CHAPITRE XI
Distribution de la chaleur dans quelques corps, et spécial tment dans une sphère homogène primitivement échauffée dune manière quelconque.
(162). J'appellerai A le corps que nous allons considérer. Soient M un point quelconque de ce corps; x, j z, les trois coordonnées rectangulaires de M; et u la température qui a lieu en ce point au bout du temps quelconque t, et qui sera une fonction inconnue de t, x , j, z. On comptera le temps t à partir de l'état initial de A , de sorte que la valeur de u qui répond a t = o , sera donnée en fonction de x,j, z. Le corps A sera homogène; on représentera par c et k, la chaleur spécifique et la conductibilité de la matière dont il est formé; on supposera d'abord que la température u n'est pas assez élevée pour influer sensiblement sur les deux élémens c et k; et l'on négligera également dans toute l'étendue de A, les variations de densité dues à l'inégalité des températures • variations qui sont en effet très petites dans les corps solides, et dans le cas des températures ordinaires. De cette manière, A et c seront deux quantités constantes , dont les valeurs numériques devront être données. Enfin, on regardera comme insensible l'étendue du rayonnement moléculaire dans l'intérieur de A.
L'équation du mouvement intérieur de la chaleur, que nous avons obtenue dans le n°49> sera alors
en faisant, pour abréger.
de sorte que et soit une constante donnée, que nous regarderons comme
positive.
Indépendamment de cette équation , commune à tous les points de A , qui ne font pas partie de la couche superficielle où la température varie très rapidement , il y a une autre équation qui n'a lieu que pour les points situés à la limite intérieure de cette couche, dont nous considérerons l'épaisseur comme insensible. Supposons que M soit un de ces points ; abaissous de M une perpendiculaire sur la surface de A, qui la rencontre en un point 0 ; menons par ce point 0, en dehors de A, une normale à sa surface ; et soient a, ë, y, les angles que cette droite fait avec des parallèles aux axes des jc, y, z, menés aussi par le point 0. Représentons par Ç la température extérieure qui répond à ce point , et par p une quantité positive dépendante de l'état de la surface en ce même point, qui varierait, en outre, avec les températures « et iT, si elles étaient très élevées. Si nous faisons, pour abréger,
nous aurons pour la seconde équation dont il s'agit
^cosa + ^cosê-j-^cos>4-i(i^— 0 = O. (2)
La température u appartient au point M et non au point 0; mais dans son expression relative aux points intérieurs, ou pourra, sans erreur sensible, mettre à la place de x,j, z, les coordonnées du point 0, pour en déduire la valeur de u à laquelle convient cette équation (2). Soit L = o, l'équation donnée de la surface de A; en faisant, pour abréger,
(ÊyH-cj)"-t-©" = ^-.
on aura , d'après les formules connues ,
I ^L a 1 dL i dL ,,,
cos a = - -— , cosfa = --J- , C0S> = --r> w)
A dx ' ^dy ' Adz' ^ ■'
OÙ Ion prendra le signe du radical que A représente, de manière
DE LA CHALEUR. 54g
que ces cosinus répondent à la partie de la normale comprise en dehors de A.
Telles sont donc les équations difTérentielles du problème; mai? avant de nous occuper de les résoudre, il faut entrer dans quelques détails sur ce qu'on entend par la température extérieure, et sur sa détermination.
(i 65). D'après la manière dont nous avons obtenu l'équation 3), n' (67), si &) représente l'élément de la surface de A qui comprend le point 0, le produit p (u — Ç) exprime la quantité de chaleur perdue par le corps A , à travers l'élément œ et pendant l'instant dt. La température Ç est la valeur de u qui devrait avoir lieu pour qu'il n'y eût ni perte ni gain de chaleur au point 0; et lorsqu'elle surpassera la température u qui existe réellement au point M, ou qu'elle sera moindre, il y aura gain ou perte de chaleur à travers a<. Si A était renfermé dans une enceinte vide, fermée de toutes parts, et dont la température fût partout la même, Ç serait cette température, et p la mesure du pouvoir rayonnant de A au point 0; mais en général, il faudra déterminer /^et^par la considération des diverses sources de la chaleur extérieure.
