées. En y substituant ces valeurs de u et u' , il vient
[ïtq — chm*)fx = "SqfJi',
{ 5p' (h + ly + 5qh' — c' [P H- 5hl {h ■+■ l)] /«*} fi' = 5qh'/Ji;
DE LA CHALEUR. Si-
et si l'on multiplie celles-ci membre à membre , et que l'on supprime ensuite le facteur commun jW/i', on aura
{5q — chm') {5p'(k + /)•+ ^qh* —c'[l^ + Ul{h + 1)] m*} = gç'A* ;
équation qui servira à déterminer m, et qui coïncide avec l'éqnation (20) que l'on a trouvée d'une autre manière. Il s'ensuit que l'on pourra désigner, comme plus haut , par m'* et m"' les deux valeurs de /n* que l'on en déduit; et il est visible que ces quantités seront réelles et positives : l'une d'elles sera comprise entre zéro et la plus
petite des deux quantités -^ et -fp — 3 .7/ h-^ l) ' autre surpas-
sera la plus grande de ces deux quantités; lesquelles sont les valeur? de, m* qui rendraient nul le premier membre de l'équation précédente.
L'une des deux équations d'où elle a été déduite , la seconde , par exemple, déterminera le coefficient f/. au moyen de f/ ; et en employant les deux valeurs m'" et m"* de m', les formules (21) seront les deux intégrales complètes qu'il s'agissait d'obtenir ; fx' et ft" désignant les deux constantes arbitraires.
Il ne restera donc plus qu'à déterminer ces constantes; ce que l'on fera en représentant par /^TrcJ" et /çtc' i'' les quantités de chaleur initiales de la sphère intérieure et de la couche qui la recouvre, c'est-àdire, les valeurs de ^'^' ^" et ^ \}^ + 3/?Z(A -f- /)] c'iî , qui répondent à <= o, de sorte que l'on ait, en vertu des équations (21),
W = [Z' + -M{h + Z)] {fjJ + /^").
Pour comparer les valeurs de fjJ et ft" qui en résulteront à celles du numéro précédent , il est nécessaire que la valeur de /t' soit exprimée au moyen de la seule racine m' , et que celle de fjù' contienne seulement w"; or, d'apiès l'équation (20), on a
3i8 THÉORIE MATHÉMATIQUE
cc'kl[l' 4- 5(A + ly] (m" + 7n"") = 5qch' Q + ^^"^;^f^]
cc'hl[l^^ 5 (A + /)•] m"/«"' = Qqp'(h + /)' ; d'où l'on conclut
^^'r-< — P" 3^Â^ — /v'"* — gh^ 3^ — ;
+ c'[P-]-5hl{h + l)]=:o; au moyen de quoi la valeur de /*' pourra être exprimée ainsi :
,..{, + 'A+i)y---''C" +3f 0 ±ijj}V.-[^.+ 3H(tt/)l'
et celle de /i/t" s'en déduira par le changement de m' en m".
Ces expressions de //.' et jm." coïncident, comme on voit , avec celles du numéro précédent , en observant que les intégrales
'Frdr et / r'F'rdr sont les valeurs de «T et cT'. Il s'ensuit
donc que les expressions de u et u' en fonctions de t, que l'on obtient directement pour le cas oii les lignes h et l sont supposées très petites, ne diffèrent pas de celles que nous avions d'abord déduites des formules générales; ce qui fournit une confirmation remarquable de ces formules.
Si les deux parties de la petite sphère sont de la même matière et forment un corps homogène, il faudra que les valeurs de u et u' soient égales pour rz=h , ce qui exige que l'on ait ç = 00 . L'une des deux racines de l'équation (20) sera infinie; et l'on devra, en conséquence, supprimer le terme contenant l'exponentielle qui lui correspond dans les formules (21). Nous supposerons que m"' soit cette racine; les deux quantités c et c' étant égales, l'équation (20) donnera, pour la valeur de l'autre racine ,
on aura donc
et comme la valeur précédente de fx' se réduira à
c'est-à-dire , à la moyenne des températures , il s'ensuit que la valeur commune de m et «'coïncidera avec le résultat du n° 141.
(i52). Les lignes h et l étant toujours très petites, supposons de plus que l'épaisseur l de la couche extérieure soit très petite , même par rapport au rayon h de la sphère qu'elle recouvre, de sorte que le
rapport y soit une très petite fraction. L'une des deux racines de
l'équation (20) , par exemple m"*, sera très grande et en raison inverse de l; par conséquent, après un très court intei'valle de temps, il faudra supprimer le terme qui contient l'exponentielle coirespondante à cette racine dans chacune des formules (21). La valeur approcliée de l'autre racine m'* s'obtiendra en négligeant l dans l'équation (20) ; et l'on aura , de cette manière ,
{q-\-p)ch' La valeur correspondante de fJif sera aussi , à très peu près ,
en désignant par y la moyenne des températures de la sphère intérieure.
