an-, r» pc-O A.'^^'= QCn-O
la formule (22) deviendra
Or, si l'on excepte le cas où les quantités Q , Q', Q", etc. , deviendraient infinies par la nature de la fonction Jbc', ou bien parce qu'on aurait p = o, ou voit que le temps t pouna toujours devenir assez grand pour que cette série soit aussi convergente que l'on voudra; mais comme les numérateurs de ses termes successifs renfermeront les puissances croissantes de la variable jc , on voit aussi qu'il faudra , pour cette convergence, que le produit a\'t soit d'autant plus grand que cette distance x sera plus considérable.
Avant de devenir tout-à-fait zéro , comme la température extérieure, par l'effet du rayonnement à la surface, la température u se réduira sensiblement au premier terme de la série précédente ; et en y mettant pour Q sa valeur, on aura
ce qui montre que dans cet état final du corps , les températures doses différens points croîtront proportionnellement à leurs distances à la surface , et varieront , en général , en raison inverse de la puissance | du temps. Je dis en général; car la série précédente et celte loi finale n'auraient plus lieu si l'intégrale relative à ^t' était infinie.
Supposons, par exemple, que la température initiale soit la même
et égale à une constante y dans tous les points du corps. Au lieu de
prendre Jx = y , faisons d'abord
fx = ye-^' ;
" étant une constante positive et infiniment petite. Nous aurons, par les règles ordinaires,
r e-^" (z cos zx' + p sin zx')dx' = ^-^±4! , et, par conséquent.
On pourra réduire à z' le facteur z'-j- g' du dénominateur, excepté |iour les valeurs infiniment petites de z; mais, pour ces valeurs, le numérateur étant aussi infiniment petit, et le coefficient de <^z sous le signe / ne devenant point infini, on pourra, sans aucune erreur, négliger la partie correspondante de l'intégrale ; en sorte que l'on aura exactement
lyp f^ {z coszx -f p sinzx) —a'z'ti
Il — — / — ■■ — —7— — j — -r e ctz,
Maintenant, en développant, comme plus haut, suivant les puissances croissantes de z , le coefficient de l'exponentielle sous le signe /", et intégrant ensuite , on en conclura
Y, \", Y", etc., étant des quantités indépendantes de t et faciles à déterminer. La température u sera donc sensiblement nulle, comme précédemment, au bout d'un temps très grand; mais avant d'être égale à zéro, elle se réduira au premier terme de cette série, et variera seulement en raison inverse de la puissance ^ de f, au lieu de la puissance | ; ce qui montre que la loi des yarit»tiorj$ finales de la température u, par rapport au temps, dépendra de la loi des températures initiales. La série précédente, réduite à son premier
DE LA CHALEUR. Sa^
terme, donnera
en sorte que la température finale croîtra toujours proportionnellement à la distance x , comme dans le cas général.
(i55). Dans ce chapitre et dans celui qui précède, nous avons toujours .supposé la température extérieure constante el égale à zéro; mais quand on a déterminé la distribution de la chaleur dans un corps, soumis à une température extérieure égale à zéro, il est facile, en général, d'étendre la solution du problème au cas où la température est une fonction quelconque du temps. Le procédé le pins direct pour y parvenir est celui que j'ai suivi dans mon premier mémoire sur la Distribution de la Chaleur, et auquel on a cherché depuis à substituer d'autres méthodes dont les principes et les résultats ne sont pas exempts de difficulté. Un exemple suffira pour expliquer ce procédé. Nous choisirons, à cet effet, la question précédente, relative à une sphère extrêmement grande , que l'on considère comme un corps tei'miné par un plan, et qui rayonne à travers cette surface dans un milieu dont la température Ç sera maintenant une fonction donnée du temps.