Or, la perle de chaleur p{u — 'C^)cùdt, positive ou négative, pourra provenir de trois causes distinctes : 1°. de l'échange de chaleur layonnante, soit entre A et d'autres corps voisins ou éloignés, soit entre A et les molécules de l'air ou du gaz dans lequel ce corps est placé; 2°. de la chaleur enlevée à A par la couche très mince de ce fluide, en contact avec sa surface; 5°. de la chaleur rayonnante émanée d'un ou de plusieurs foyers incandescens, qui vient tomber sur la surface de A , et est absorbée par ce corps suivant une proportion déterminée. Je leprésenterai par A (m — ^) Cidt la partie àe p [u — Ç) c»dt due à la première cause; g désignant une température qui se déduira de celle des corps rayonnans, y compris l'air dans lequel A est placé, et en ayant égard à l'absorption qui aura lieu dans ce fluide; et le coefficient A étant la mesure du pouvoir rayonnant de A au point 0. La partie due à la seconde cause sera représentée par A, (h — vi) udt , en désignant par / la température de la couche d'air contigue à la surface de A en ce même point 0, et par A, la mesure du pouvoir refroidissant de ce fluide,
35o THÉORIE MATHÉMATIQUE
que nous regarderons comme iadépendaut de u et de » , et qui ne variera pas non plus avec l'état de cette surface, en sorte que w sera une fonction donnée de t, x^j, z, et A, une constante donnée. Enfin pour exprimer la partie due à la troisième cause , je supposerai qu'il n'existe qu'un seul foyer qui envoie de la chaleur au corps A, et que ce foyer soit le soleil , par exemple , si A est exposé à l'air libre. Soit alors cr la quantité de chaleur solaire qui vient tomber pendant l'unité de temps, sur une surface prise aussi pour unité, perpendiculaire à la direction de cette chaleur, et passant par le point 0; celle qui tombera sur l'élément Où pendant l'instant dt , aura pour valeur (7« cosSrf^, où l'on désigne par G l'angle aigu que fait cette direction avec la normale nienée par le point 0 à la surface de A, c'est-à-dire avec la droite déterminée par les angles a, è , y; par conséquent, la portion de cette chaleur qui traverse «, pourra être représentée par i7Cû cos^dt; le facteur £ étant une fraction qui dépendra de l'état delà surface au point 0, et qui pourra, en outre, varier avec l'angle d'incidence 0. Nous regarderons « comme une fonction donnée de ô, et cet angle 9 sera aussi une fonction connue àe t^ x , y,z. ainsi que la quantité (7.
Cela posé, si l'on fait la somme des deux premières quantités de chaleur X(ii — ^)ciùdt et X,{u — y\)oodt, et si l'on en retranche la troisième nTco cos ^dt, on aura la valeur complète de p{ii — ^)ct>dt, et en supprimant le facteur commun adt, il en résultera
pÇu — Ç') = K(u — ^) -t- A, (m — ») — €(7cosâ; (4)
équation dans laquelle il ne restera plus qu'à substituer l'expression du flux de chaleur rayonnante ?.(u — Ç).
Si le corps A était placé dans une enceinte vide, fermée de toutes parts, et dont la température fût partout la même, ce flux de chaleur, rapporté aux unités de temps el de surface , aurait pour valeur (n" 24)
A(«— e) = n(Fu-F^);
^ étant alors la température de l'enceinte , F indiquant une fonction qui est la même pour tous les corps, et ?i un coefficient dépendant de leur matière et de l'état de leur surface. Mais soit que la quantité déterminée de chaleur, qui traverse la surface de dehors en dedans, provienne d'une enceinte fermée, ou qu'elle ait toute autre origine.
le fliix de chaleur devra évidemment avoir la même expression, sauf à de'terminer convenablement la température Ç, d'après la quantité de chaleur incidente et l'état de la surface. Or, si l'on met dans l'équation précédente, à la place de n sa valeur trouvée dans le n° 24, on aura
A(« — Ç) = -F«r^'acos6sin6r/6+ -iF?— F;/)/"'' a(pcos 6 siu M
— '-T^f^ CL cos 9 sm m-,
a. étant une fraction qui mesure le pouvoir absorbant à travers l'élément Ce) et sous l'angle d'incidence S ; et <p désignant une quantité qui provient de la variation rapide de température dans la couche superficielle de A. De plus, le dernier terme de cette expression du Hux de chaleur, pris avec le signe -{- et multiplié par œclt exprimera la quantité de chaleur rayonnante venue du dehors, et qui traverse l'élément a suivant toutes les directions pendant l'instant dt; si donc on détermine dans chaque cas cette quantité , et qu'on la représente par Qaxit, il en résultera
Q= iFÇyj'acosQsinârfâ,
pour l'équation qui servira à déterminer la valeur de ^. Les deux premiers termes de la valeur de ?.(« — ^), multipliés aussi par a)dt, exprimeront la quantité de chaleur qui traversera de dedans en dehors et suivant toutes les directions, l'élément oj pendant l'instant dt; en sorte que cette quantité dépend à la fois des températures intérieure et extérieure u et Ç. On ne doit pas perdre de vue, en effet, que le corps A s'échaufTant ou se refroidissant, il s'établit dans sa couche superficielle, d'où émane cette quantité de chaleur, une loi de température inconnue, mais qui résulte de la chaleur que cette couche reçoit du dedans, et de celle qui lui vient du dehors; et c'est cette circonstance qui donne lieu à une émission de chaleur dépendante en même temps de u et de Ç.