Cela posé , les expressions de u et u' données par les formules (21), se réduiront à
3<7//< iqp't
u = ye ^i-^i---, u' = r^hr-^ »
ce qui montre que les températures u et u' des deux parties de la sphère conserveront constamment entre elles le rapport que nous
avons déjà trouvé entre ces quantités ( n° i49); ^n sorte que ce rapport constant subsistera encore malgré la petitesse de l'une des parties relativement à l'autre.
Quelle que mince que soit l'enveloppe de la boule d'un thermomètre, il n'est donc pas certain qu'elle prenne la température du fluide intérieur, pendant que l'instrument s'échauffe ou se refroidit, avant de parvenir, dans toute sa niasse, à la température extérieure. Pour que l'enveloppe et le fluide aient , à chaque instant , des températures égales, ainsi qu'on le suppose ordinairement, il faut que la quantité p' relative au flux de chaleur à travers la surface extérieure de l'enveloppe, soit très petite et puisse être négligée par rapport à la quantité ç correspondante à son autre surface en contact avec le fluide intérieur. Sur ce point, l'extension que nous avons donnée à l'hypothèse du n° Sy doit être restreinte à ce cas particulier. La quantité q peut dépendre de la nature du fluide intérieur et de celle de l'enveloppe, et variera, par exemple, selon que ce liquide sera le mei'cure ou l'alcool; mais il y a lieu de croire qu'elle ne dépendra pas de l'état de la surface intérieure de l'enveloppe, c'est-àdire, de son degré de poli et de sa coloration; car on peut comparer la chaleur qui passe de l'enveloppe dans le liquide , à celle qui est enlevée à un corps solide par l'air en contact avec sa surface, et qui ne varie pas, comme on sait (n" 3g), avec l'état de sa sxiperficie. Toutefois, cette conjecture aurait besoin d'être vérifiée par l'expérience; et , pour cela , il faudrait observer, avec une grande précision , les vitesses du refroidissement d'un même liquide , contenu dans une même enveloppe, dont la surface intérieure serait successivement dans différens états de coloration et de poli. Si l'on trouvait des valeurs inégales pour ces vitesses, on en conclurait que la quantité q varie avec l'état de cette surface; si, au contraire, ces valeurs étaient égales, cela prouverait que la quantité q est indépendante de l'état de la surface en contact avec le liquide , à moins qu'elle ne soit très grande par rapport à la quantité p' relative à la surface extérieure
de l'enveloppe, de telle sorte que la fraction — £ — , fût toujours sensiblement égale à l'unité.
L'expression que nous venons de trouver pour la température u à
un instant quelconque , montre aussi que le procédé suivi par les physiciens pour comparer les chaleurs spécifiques des corps d'après les temps de leur refroidissement , n'est pas aussi propre qu'on l'a pensé à cette comparaison. En effet , ce procédé exige que l'on amène les surfaces des deux corps à un même état , en les recouvrant l'une et l'autre d'une couche formée de la même matière, d'une très petite épaisseur, mais assez grande pour que le flux de chaleur extérieure atteigne son maximum ( n" 40' Or, dans cet état , supposons que la sphère du rayon h que nous venons de considérer, emploie un temps 6 à passer de sa température initiale y à une autre température;/'; d'après la valeur précédente de u' , nous aurons
-M^^ = loa21 {q + P')ch »y''
Pour une autre sphère d'un rayon h comme la première, enduite d'une couche très mince de la même matière que celle qui recouvrait cette première sphère , si l'on appelle G, le temps que la température emploie aussi à passer de 5/ à y' , on aura de même
Cl étant la chaleur spécifique de cette seconde sphère, et ^^ la quantité relative au passage de la chaleur de cette sphère dans la couche extérieure qui la recouvre. De ces deux équations, on déduit
équation qui ne peut s'accorder avec celle du n" 40, et servir à déterminer le rapport des chaleurs spécifiques c et c^, d'après celui des temps h et ^1 , qu'autant que les quantités q et q^ sont très grandes , lune et l'autre, par rapport à p', ou qu'elles sont indépendantes des matières des deux sphères, et par conséquent égales.
Réciproquement, si le rapport — est connu, cette dernière équa-
tion fera connaître celui des deux quantités —, et ^7, d'après les temps
6 et 6 observés. L'intensité du flux de chaleur à travers la surface de
contact de deux matières différentes , sur laquelle nous n'avons jusqu'à présent aucune notion , est cependant indispensable à connaître dans un grand nombre de questions; et il serait à désirer qu'on s'occupât d'en déterminer la grandeur, comparée à celle qui a lieu à la surface extérieure des corps , soit au moyen de l'équation précédenle, soit autrement (n° 124).