En mettant l — x à la place de /■ dans l'équation (2), qui doit avoir lieu à la surface, on aura
pour jc = o; en même temps, l'équation commune à tous les points du corps, ou relative à toutes les valeurs de x , sera
du , d'il
dt ~ ^ di''
et, comme précédemment, on aura enfin u = fx pour t = o. Dans chaque cas , cette température initiale et la température extérieure seront données, la première depuis x = o jusqu'à J7=roo, et la seconde, en fonction de t, depuis t = o jusqu'à t = ca . Or, pour satisfaire à ces trois équations du problème, je ferai
ï/ = it^ -)- U ;
M, étant une nouvelle inconnue , et U une quantité dont je disposerai à volonté. Je la supposerai telle que l'on ait
pour ^ = o seulement , et
dl] , f/'U dt ~ ^ dx^'
pour toutes les valeurs de x. Il faudra alors que l'on ait
du, d'u, . d'u
pu^
dt — r"/ ' dl ~ dx
la première équation ayant lieu pour x=zo, et la seconde pour toutes les valeurs de x. De plus , si l'on appelle -^x la valeur de U qui répond à ^ = o , il faudra que l'on ait aussi u^ =fx — -^x pour celte valeur particulière f = o. On conclut de là que l'expression de m, en fonction de « et a: sera donnée par la formule (22) , dans laquelle on mettra Jx — -^x à la place de fx. Par conséquent , nous
aurons
pour l'expression de u, dans laquelle il ne restera plus qu'à déterminer la quantité U, dont la valeur dépendra de celle de ^.
Représentons par tt. A, e., des constantes quelconques, dont la première est une quantité réelle et positive, et supposons que l'on
ait d'abord
Ç = A cos {at -f- ê).
Si la valeur de Ç se compose de plusieurs termes semblables à celui-là, il résulte de la forme linéaire des équations auxquelles U doit satisfaire, que sa valeur se composera aussi d'autant de termes correspondans à ceux de Ç , qui se détermineront tous de la même manière. De plus, en supposant les termes de ^ infiniment petits et
en nombre infini , on pourra représenter par une intégrale double une valeur quelconque de ^ en fonction de t; l'expression correspondante de U se changera aussi en une pareille intégrale; et, de cette manière, la détermination générale de celte partie de la température se trouvera ramenée au cas particulier de la valeur précédente de 1^. Dans ce cas, je fais
U = X sin {at-j- e) + X' cos (at + e) ;
X et X' étant des fonctions de x. En substituant celle valeur de U dans l'équation à laquelle elle doit satisfaire pour toutes les valeurs dex, et égalant les coefficiens des termes semblables dans les deux membres, on aura
— a"-) — = 0, aX+«*-j-T = o.
D'après l'équation relative à jr= o, on aura de même
pour cette valeur particulière de x. Les intégrales complètes des deux premières équations sont
X=(Csinfv/i" + C'cosîv/^)e-^V-"
+ (cW./~^ + C"'sinîv/Ôe^V/^.
X'=:(Ccos^v/^-C'sinfv/Ô^-"^^ + (C'-n^v/'^~C"'cosîv/9e^^^
C, C, C, C", étant les quatre constantes arbitraires. 11 suffira de deux de ces constantes pour satisfaire aux deux autres équations; celles qui resteraient indéterminées entreraient dans U et dans •\'X, et devraient disparaître dans u. On pourra donc déterminer comme on voudra deux de ces quatre quantités; et nous ferons C = o
33o THÉORIE MATHÉMATIQUE
et C" = o, afin que les exponentielles qui ont des exposans positifs disparaissent des valeurs de X et X', et que la valeur de U ne croisse pas indéfiniment avec oc, pour une valeur quelconque de a. En déterminant ensuite C et C, au moyen des deux équations relatives à x=o, et faisant, pour abréger,
q sino),
nous aurons
q cos ce,
X = ^ Ae « ^ ^ sir
séquent, U = I Ae-^V-: ,^g (a^+ .-^ s/l - «)• (24)
^Ae «V^sj^g^f |,)^ et, par conséquent,
rt ▼ a q ""
Maintenant, soit (pi une fonction quelconque de t, continue ou discontinue, et supposons qu on ait Ç = (pt. D'après ce qu'on a vu dans le n° i43, on aura
<pt =1 - / cos at cos at'<ùt'dt'da, , (aS)
pour toutes les valeurs positives de f, y compris i = o. Si donc on fait
1=0, A = - <pt' cos at'dt'da.',
que l'on donne successivement à a et i' toutes les valeurs comprises depuis a = o et i' = o jusqu'à a = 00 et i' =:^ eo , et qu'on prenne pour t, la somme des valeurs correspondantes de A cos (eci-f- s), et, par conséquent, pour U la somme des valeurs de la formule (24), on aura
o I I p cosat'ipt e a V Q X /Z V
pour l'expression générale de U qu'il s'agissait de déterminer.