D'après l'expérience , on a (n° 26)
¥u = g(^ + C, F^z=gJ -+. C;
g et C étant des quantités de chaleur qui sout les mêmes pour tous les corps^ et /a désignant le nombre 1,0077, P^^ différent de l'unité. 11 n'y aurait aucun moyen de connaître ces constantes g et C ; mais dans les applications que nous ferons de l'équation précédente, on verra qu'elles entrent aussi dans la valeur de Q, et qu'elles disparaissent toujours de cette équation; de sorte que la température ^ sera, dans tous les cas, complètement déterminée. En développant ces valeurs de ¥u et F0 suivant les puissances de m et de Ç , celle de A(m — Ç) deviendra
^(«— e)= ng log f^ («-?)[ I + ^ (M+Ç)logA.+ ^(M'+«0+ÇOlog>+etc.].
Si les températures « et ^ ne sont pas très élevées, on pourra, à raison de la petitesse de log /,t, réduire à l'unité le dernier facteur de cette formule; on aura alors
A = gn log yM,
en sorte que la quantité A sera constante par rapport aux températures , et ne variera qu'à raison de l'état de la surface. Après avoir calculé la valeur de u dans cette hypothèse, on pourra, si l'on veut, dans une seconde approximation , augmenter A dans le rapport de 1 + î (m+ ^) log ^.' à l'unité, en négligeant seulement le carré de log pL. Dans tous les cas la première valeur de A devra être donnée en fonction de oc, j, z , si l'état de la surface de A varie d'un point à un autre.
Maintenant ou déduit de l'équation (4)
ce qui fera connaître la quantité p et la température Ç, au moyen de quantités qui seront toutes données dans chaque cas, ou qui auront été préalablement déterminées d'après d'autres quantités données.
(164). Ce sera principalement dans le chapitre suivant que nous aurons recours à cette manière de déterminer la température extérieure,
au moyeu des diverses données de la question. Dans celui-ci, uous supposerons que la valeur de '( soit donnée immédiiitement eu fonction de x,^-;, z; nous supposerons aussi que l'état de la surlace de Asoit partout le même; et nous négligerons, en général, l'influence des températures sur la valeur de A, qui sera alors une quantité constante, amsi que A,. La quantité p sera donc aussi une constante donnée; et il en sera de même à l'égard du coefficient h de l'équation ( 2) . Toutefois , lorsque A sera un polyèdre, on pourra, pour plus de généralité, supposer que ce coefticient ail des valeurs inégales pour les différentes faces de A, mais dont chacune sera toujours la même dans toute l'étendue de la face à laquelle elle répond.
On résout toujours aisément l'équation (1) relative aux corps homogènes ; la difliculté du problème est de tenir compte de la forme du corps, et de satisfaire à l'équation (2), abstraction faite de la température extérieure^, à laquelle il est facile ensuite d'avoir égard. 11 n y a qu'un petit nombre de corps dans lesquels on soit parvenu jusqu'à présenta déterminer la distribution de la chaleur; c'est-à-dire la valeur de u en fonction de t, x,y, z; cependant leur nombre est encore trop grand . et les solutions des problrmes qui s'y rapportent exigent trop de développement, pour que nous puissions les exposer toutes, sans donner beaucoup trop d'étendue à ce chapitre ; c'est pourquoi nous nous bornerons à énoncer les différens cas que l'on a considérés jusqu'ici, en renvoyant aux Mémoires où ces questions particulières ont été résolues.
Ces cas sont ceux de la sphère primitivement échauffée d'une manière quelconque, qui sera l'objet principal de ce chapitre ; du cylindre à base circulaire, pour lequel je renverrai à mon premier Mémoire sur la Distiibuiioii de la Chaleur dans les corps solides (*) , où l'on trouve la solution du problème, soit que le cylindre se prolonge indéfiniment, soit qu'il ait une longueur déterminée, et quelle que soit la loi des températures initiales ; du parallélépipède rectangle , que nous allons considérer tout à l'heure dans toute sa généralité; de différens prismes triangulaires; de l'ellipsoïde parvenu à son état perma-
(*) Journal de l'École Polytechnique , 19' cahier.
55i THÉORIE MATHÉMATIQUE
lient, qui a déjà été indiqué dans le préambule de cet Ouvrage ; et pour ces deux derniers cas , je renverrai aux Mémoires de M. Lamé , qui les a considérés (*).
(i65). Supposons que A soit un parallélépipède rectangle, et que la température extérieure soit constante et égale à zéro; prenons l'un de ses sommets pour origine des coordonnées x , j, z; et faisons coïncider leur direction avec celles des côtés adjacens. Désignons par /, V, l", les longueurs des trois côtés qui tombent respectivement sur les axes des jc, j,z. La constante b appartiendra à la face /'/", perpendiculaire à / et passant par l'origine des coordonnées ; elle deviendra h' et h" pour les faces II' et II', passant par le même point et respectivement perpendiculaires à /' et /" ; les trois quantités b , b' , b", se changeront en b^, h' , b' , pour les trois autres faces de A. En vertu de l'équation (2) et à cause de Ç = o, on aura , d'après ces notations ,
du j
quand x z= 0,
du , ^ = - b,u.
quand x = l,
du ,, djr = ^ "'
quand j = 0,
dj ' '
du ,..
dz '
quand j = /', quand z = 0,
du ,„ Â = - *'"'
quand z = /".