(i53). Revenons maintenant au cas de la sphère homogène d'un rayon quelconque l, auquel se rapporte la formule (8). Mettons dans cette équation / — x au lieu de r, puis x' à la place de x sous le signe f ; l'intégrale relative à jc' devra s'étendre depuis x' = l jusqu'à x' = o; mais en intervertissant l'ordre de ces limites, et changeant le signe du résultat , nous aurons
im^Mf>^^-^^
i{i-xy
■^cosp{2l — X'-x')]{l-~x')¥(l — x')dx'je~"^''\
D'après les valeurs de sin/o/ et cos pi, que l'on tire de l'équation (7), on aura aussi
C0Sp^2^ X — X) — ^^______ .
La quantité u sera la température qui a lieu , au bout du temps t , à la distance x de la surface; en appelant ^jc sa valeur initiale, il faudra mettre /r' au lieu de F(/ — x'); et cela étant, la valeur de u prendra la forme :
"=J^ .H^^pHpl-^) i/o [P^-s,.-+(;,Z-,)s.nfx](^^— -y.'rfx je .
Supposons actuellement que le rayon / devienne infini, on verra, comme dans le n" 142 , que les valeurs de p croîtront par degrés infiniment petits , de telle sorte qu'en désignant par n un nombre entier et positif, et faisant
p = -j- = z, j=ldz,
la somme Z se changera en une intégrale relative à z, qui s'éteu-
DE LA CHALEUR. SaS
dra depuis z ::= o jusqu'à z = oo . De plus, on pourra réduire le
facteur j— — à l'unité , et la quantité pi — i à pi. Il en résultera donc ^<=- r" r" (z cos zx + p sin ;x) (z cos zx +p siu zx') g - «"=•' A-V '^. fas")
Cette formule représentera la loi des températures dans un corps homogène, terminé par un plan indéfini , rayonnant à travers cette surface dans un milieu dont la température est zéro, et s'étendant indéfiniment de l'autre côté de ce plan, qui est partout dans le même état. On suppose la température égale, à chaque instant, en tous les points de chaque section parallèle au plan; et, pour cela , il suffit que cette condition ait été remplie à l'époque d'où l'on compte le temps t. A cette époque , la température à la profondeur X- étant yir, il faut qu'on ait, quelle que soit cette fonction,
fjc—l r* r* (z cos zx+p sin zx) {z cos zx + p sin zx') f >^^^^
pour toutes les valeurs de œ plus grandes que zéro.
Pour vérifier cette équation, j'observe que d'après la formule (i4) du n° I02, on a
fx = - / / COS zx cos zx'Jx'dx'dz , H — / / sin zj: sin zx'Jx'dx'dz ;
■rj — -r-J o
je suppose que dans cette formule la fonction arbitraire y^' soit telle que ion ait y( — x')-^fx'', la seconde intégrale double s'évanouira, et dans la première on pourra intégrer seulement depuis x' = o jusqu'à j:'= co, en doublant le résultat; de sorte que l'on aura
fx = - I I cos zx cos zx'Jx'dx'dz.
En retranchant cette équation de celle qu'il s'agit de vérifier, il en résultera
y--|-y^« zs\nz(x + x')-pco.zix-^-x;) ^f^j^>dx'=0.
Or, X et g étant des quantités positives quelconques, on a (a° i55)
'* z s'in xzdz 1 , r^ cosxzdz tt
r^zs\nxzdz^ ^^-.x r"
si donc on remplace dans ces équations g et o? parp et x~^.x', on en conclura
/"° a siii z{x -\- x') — p cos 2 te + x' ) ,
ce qui rend effectivement nulle l'intégrale double précédente.
On peut remarquer que l'équation (22) coïncide, comme cela devrait être, avec celle que nous avons trouvée dans le n® i3i, pour le cas d'une barre dont la longueur est infinie, quand on n'a point égard au rayonnement latéral, et que l'on fait, en conséquence, /; = o dans cette autre formule. Au moyen de la formule employée dans le n° 74, l'intégration relative à z s'effectue sous forme finie dans les deux cas particuliers de p = o et /> = 00 , et la valeur de u s'exprime alors par une intégrale simple, relative à x' .
(i54). Lorsque le temps t est devenu très grand, on peut développer la formule (22) en une série convergente, ordonnée suivant les puissances descendantes de t.
En effet, en développant suivant les puissances croissantes de z, on %
(z co%zx +p siii zx) (z cos zx'+p sin zx') __ p^, ■ p,^^ , p,,^6 ^^^
P, P', P", etc., étant des coefficiens indépendans de z, dont il sera facile de former les valeurs, et dont le premier, par exemple , sera
D'ailleurs , en désignant par n un nombre entier et positif, on aura ( n" 76 ) >i
— a'z't in J I
— a'Z'i -in I
e z az ^
. 3.5. . .ara — 1 v'"'
DE LA CHALEUR. SaS
nous aurons donc
' (2 cos 2^ + ^ sin z.v) (z cos .r' -{- p s\n z.v')de ï/x /P ..3.F i.S.S.r N
et si nous faisons généralement