(i56). Cette valeur de U étant exprimée par une intégrale double, il en sera de même à l'égard de la valeur de >j/,r, qui s'en déduit en faisant tz=o; par conséquent, la partie de la foinmle (aS) qui dépend de 4-^ aura d'abord pour expression une intégrale quadruple, relative à z, x' , a, t', et prise depuis zéro jusqu'à l'infini pour chacune de ces quatre variables; mais l'intégration relative à jc' s'effectuera, sous forme finie, parles règles ordinaires; et cette partie de la formule (25) se trouvera réduite à une intégrale triple. La valeur complète de u sera donc exprimée par celte intégrale triple, et par deux intégrales doubles , l'une relative à z et .r', l'autre à a et /'. Au bout d'un temps suffisamment grand, l'intégrale triple sera insensible, aussi bien que la première intégrale double, dépendante de yô: ou des températures initiales; à cette époque, la valeur de u sera donc sensiblement égale à U, de sorte qu'elle ne dépendra plus que de la fonction (ft, ou de la loi des températures extérieures.
Désignons par t une valeur particulière de t assez grande pour que cette réduction de z^ à U ait eu lieu à l'époque qui répond à t = T; supposons qu'à cet instant la loi des températures extérieures vienne à changer par une cause quelconque; on pourra considérer J comme une fonction discontinue de t, et représenter cette quantité pour toutes les valeurs de ^, depuis / = o jusqu'à ^ = 00 , par
Ç = <pt + <p't;
çt étant la même fonction que précédemment , et <p't une autre fonction dont les valeurs seront aussi données arbitrairement pour ^ > t, mais qui sera zéro pour ^ < t et pour t = T. De cette manière, la valeur de u, réduite à sa partie dépendante de ^ après un temps r extrêmement grand, se composera de deux termes, l'un relatif à (pt , qui sera toujours exprimé par la formule (26), l'autre correspondant à (p't, qui se déduira de cette formule en y mettant cp'i au lieu de (pt ,
et que nous désignerons par U'. A celle époque, on aura donc
pour la valeur complèle de la température u.
L'expression de (p't se déduira de la formule (26) par la substitution de (p't' au lieu de çt'; mais la fonction o't' étant supposée nulle depuis t' = 0 jusqu'à t' ^ X inclusivement, il suffira d'étendre l'intégrale relative à t' , depuis t' z= r jusqu'à i' = co ; et l'on aura alors
tp'tz=- f I cos at cos a.t'(Ç)'t'dt'dct.
D'après la formule (26) , on aura , de la même manière ,
Soit 6 le temps écoulé depuis l'époque qui l'épond at = T, de sorte qu'on ait
« = T + G; faisons aussi
les limites de l'intégrale relative à <, seront zéro et l'infini, et la valeur de U' prendra la forme
W=- cos |a(G-0--\/ -- ->A
fa. cos 2Tadx + / f'u sin 2rada ;
fa, ei fa, désignant, pour abréger, des intégrales relatives à t^ , dont nous n'aurons pas besoin d'écrire les valeurs. U nous suffira de remarquer que ces fonctions de et ne varieront pas très rapidement avec la variable a, et qu'elles s'évanouiront à la limite a = 00 ; or, la constante T étant, par hypothèse, extrêmement grande et comme infinie,
il s'easuit que les deux dernières intégrales relatives a a. , seront tout-à-fait insensibles. C'est ce que l'on voit en les réduisant par l'intégration par partie en séries ordonnées suivant les puissances négatives de t. Cela résulte aussi de ce qu'elles expriment les ânes de courbes dont les ordonnées passent très rapidement du positif au négatif, ce qui rend insensibles les sommes des élémens de ces intégrales. En les supprimant donc , on aura simplement
expression qui ne dépendra plus que du temps 6 écoulé depuis l'époque où la loi des températures extérieures a changé, et qui fera connaître l'accroissement positif ou négatif des températures intérieures résultant de ce changement.