Si l'on désigne par A, A', x", trois constantes arbitraires, et que l'on fasse, pour abréger,
l'intégrale complète de l'équation (i) que l'on a trouvée dans le n° 76, pourra être représentée par
(*) Mémoires présentés à l'Académie des Sciences , tome V; Journal de l'Ecole Polytechnique , 22' cahier.
H = 2A(7~''''''cosAarcosAycosA"s + 2Be~"°''' sin Xx cosA'jcos X"z 4- 2Ce~"'f'' cos Xx siu A> cos A'z 4- SDe""'''' sin ;\a: sin A>- cos à"z + ^Ee""''*' cos Xx cos A'j sin A":; + SFe-"'''' sin A^ cos X'y sin A'z 4- 2Ge~'''f''cosAxsinAysinA"z 4- 2He~"'''' sinAx sin X'j sin A"z;
A, B, C,D,E,F, G, H, étant aussi des constantes arbitraires, et les sommes 2 s'étendant à toutes leurs valeurs possibles, et à toutes celles de A , A', A*.
Les deux premières équations (5) ayant lieu pour toutes les valeurs de ^,^, z, si l'on y substitue cette expression de u, la comparaison des termes semblables, par rapport à ces variables, fournira ces huit équations
BA — ^'A = o, (B cos AZ — Asin Xl)X 4- (B sin AZ 4- A cos Xl) b,— o,
DA — Z>C = o, (DcosAZ— CsinAZ)A4-(DsinAZ 4- C cosAZ) ^',= o,
Fa — bE = o, (F cos AZ — E sin AZjA 4- (F sin AZ 4- E cos AZ) ft^= o,
Hx — Z>G= o, (HcosAZ — G sinAZ)A 4- (H sinAZ 4- G cosAZ) b^=: o;
d'où l'on tire d'abord
et ensuite une seule équation , pour déterminer les valeurs de A, savoir :
(è 4- /^)A cosAZ 4- (bb^ — A*) sinAZ = o. Les troisième et quatrième équations (5) donneront de même C = 5; A, D = *-; B, G = ^4 E, H = J' F;
et en outre
(J)' 4. b',)x'cosK'l' + [b'b] — A'") sinx'Z' = o,
pour déterminer les valeurs de A'.
Enfin , ou déduira des deux dernières équations (5) ,
E=^A, F=1b, G=;-.C, H=Î-,D; et de plus
i^b" + é^V'cosAT + {Wh'\ — A"»)sinA'7" = o,
pour déterminer les valeurs de A".
Les douze dernières équations, déduction faite des trois qui doivent servir à déterminer A, A', A", se réduisent à sept; elles laissent donc indéterminée l'une des huit quantités A,B, C, D, E, F, G, H, la première, par exemple; les valeurs qu'on en déduit pour les sept autres sont
Par conséquent, si nous faisons, pour abréger,
P = cos Ajc cos K'j- cos K'z H — sin Ajj cos X'j cos A'z
H — , cos A^ sin A'/ cos A'z
-) 7 smAa: smA/ cos A'z
b" H — 7 cos Aj!^ cos h'j sin A'z
H 5 sm A.r cos Xj sm A 'z
+ -r-j COS Ax sm A y sm A z
+ — T-j smA^ sm Ay sm A z.
DE LA CHALEUR. 35y
l'expression de u deviendra
u = SAPe-"*'"',
et la somme 2 ne s'étendra plus qu'aux valeurs de A, A', A", déterminées par les équations précédentes. On pourra employer seulement pour chacune de ces trois quantités , les valeurs dont les carrés sont diftërens ; et il ne restera plus qu'à déterminer le coefficient A en fonction de A, A', A", par la méthode générale du n° (85).
Pour cela, je désigne par P^ et p^, ce que P et p deviennent quand on y met pour A, A', A", des valeurs de ces quantités représentées par A , a', A\ La quantité P^e""""''''' sera une valeur particulière de m; le coefficient P^ satisfera donc à l'équation
'^' ^ dx' ^ dx^ ~ dz^ — °'
pour toutes les valeurs de œ, j, z; et, en outre, aux équations (5) pour les valeurs particulières de ces variables, auxquelles ces équations répondent. Cela étant, je multiplie l'équation (i) par V^dxdjdz, puis j'intègre ses deux membres dans toute l'étendue du parallélépipède. En faisant pour abréger
il en résulte
Par le procédé de l'intégration par partie , et en ayant égard aux équations (5), on a
d'où l'on conclut
dv ^ ri ri" ri" /d-?^ , d-P, , d'P\ , , ,
ou ce qui est la même chose, d'après les équations précédentes,
En intégrant et désignant par K la constante arbitraire, on aura donc
V = Ke-"'''.
Pour déterminer cette constante, je suppose qu'on ait
quand t-=o, de sorte que la fonction F soit donnée pour tous les points du parallélépipède, et représente sou état initial. En faisant <=o dans l'équation qui précède, on aura
K = r rr p, f(x, r, z^cbodjdz.