Maintenant, je suppose que la fonction <p't redevienne égale à zéro, après un intervalle de temps donné , que je désignerai par cT , de sorte qu'elle soit nulle, non-seulement depuis ^ = 0 jusqu'à f = T, mais aussi depuis ^ = t -f- cT jusqu'à ^ = ce ; il suffira alors d'étendre depuis t' = T jusqu'à t' = T-{-J', l'intégrale relative à t' dans l'expression de <p't , nui deviendra, en conséquence,
(p't=-j / cosatcosoi.t'(p't'dt'da; (28)
et pour toutes les valeurs de t qui tombent hors des limites t et T-f-tf, ou qui leur sont égales, cette formule devra être égale à zéro : pour les valeurs de t comprises entre ces limites, elle représentera les valeurs correspondantes de (p't. La fonction ç/.^ sera zéro pour t^^c^ et pour i^ > cT; par conséquent, l'intégrale relative à t^ dans la formule (27) , ne s'étendra plus que depuis t^ = o jusqu'à t^ = S' ; mais au-delà de f^rcT, cette formule ne se réduira pas à zéro, parce que le changement sui'veim dans la loi des températures extérieures, et qui n'a duré qu'un temps égal à cT , influe encore sur les températures extérieures, après qu'il a cessé.
(iSy). Voici un exemple propre à vérifier l'exactitude de la formule (28).
Désignons par A, c, cT, trois constantes données, dont la première est une température et chacune des deux autres un intervalle de temps. Prenons
(pt=. Acos — x- >
entre les limites « = c ± - ttS" ', et supposons que <p't soit nulle en dehors de ces limites : la formule (28) deviendra
(p'f=— f (f " cosai'cos — j-^dt'jcos atdoL.
On aura immédiatement
, t' C , , COS (C + ^ 5r<^)« + C0S(C jîTtfJ*
cos at cos —r-at = '-
cos(c + ï îTiî')* -h cos (c î i^•<^)<»
d'ailleurs on peut évidemment étendre l'intégrale relative à a, depuis « = — co jusqu'à a = -f-co, pourvu que l'on réduise le résultat à moitié ; nous aurons donc
^u A /^ '^ [cos (c + i 3-^)« + cos (c — 1 3-^)«] cos «( ,
A /^»[cos^£+Jj
A /^ " [cos ( c -t- ^ g^«^ )« + cos(c — j 7rJ^)a!] cos af
Sans changer les limites de ces dernières intégrales, on peut mettre à la place de a, dans l'a première a+ j, et dans la seconde a — j. Toutes réductions faites , il en résultera
A COS (.<^ + ') j, I j
A COS (<^ + ') W Acos(c-Oj/ . ^ . . , ^ rf,
A COS (c + 0 J.
A COS (c —
sin r c ttS' — Ma — .
On pourra maintenant réduire les limites de chacune de ces quatre intégrales à ze'ro et l'infini, en doublant le résultat; mais d'après une formule conuue, on a
/* sin na J r^- sin na , ,
-30 « J O ce
selon que la constante 71 est positive ou négative; chacune des quantités t, c -^- \ ttS' , c — ^ ttS" , étant positive , on aura donc
ce qui réduira d'abord l'expression de (p't a
A ces (c — 0 "î. ^ ^» V J
Déplus, si l'on a ^ > c -|- 7 '^<^> on aura aussi ^ >• c — { ttJ"; les deux dernières intégrales seront l'une et l'autre égales à — { tt; et il en résultera ^'t = o. Si l'on a t <C c ■ — { ttc^, et conséquemment t <C c -\- -^ TTcT, ces deux intégrales seront l'une et l'autre égales à + X "■> en sorte que l'on aura encore <p't = o. Enfin , si l'on a < >■ c — -J ttS' et i «< c + ï "^J" ) on en conclura
/ sin Te ± - TTcT — tja— = ± ^ -tt ;
ce qui réduit à A cos — y- la valeur précédente de (p't , et complète la
vérification de la formule (28).
(i58). Appliquons aussi la formule (27) à un exemple j et pour cela , prenons
(p^e = Ae-^'sina'ô;
e désignant la base des logarithmes népériens, et A, g, a', des constantes données , dont les deux dernières seront supposées positives. Par les règles ordinaires, on trouve
^e ^ ' sm {at, + b) dt, = ^^^ ; (29)
a et b étant des constantes quelconques. On conclut de là
zj e~^''sm a't^ cos fa (G — t,)— ^ \J\ —«"]</«,=
(a'~ a)cos(aG — ^ \J-^—a^ 4. gsin (a9— ^ ^^^ — «)
(a' + a) cos (ci 6 — -^ y/^ « ) g sin (a6— ^ V; — «),
d'après la formule (27), nous aurons donc
■•■* («' — «) cos {ai — h) Hdcc - r^ g sin («ô — h) Hda
jj, __ /•■* (« — «) cos («fl — /Q Hc/'g j r^ g sin («S — h) Ud,
/"" («' + a) COS («9 — h) H</« /""='g-siti(«9 — ^)H</«
en faisant pour abréger ,
Vj.