J o J aj o
D'api'ès cette valeur de K et celle de i' , on aura donc
pour toutes les valeurs de <. Je substitue dans cette dernière équation, à la place de m, sa valeur en série d'exponentielles; en égalant les coefficiens des termes semblables dans les deux membres, on en conclut
pour toutes les valeurs de f' et f' qui ne sont point égales; et dans le cas de p' = p", on aura, en particulier,
ce qui fait connaître la valeur de A qu'il s'agissait d'obtenir.
L'ëqualion précédente servira, comme dans le n° 90, à prouver la réalité de toutes les valem-s de A, A', A". Par les règles ordinaires, on obtiendra sous forme finie, la valeur de l'intégrale triple, par laquelle la quantité A est multipliée; en la représentant par A, nous aurons
" = 2 C-^P/; ///:' PF ^-» -r, ^) d:rdjd-:],
pour l'expression générale de la température, à une époque quelconque et en tel point qu'on voudra du parallélépipède ; ce qui est la solution complète du problème. En y faisant ^=0, il en résultera une expression de la fonction arbitraire F (a? , y, z) en série de quantités périodiques, qui ne subsistera que pour les valeurs de X , y, z, comprises entre les limites x ■=. o ç.i x ^= l, y ■=. o et j =. t , z = o et z = Z", et qui n'aura lieu aux limites mêmes que quand la fonction Y [x ,y, z) et ses coefficiens différentiels satisferont aux équations (5), relatives à ces limites.
(166). Lorsque le corps A sera une sphère ou un sphéroïde quelconque, au lieu de déterminer ses différens points par leurs coordonnées rectangulaires, il sera mieux de faire usage de leurs coordonnées polaires et de transformer, en conséquence , les équations (i)et (2),
Soit donc rie rayon vecteur du point quelconque M de A, qui répond aux coordonnées rectangulaires x, y, z; soient aussi G l'angle que fait ce rayon avec l'axe de z, et >{/ l'angle compris entre le plan de ces deux droites et celui des xetz; nous aurons
z ■= rcosô, j ■=■ rsiaS sin-vj/, x ■= /sin Qcos -xl.. (6)
L'origine de ces coordonnées r, 6, -v}/, sera un point de l'intérieur de A, pour lequel on prendra le centre de ce corps, lorsqu'il en aura un. Le rayon r sera une quantité positive, qui s'étendra depuis r = o jusqu'à une valeur de /• en fonction de 9 et -v},, donnée par l'équation L = o de la surface de A, après qu'on aura mis dans L les valeurs précédentes de x,y, z; les angles G et -vf. pourront s'étendre depuis 9 = 0 et 4 =^0 jusqu'à G=-7r et -vj, = 2W.
Il s'agira donc, par les règles connues de la transformation des différences partielles, de changer celles qui sont contenues dans les
56o THÉORIE MATHÉMATIQUE
équations (i),(2), (3), et qui se rapportent aux variables^, r, z, en d'autres qui soient i-elatives à r, 6, 4 J ™^'^ pour effectuer cette transformation de la manière la plus simple, j'appellerai r' la projection du rayon vecteur 7- sur le plan des x e\. j, de sorte que l'on ait
tang4 = <
On en déduit
du du dr ^^ du d^ dx dr' dx "^ d^ dx
du X du y ~ dP? ~ 3^7'-'
du du dr' du d^
dy dr dy d^ dy
du y du X
d? ? "^ dl7-''
En différentiant la seconde valeur de ^ par rapport à jt et celle de -jpar rapport à j', on aura donc
du y' du xy
du X'' du yx
"^ dP 73 ~~ ^ d4^7^'
En mettant successivement dans ces mêmes valeurs, -p et -ry àla place de M , ou aura aussi
d'u d^u X dx^ dxdr r
d'u y dxd^ r'^
d'u d'u y 4P dydr' r'
d'u X + dyd4,r-
dxd/ dr'r' dr'd^r'^'
dxd^ ~~ 171^? d4>r^'
d^u du y d'u x
iPdP d7^'? "*" dr'd^T^'
dyd^ 1714.7 "^ rf4"7"'
d'oii il résultera
d'u d'u x' d'u xy d'u y' du y' du xy
dx' d7'7^ ^ rfT^ 73" -r ;^ pr "*" ^/.i ~r 2 j^^,
d'u y' d'u yx d'u x' ^^ du x' duyx
d7'7''^^d7d'4 7^'^d4>7'^ "• dP7< ^ 557^ '
et par conséqueut
d'u d'à (Pu I du i du
dl' ~^ dp dF'' ~^ T'd^' "t" ?d?'
Si l'on observe que l'on a de même
r = \ z' + r", tangO = ^',
on en conclut que l'équation précédente devra encore subsister, lorsqu'on y changera x,j, r', -^ , enz, r', r, 0 ; ce qui donne
d^u d'u d^u I du , i du
d^ "* d?'^ d^ ~^ r'db^ 'rrfT'
et en ajoutant ces deux équations, il en résultera
tPu , d^i , d^ ^ , J d^ , JjdiT \du idu
dv' "^ dj' "^ dz' ~ d^ '^ r"d^'~^T'[dè''^':^dP'^rTr
Mais d'après les valeurs de r et tang S , on aura aussi
du du z du r' dz Ir'r dd T^'
du du / du z
dP dr r~T"dS?--'
Donc, en substituant cette valeur de J^ dans l'équation précédente,
et mettant aussi rsin B et rcosG au lieu de r' et z, la transformation du second membre de l'équation (i) se trouvera effectuée; et si l'on multiplie cette équation par r, on verra qu'elle peut s'écrire ainsi :
di ^ L dr^ ~^ résine di "*" r-sin^Ô <i^' J '
En substituant aussi cette valeur de -r, dans celles de gr et 3- , joignant celles-ci à la valeur àe -r, et ayant égard aux équations (6) ,
nous aurons
du du . i\ I , f/i/ cos ô «os 4- du sinJ'
$î = ^sinG sin4 + $^-^5Aii"^ + ^, i2fi-, > (8) dy dr ^ "^ d'à r *^ d^. r sn\6' ' ^ ■'
du du fi , du sin 6
fi?z dr ' dH r '
au moyen de quoi , l'ëquatiou (2) deviendra
T-Tcosa sin 6 cos 4 + cos ê sia G sin 4 + cos ;. cos G ]
+ -j- (cos acos Gcos 4 -^ cos ê cos G sin >{/ — cos 7 sin G) (9)
"^;^iiTâ5li, (<^°^^ ^<^^4 — cos a sin 4^ + b{u—^) =0.
Les équations (8) ayant lieu pour une fonction quelconque u de jC, j, s, on y pourra mettre li à la place de u, et elles donneront les valeurs de -7-, -f f -ff <l"e l'on devra employer dans les équations (3) ,
d'où il résultera les valeurs de cos a, cos^, cosj^, qui devront être substituées dans l'équation (g).
Outre les équations ('y) et (9), auxquelles la valeur de u devra satisfaire, il faudra encore qu'elle soit telle que l'on ait ru = o quand 7- = o, afin que la température u ne ^ )it point infinie au point du sphéroïde que l'on aura pris pour origine des coordonnées. Cela étant, si l'on désigne Tparf^r, G, 4) > "^^^ fonction donnée pour tous les points du sphéroïde, d'après son état primitif, il faudra joindre àl'équation (7), commune à tous ces points, et à l'équation (9) relative à ceux de la surface , lès deux équations
ru = o, ru = j\r, G,4)> (10)
dont la première aura lieu pour r=o, et la seconde pour i = o: la fonction f[r, G, 4) exprimera, dans chaque cas, la température initiale du point M qui répond aux coordonnées r. G, 4> multipliée par son rayon vecteur /•.
Le problème qui va nous occuper dans la suite de ce chapitre, consistera donc à i-ésoudre simultanément les équations (7), (9), (10),
lorsque le corps A sera une sphère d'un rayon quelconque, qui aura son centre à l'origine des coordonnées.
(167). Quelle que soit la valeur inconnue de ru, on peut toujours, d'après le théorème du n" (io5), l'exprimer par une série de cette forme :
m = V., + V, + V, + V3 + .... + V„ H- etc., (11)
dont le terme général V, est une fonction des trois quantités cos 6, sin9sin4', sinGcos4> rationnelle, entière et du degré « , qui satisfait à l'équation
-i^dV- + sûl^ rfT^ + "C" + 0 \» = O,
et qui dépend, en outre, des variables r et t. En substituant cette série dans l'équalion (7), ayant égard à l'équation relative à V„, et faisant, pour un moment,
~dt ~~ ^ \ dr^ ~ r^ V„J V „,
nous aurons
V'„ + V. + v, + V'3 H- .... V'„ + etc. = o.
Or, V, sera une fonction de la même nature que V„; d'après les propriétés de ce genre de quantités, il faudra donc que chaque terme du premier membre de cette dernière équation soit séparément nul (n° iii); on aura donc V'„ = o, c'est-à-dire,
L'intégrale complète de cette équation peut être représentée (n° 84) par
e étant la base des logarithmes népériens, f une constante arbitraire, Q une fonction de r et f>, qui peut contenir encore d'autres constantes arbitraires, et la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs
possibles, réelles ou imaginaires, de p et des autres constantes: on aura pour déterminer Q, l'équation
dont nous avons donné, dans le n" 82 , l'intégrale complète et sous forme finie. Mais la valeur de ?u ne pouvant devenir infinie pour ;-:=:o, et étant , au contraire, nulle à l'origine des coordonnées, il en sera de même à l'égard de chaque terme de la série (11); on devra donc réduire la valeur de Q, à la partie qui ne devient point infinie pour r=o, et qui sera, d'après la formule (17) du numéro cité,
Q = A„ z'"'*'' / cos (pr cos «) sin""^' ado);
A„ étant un coefficient indépendant de r.