Si l'on fait g = o, l'accroissement de température <pp deviendra une variation périodique de la température extérieure ,
commençant à l'époque d'où l'on conjpte le temps 6, et qui se prolongera indéfiniment. Quand 9 sera devenu extrêmement grand, il est évident que l'expiession de U' devra être la même que si cette partie (^t de la valeur ^ eût toujours existé ; elle se déduira donc alors de la formule (24) , qui répond au terme A cos («< + «) de Ç, en y faisant
s= — -ÎTr, a = a', ^ = 6.
Par conséquent, si l'on désigne par cJ ce que devient « quand on y change a en a! , on aura
\i'=-—^P' ° J-- sin(a'e- l y/l - .) , (5,)
au bout d'un temps 6 supposé extrêmement grand. Mais jusque là, la valeur exacte de U' sera donnée par la formule (5o), en y considérant g comme un infiniment petit.
La quatrième intégrale contenue dans cette formule sera aussi infiniment petite ou nulle; car a' et a étant des quantités positives, dont la première n'est pas nulle, le dénominateur («'-f- a)*+g* ne deviendra jamais infiniment petit. Par la même raison , on réduira ce dénominateur à (a' + a)* dans la troisième intégrale. Le dénominateur (a — a)* + g' étant infiniment petit pour les valeurs de a infiniment peu différentes de a', la seconde intégrale ne sera pas nulle comme la quatrième. Mais il sera permis de ne l'étendre qu'à ces valeurs de a; en y faisant donc a. z=. a' -\- j- , on pourra considérer la variable j, positive ou négative, comme un infiniment petit, et réduire en conséquence , cette intégrale à
H'sin(a'6 — ^') T-Ç-a;
H' et h' étant ce que deviennent H et h quand on y met et au lieu de a. La première limite de l'intégrale relative à y sera négative, et la seconde positive; elles pourront être aussi grandes que l'on voudra ; car l'intégrale s'évanouit, dès que la variable n'est plus infiniment petite. Elle aura tt pour valeur, quelles que soient ses li-
338 THÉORIE MATHÉiMATIQUE
mites de grandeur finie. Par conséquent , -ttH' sin (a'6 — h') sera la valeur de la seconde intégrale contenue dans la formule (3o). Quant à la première , on voit qu'elle se compose d'élémens qui sont égaux et de signes contraires dans une étendue infiniment petite de part et d'autre de a.=za'; on pourra donc négliger cette partie de l'intégrale, et y réduire, en conséquence, à [af — a)* le dénominateur (a' — a.Y-\-g*. D'après ces diverses considérations, la valeur complète de U' relative à ^^ = 0, et déduite de la formule (5o) sera
U' = ,rH'sin(a'â-;i')+ ^ "-"^ (-^ - mj^ ^ f^ co<-^'^ - ^)Hj« ,3 .
pour une valeur quelconque de 9.
Pour qu'elle coïncide avec la formule (3i), lorsque le temps ô est devenu extrêmement grand, il faudra, pour toute valeur très grande de 6, que l'on ait, en remettant pour H' et h' leurs valeurs,
^ sm (atJ V/ ^\
C'est ce que l'on peut effectivement vérifier de la manière suivante.
La dernière intégrale que renferme le second membre de cette équation est de la forme / cos («6 — h)/ ado., où l'on désigne par^a
une fonction qui ne varie pas très rapidement avec a, et qui s'évanouit à la limite a =c/o ; d'où l'on conclut, comme dans le n" i56, que cette intégrale est zéro pour â:=oo , et peut être négligée quand 6 est un très grand nombre. La preniicre intégrale contenue dans ce second membre, est aussi de la même forme; mais pour celle-là, le facteur J^st varie très rapidement pour les valeurs de a très peu différentes de a' ; par conséquent, si l'on désigne par cT une quantité aussi petite que ion voudra, et si l'on divise cette intégrale en deux parties dont l'une soit prise depuis a = a' — J^ jusqu'à a=a'-f-cr, on pourra seulement négliger l'autre partie, mais il faudra conserver
DE LA CHALEUR. 53i)
celle dont les limites seront a'rtcT. Ea faisant, dans cette partie , a=.a.' -\-y et r/a= dj, elle deviendra d'abord
/'^H sin (a'6 -/0^-^^jr-/'^Hcos (a'ô - h) '^^ dj.
Déplus, si l'on développe les facteurs H sin (ct'fl — li) et Hcos(a'â — h) suivant les puissances àe jr , il suffira de conserveries termes indépendans de^; car les termes des intégrales relatives à^ , correspondans à ceux qui dépendent de cette variable , auraient des puissances de 6 pour diviseurs et pouiTaient êlre négligés. En mettant H' et h' au lieu de H et A dans la quantité précédente, on aura donc
H' sin (c'a - A')/! /-^^-^ ^j - H' cos ( a'6 - 70 /l'/-^ ^J. La dernière intégrale relative à^", qui est ici à la place de
sera égale à zéro, comme étant composée d'élémens qui sont deux à deux égaux et de signes contraires. Je ferai 9j- = r et ^d/ = dz, dans la première ; les limites relatives à z seront extrêmement grandes, et comme infinies ; il en résultera
TT
d'après la formule connue dont nous avons fait usage dans le numéro précédent. Cela posé , le second membre de l'équation précédente se réduira à ttH' sin (a'6 — h'); et d'après ce que H' et h' représentent, il sera identique avec le premier; ce qu'il s'agissait de vérifier.
On peut remarquer que la valeur de l'intégrale / dz , dans
laquelle a est une constante quelconque , ou celle de / — -— dz ,
égale évidemment à la moitié de la première , se déduit de la formule (29). En y faisant Z> = î tt, et mettant z au lieu de t^, on a
/ e -«* cos azdz = ~—^ ;
^o THÉORIE xMATHÉMATIQUE
je multiplie cette équation par da, puis j'intègre ses deux membres
par rapport art, et je fais commencer leurs intégrales à a=o; il vient
I e ^' — - — az = arc f tang = - ) J
et si la constante positive g est supposée infiniment petite, il en résultera
sin az j 1 1
az =- TT , = TT, = O
selon que la constante a sera positive , négative, ou zéro; ce qui est le résultat que nous avons déjà cité dans le n° 1 1 5.
(i5g). La température intérieure U' provenant de l'accroissement (p^ô de la température extérieure, qui commence à l'époque d'où l'on compte le temps G et est nul quand 6 = o, il est évident qu'on doit aussi avoir U' = o à cet instant. Cela étant, si l'on fait G =o etU'= o dans l'équation (32), et que l'on y mette pour H, ^, H', h' leurs valeurs, ou en conclura
(Wî^-y
+ ey^ + P-
pour toutes les valeurs de x positives ou zéro ; ce qui nous fait connaître la valeur d'une intégrale définie que l'on n'obtiendrait par aucun procédé direct, mais qui n'en est pas moins certaine, puisqu'elle est une conséquence nécessaire de notre analyse.
Si l'on a égard à ce que représente m et a', et que l'on mette eta' et a'a* au lieu de a et a', ce qui fait disparaître la constante a, cette équation devient
2a (u + p y/au + p')
Dans le cas de j: = o , elle se réduit à
2 \/2«'(-' + pV^»' + P') J o («'^ — «')(<« + yj V 2« + p') '
et l'intégrale qu'elle renferme peut être rendue rationnelle, et déterminée par les règles ordinaires.