La formule (19) du même numéro donnera, si l'on veut, sous forme finie et en fonction de /• et ?i, la valeur de l'intégrale contenue dans cette expression de Q. Relativement aux variables 9 et •4'> ^'^ coefticient A„ sera une fonction de la même nature que V„, c'est-àdire que A„ sera aussi une fonction de cos 6 , sin 0 sin n^, sin 6 cos -vj. , rationnelle, entière et du degré ?«, qui satisfera à l'équation
^Csinâ^") ,,,
et dont l'expression la plus générale pourra contenir un nombre 272+1 de constantes arbitraires (n° io5). Les valeurs de Q et V„, et par suite tous les termes de la série (11) s'évanouiront pour r= o; en sorte que la condition exprimée par la première équation (lo) sera remplie.
Cela étant, si nous faisons, pour abréger,
?(''»?) = yj(A„-f-A,rsin*6) + A, r'sin^M + , j.
...-{- A „ r' sin "a + etc.) cos (pr cos a>) sin cùda,
nous aurons, en vertu de la série (ii) et de l'expression de V„ en
série,
la somme S s'étendant à toutes les valeurs possibles de p et des constantes contenues dans A,, A,, A,, A3, etc. Ce sera l'intégrale de l'équation (7), indépendante de la forme du corps A, mais assujettie à la condition particulière ne = o quand r=o. Son intégrale complète, dont nous n'avons pas besoin , renfermerait une aiitre série ordonnée suivant les puissances négatives de r.
(168). Dans le cas de la sphère dont le centre est à l'origine des coordonnées, on aura
cos a = -, cos ^ = -, cos y=i-; par conséquent, en vertu des formules (6), l'équation (g) se réduira à
du
dr
Si l'on représente par l le rayon de la sphère, cette équation relative à la surface , aura lieu pour r z= /, et pourra s'écrire ainsi :
D'ailleurs, quelle que soit la valeur de Ç en fonction de ô et 4 7 o" peut la représenter par une série de cette forme (n" io5) :
C = Z,+ Z. + Z. + Z3+ ... +Z, -j-etc;
Z„ étant une fonction de cosG, sinôsin^/, sinôcos-^j rationnelle entière et du degré ii, qui pourra, en outre, contenir le temps t, et qui satisfera à l'équation
sin^^9 +in77^ + "('^ + 0 Zn - o.
Or, en substituant cette série à la place de ^ et la série (11) au lieu de ru dans l'équation précédente, relative à la surface, et égalant ensuite dans les deux membres, les quantités qui répondent à un même in-
dice quelconque « (n° 1 1 1), il en résultera
toujours pour la valeur particulière r := l.
Nous supposerons d'abord que la tempe'rature extérieure Ç soit égale à zéro ; ce qui rendra nul le second membre de cette dernière équation. En substituant alors dans son premier membre, la valeur de V„ easérie d'exponentielles, et égalant à zéro le coefficient d'uneexponentielle quelconque e~"°''', on aura
donc en ayant égard à la valeur de Q, cette équation relative à r = /, deviendra
j ^(^1)1 -{•n) cos {pi cosct)) — flcoso) sin(f/cos]û))]sin*""'"'«<Yû)=:o; (16)
et ce sera celle qui devra servir à déterminer la quantité p.
Pour chaque valeur de 11 , cette équation transcendante donnera une infinité de valeurs de f* qui seront toutes réelles, comme on le verra tout à l'heure. De plus, si l'on développe suivant les puissances de p, le premier membre de cette équation (16), on obtiendra une série qui ne contiendra que des puissances paires , et dont les coefficiens seront alternativement positifs et négatifs; d'où il l'ésulte qu'aucune des valeurs de f° ne pourra être négative.
Pour obtenir, sous forme finie, l'intégrale indiquée dans cette équation, j'observe qu'en vertu de l'équalion (19) du n" (82), on a
^«n-Hi r'^ cos(pxcos(»)sin°""^'a)rfa) = E (X sin fx — X'cosfx);
X et X' désignant des fonctions rationnelles et entières de x, et E étant un coelîicient indépendant de cette variable. En diflërentiant par rapport h x, nous aurons
X*" I [(^2n-^\)cos(fx costo) — pxcosco sin (fx cosid)] sin»«"^'&irfai
~ ^ Efe "^ ^^') *'" ''^ ~ {'dx -~ ^^) ^^^ f^l '*
de cette équation et de la précédente, on déduit
j^i»-+-i / p^ cosû)sin(p^ cosû)) sin""^" codcû
= E I (2/i + i) X — fxX.' — -^ j~ sinf j:
— (2« -f- i)X'4- fx X — X -j-\ cos po-j;
et si l'on met dans ces formules les valeurs de X et X' du numéro cité, dans lesquelles on fera a = p, i z= n, x = l , on en déduira ensuite la valeur demandée de l'intégrale qui forme le premier membre de l'équation (16).