Je partage cette intégrale en deux parties, dont l'une s'étendra depuis a, =0 jusqu'à a. = a', et l'autre depuis a = a' jusqu'à a = oo ; je fais a= a.'z et da = a'dz; les limites relatives à s seront 2 = 0 et z = 1 dans la première partie , z ::= i et s= 00 dans la seconde ; je mets aussi /)\/ a' au lieu àe p ; la constante et' disparait; et l'on a
dz
iV/2ii +pV^-^P") ^ ° (' — ^1 {i -\- pV -^z + P'')
) z + pViz-\-p')
Je fais, dans la seconde intégrale, s = i et t/z =: ^; les limites
relatives à y seront j^ 1 et;- = oj en les intervertissant, et changeant le signe du résultat , il vient
J ° (l — Z^) fz+«l/2
dz
° i^—r) {i+p\^v+py)'
ou bien, en employant la lettre z au lieu de j dans la seconde intégrale , et réduisant ensuite les deux intégrales à une seule,
~~^ ° Cl+Z) {z + p\/^4.p')(l +p\/2.
dz
2V/2(i+/;V/2 +i^') •/ ° Ci+=) (^ + A^»/2S-f/;'Xi +i^»/2^+/^'v'
ou bien encore
4 (• -hp V/2 +pO -^ 0(1 +r) ljr*+j>7^V/2 +^0 (' +JP>/^--^jY)'
en faisant z r^j'' et <fz = 2j^^ , et divisant par \/2. Or, on vérifie sans difficulté cette dernière équation, en effectuant l'intégration indiquée par la règle relative aux fractions rationnelles.
Par des différentiations on des intégrations relatives aux quantités ^ et O", on déduira de l'équation (33) d'autres résultats concernant les intégrales définies, que l'on n'avait pas encore obtenus. Par exemple, si l'on y remplace les sinus et cosinus par des exponentielles imaginaires, que l'on différentie ensuite cette équation quatre fois par rapport à x, que l'on l'emette pour les exponentielles leurs valeurs en sinus et cosinus, et que l'on ajoute l'équation ainsi obtenue à l'équation (33j multipliée par a'', son premier membre disparaît , ainsi que le dénominateur a'* — a* compris sous le signe intégral dans le second, et il
vient
Dans le cas dep = o, et en mettant aa* et /^ada au lieu de a el da , on en déduit
e cosjcaa& z=: I e sin xada.;
résultat que l'on vérifie immédiatement au moyen de l'équation (29). Dans le cas de /)ï= 00 , et en mettant toujours 2a* et ^ada a. la place de a et dx, on a
e a cos xada. = o , ou , ce qui est la même chose ,
re-'^'^^~' adc, + r e-' ^"^^"^ ad» = o.
DE LA CHALEUR. S/fS
Or^en mettant au lieu de a, dans la première intégrale î a. (i — \/ — i), et dans la seconde \ «'(i+y/ — 0» '^ vient
i [(x-vZ-TTy. + (i+ \/^*] /f e"''^oc^a= o;
ce qui est une équation identique.
Ces diverses vérifications et beaucoup d'autres que l'on pourra facilement imaginer, serviraient, s'il en était besoin , à confirmer notre analyse.
(i6o). On peut considérer l'influence de l'accroissement (p^6 de la température extérieure sous un autre point de vue qui nous conduira à l'expression la plus simple et la plus générale de la température intérieure.
Fixons pour un moment l'époque de l'état initial du corps à l'instant d'où l'on compte le temps 6 et où commence cet accroissement (ph. Supposons qu'à cet instant la température de tous les points du corps soit zéro, et qu'au bout du temps G la température extérieure tout entière soit exprimée par <p^9. Au bout du même temps la température u en un point quelconque se déduira des formules (aS) et (26) dans lesquelles on supprimera la fonction f , et l'on remplacera par (p^ la fonction (p, en sorte que Ton aura
2 r'^ p'^ (z cas zx -{- U sinzx)(z cos zx + 1} s\i\ zx') , , —a^z't , .,
-^jjo --1^7^ ^'^^ ^•^^^'
où l'on désigne par ^^oc' ce que devient la première partie de cette valeur de u , quand on y fait 6 = o et que l'on y met x' au lieu de x. Or, dans le cas auquel cette formule répond, il est évident que la valeur de u doit coïncider avec la température U' déterminée par la formule (27J; et comme la fonction (p^ est arbitraire, il s'ensuit que cette coïncidence aura encore lieu lorsque l'on remplacera <p par la fonction tp contenue dans la formule (25), et 4, par la fonction corres-
pondante -^i donc en raetlant aussi t au lieu du temps quelconque 6,
et remplaçant t^ parf' dans la formule (27), il en re'sultera
(zcoszx -^-psïn zx) (z cos za:' -f- n sin zj:') , , —Qij.f
^rzfji -i^e dx dz =
-Vf
^- cos
Ainsi, la partie de la formule (aS), de'pendante de la fonction 4 » qui se trouve d'abord exprimée par une intégrale quadruple, réductible par les règles ordinaires à une intégrale triple (n° i56), est équivalente, comme on voit, à une intégrale double. On peut observer que le temps t se trouve en exposant dans la première intégrale , et sous un cosinus dans la seconde; circonstance semblable à celle que j'ai déjà remarquée dans un autre cas (*), où une quantité indéterminée, contenue dans une intégrale, se trouvait dans la valeur de cette intégrale , soit en exposant, soit sous des sinus ou cosinus , tandis que sous le signe f, elle était au contraire sous des sinus ou cosinus, ou en exposant.
Maintenant , d'après cette dernière équation , et en vertu de la formule (26) où l'on mettra pour sin m et cos «, leurs valeur-s (n° i55), la formule (22) deviendra
tj o J o
(z cos zx -^ p sin zx) (z cos zx' -\-p sm zx' ) ^ , — a''^''tj ij z'-|-/»^ J
-i fLLjZ r-«V>cosr«(,,';V->''^
Telle est donc l'expression complète et sous la forme la plus simple,
(*) Journal de l'École P olj technique , 18' cahier, page 298.
df la température qui a lieu au bout du temps « et à la distance x de la surface, lorsque la température initiale et la température extérieure sont exprimées par des fonctions ^j:? etcp^, entièrement arbitraires.
Cette formule se rapporte à un corps terminé par un plan indéfini , et qui s'étend indéfiniment d'un côté de ce plan; par des considérations semblables à celles qui nous y ont conduits, on obtiendra sans difficulté une formule applicable à un corps compris entre deux plans parallèles, dont l'épaisseur sera donnée : on pourra, si l'on veut supposer que la température de l'un de ces plans soit constamment entretenue à zéro; et alors en remplaçant la température initiale et la température à un instant quelconque par l»^s produits de ces quantités et de la distance à ce plan, du point auquel elles répondent, n° (140), on obtiendra une formule qui conviendra h une sphère d'un rayon donné , placée dans un milieu dont la température varie suivant une fonction du temps aussi donnée. Mais ces formules générales n'ont pas d'applications utiles; et d'après l'exemple que nous venons de donner, leur formation îie présentera plus actuellement d'autre difficulté que la complication des expressions analytiques qu'il faudrait écrire.
(161). En général , les formules précédentes deviennent beaucoup plus simples lorsqu'on y fait /?= co , quoiqu'elles soient toujours exprimées par des intégrales doubles dans le cas d'une loi quelconque de la température extérieure. La dernière formule du numéro précédent se réduit alors à
^= - / / e foc' sin zac sin zx' dx'dz
V^cos Va.{t—t')—-\J''~^dt'dcL.
Ce sera la température en un point et à un instant quelconques.
Lorsque le temps t est devenu extrêmement grand, la température finale U, déterminée par l'équation (26), devient
en observant que p = co rend zéro l'angle a> du n° (i55).
Pour cette valeur de p, l'équation relative à la surface se réduit à M:=Ç(n'' iSy); et ce cas est celui où le corps que l'on considèi'c, au lieu de rayonner à travers le plan qui le termine , a une température donnée en tous les points de ce plan, et exprimée par Ç^ ou (pt. Le problème a alors pour objet de comparer les températures qui ont lieu à différentes distances de la surface, à celle qui répond à la surface même , et non plus à la température extérieure.
Dans le même cas de /j = oo , la formule (24) se réduit à
U = Ae " ' cos (at + i—-^ y/^)-
En supposant que la température Ç de la surface soit une fonction périodique qui reprenne la même valeur toutes les fois que t augmente d'un temps donné ô , et représentant , en conséquence, cette température par une série de sinus et de cosinus des
multiples de -r- , on pourra appliquer successivement cette dernière
formule à tous les termes de cette série ; en prenant ensuite pour U la somme des valeurs qui en résulteront , on aura l'expression de la température finale dans l'intérieur du corps, qui répondra à la valeur entière de ^ , et sera périodique comme la température du plan qui le termine. Cette expression de U est celle que Fourier a donnée le premier pour ce cas particulier.
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