En supprimant le facteur E de cette intégrale égalée à zéro, on trouvera que l'équation (16) prend la forme
hsinpl — ÀpZcosp/ = o; (17)
h et A étant des fonctions rationnelles et entières de f*Z*, dont chacune est la somme de deux poljnomes d'un degré dépendant de 71, savoir :
h = hl — 71 — 1 i '-^ ^î— ^ p'Z"
aJT» (71 — 1) (7» - 2) (» -3){bl-n + 3) ,^^ ^^^
+ 27Ï ,,. 7.''n (n — i) (n — 2) aji 1
— p'I' — 5 — ^ ^-^ P^^^ + etc.
,. 272 (hl — 72) 2^72 (72 — l) (tz — g.) {l;l — n + 2) ,,
^^n{n- l)(7,-2)(72-3)(72-4)(^.Z-72+4) 4^4 gtc. 1.2.3.4 5 . 272 . 271 I . 272 2 . 272 3 . 272 — 4
, + ^'nin-^) .■• n(n- ,) (n-.) (n - ^) ^^^
On doit remarquer que la valeur de Edu n° (82) ayant f> pour diviseur,
la suppression de ce facteur E a introduit dans l'équation (17) une racine j> = o qui n était pas dans l'équation (16), et dont il faudra toujours faire abstraction.
Pour les valeurs particulières h = o, =1, =2, etc., l'équation (17) sera
(bl — 1) sinpZ -f- pi cospZ = o, (bl — 2 + p'I'-) sin pZ — {bl — 2)pl cosp/ = o, [bl—5 — '^{bl—4)pH'']smpl—{bl—5+^p*l'')plcospl=o, etc. ;
où l'on voit que pour n = o , cette équation (17) coïncide avec l'équation (7) du n" iSp, relative au cas d'une sphère dont tous les points également éloignés du centre, sont également échauffés. Dans tous les cas, on tire de l'équation (17)
, /cpl , h
sm Ct=:- . = , COS pi == ——===..
Quand la valeur numérique de bl sera donnée, on déduira de ces équations, sous cette forme ou développées en séries , les valeurs numériques de pi qui ne seront pas très grandes. Quant à celles qui seront très grandes , on les obtiendra en conservant seulement dans une première approximation , la plus haute puissance de pi en dehors de sin pi et cos pi. Alors si n est pair, l'équation (17) se réduira à (pi)" sin pl = o , et si n est impair, à (fZ)"""^' cospZ=:o; on aura donc plz=i7r dans le premier cas, et |cZ = i(2i-|- i)?: dans le second; i étant un nombre entier très grand, afin ue les valeurs de pi soient aussi très grandes, comme on le suppose. Si l'on veut ensuite obtenir une valeur plus approchée de fl, on fera fl = i7C -\-z ou fZ = j(2i+ i)7r -|-z, selon que îi sera pair ou impair ; on substituera l'une ou l'autre de ces valeurs de fl dans l'équation (17); et en négligeant les puissances de z supérieures à la première, on déterminera facilement la valeur approchée de cette nouvelle inconnue qui devra être une très petite quantité.
(169). Les valeurs de p étant donc censées connues, il ne reste plus qu'à déterminer en fonction de f , le coefficient A, d'un terme quel-
conque de la valeur de A» en série d'exponentielles, en suivant le procédé général indiqué dans le n° 85.
Soit donc , pour abréger,
r""*"'/ cos(/»rcosa)) sin""*"«rfû)=R;
la valeur de V„, dont il s'agit, sera
V, = SAoRe-^V J'
la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs inégales de p*, tirées de l'équation (i6). Chacun des termes de cette série devant satisfaire séparément à réquation (12), il faudra que l'on ait
pour toutes les valeurs de r ; ce qui a été effectivement vérifié dans le n° 81. Chaque terme de cette même série devra aussi satisfaire isofément à l'équation (i5), abstraction faite de son second membre; il faudra donc qu'on ait
pour la valeur particulière /== Z; ce qui résulte, en efl'et , de l'équation (16). J''
Cela posé, je multiplie l'équation (12) par Kdr ; puis j'intègre ses deux membres depuis r = o jusqu'à r= /; d'où il résulte.
KVndr
en vertu de la première équation (10), chaque terme V„ de la série (i 1) doit être zéro en même temps que r; on a aussi R = o pour r = o ; et si l'on a égard aux équations auxquelles R et \ ,, doivent également satisfaire à l'autre limiîe r=l, on en conclura, en intégrant deux fois de suite par partie ,
JaT»
Par conséquent , d'après la valeur précédente de j^ , ou aura
et en intégrant cette équation , il en résultera
'RV.rfr=C''— '■'=
C étant la constante arbitraire.
-«Pour la déterminer, je suppose que l'on applique le théorème du
n° io5 à la fonction fir, G, ■\), de sorte que l'on ait
/(r, ô, 4) = Y,4-Y. + Y,+ + Y„ + etc.;
Y„ désignant une fonction de cos 6 , sin ô sin %[/, sin ô cos A^, rationnelle, entière et du degré «, qui satisfera à l'équation
