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d. l siu Ô -T-\ „-.

\ di J I t?"Y„ , , , \x

sin 6^^ +,-n^-^+»(»+.)Y. = 0,

et qui dépend, en outre, de la variable /■ d'une manière quelconque. En vertu de la seconde équation (10) et de la série (ii)> Y„ sera la valeur de V„ qui répond à tz=.o; on aura donc

C =f^Kï^dr,

pour la A'aleur de C; et il en résultera

rRV>=e~"'''T'RY„r/r,

pour une valeur quelconque de t.

Je substitue dans cette dernière équation, à la place de V„ sa valeur en série d'exponentielles. Si f et f' sont deux racines de l'équation (16) dont les carrés sont diflerens, et que l'on désigne par R' ce que R devient quand on y met f ' au lieu de /, la comparaison des termes semblables dans les deux membres de l'équation précédente, donnera

d'abord

rKK'drz=o;

et dans le cas de p'* = p*, on en conclura , en outre ,

A.f^R*dr = pK\Jr.

Par un raisonnement semblable à celui du n" 90 , on déduira de la première de ces deux équations , la réalité de toutes les valeurs de f', tirées de l'équation (16). La seconde équation fera connaître la valeur de A„ qu'il s'agissait de déterminer. Pour exprimer au moyen de la fonction arbitraire /^(r, G, ^z) , la quantité Y, contenue dans cette équation, soit

ces 6 cos 9' •+- sin 6 sin fl' cos (4 — ■^') = p,

supposons que l'on ait développé (i — 2 pet -{- a.*)~~ , comme dans le n° io8, suivant les puissances de a ; et représentons le coefficient de et' dans celte série par P„ dont nous avons donné, dans ce numéro, la valeur en fonction de p et de 7i; d'après la formule (4) du n° 109, nous aurons

L'intégrale / R*rfr par laquelle la quantité A, est multipliée, s'obtiendra sous forme Unie; et si l'on substitue dans son expression, à la place de sin fl et cos fl , leurs valeurs que l'on a déduites de l'équation (17), elle se changera en une fonction rationnelle de p. Nous ferons , pour abréger ,

'R-rf'-=i;

et nous aurons alors

A„ = -""^^'^"/oX /o' '/('•' 6'; 4' ) I^P" si" ô'drd^'d-^'. (18)

Au moyen de cette expression de A„, la valeur de ç(r, f) donnée par l'ëquation (i5) sera entièrement déterminée; la formule (i4j ne contiendra donc plus rien d'inconnu ; et elle renfermera, par conséquent, la solution complète du problème, dans le cas d'une sphère homogène, primitivement échauffée d'une manière quelconque, soumise à une température extérieure constante et égale à zéro , et dont la surface est partout la même.

Dans ce cas général , la température u en un point quelconque M de la sphère et à un instant quelconque, se trouvera exprimée, comme on voit, par une série inh'nie d'exponentielles dont les exposans seront négatifs, proportionnels au temps et aux racines dune équation transcendante; et dans celte série, le coefficient de cliaque terme sera une fonction des coordonnées r, â, -^f àelA, exprimée elle-même par une autre série dont les termes seront donnés par des intégrales triples; en sorte que ce sera, en définitive, une double série d'intégrales triples, relative soit au nombre n, soit aux valeurs de p"/' tirées de l'équation (i6). En y faisant it=o et multipliant par r, on en déduira une expression de la même nature pour la fonction arbitraire f(j\ 6, %p), qui subsistera pour toutes les valeurs des trois variables, comprises entre 7-=o et r = l, 6 = 0 et 6 = 7r, 4 = 0 et ^ = 27r.

(170). La partie de la formule (14) qui répond à 11 = 0, mérite une attention particulière. Je la désignerai par v. Pour l'obtenir, il faudra réduire la formule (i5) à son premier terme , savoir :

<p\r,'pj= Ao 1 cos (pr cos 'U)) sin adcû

d'où il résultera

^ A.sin pr ,, ,,

On aura, en même temps,

2 sin pr

2A0 sin pr

pr '

Po=i, K = ±^^^, 0 =

f ' '2fil — sinapZ'

la valeur de Aq donnée par la formule (t8) pourra donc s'écrire ainsi

■.<A = '- TT r r^^'^ ^'' -^'^ ""l^^n sin pr'^r' •

" fl — siiif/cosf/J o L.J oj o 4"" J

DE LA CHALEUR. SyS

et si l'on appelley,r la moyenne de toutes les valeurs dey;- dans toute l'étendue de la surface sphériquc dont le rayon est r, de sorte qu'on ait

~/(r, Ô', 4') sin âW^4' = 47f/; r,

la valeur de v deviendra

ÏX

„ = ; s , ""'; ( f // si,, ei'd^) e-->-.

r (l — sinf>/cospZ\J o •^' /

Ou pourra aussi écrire cette valeur sous cette autre forme :

en observant que pour n = o, les valeurs de sin fl et cos fl, tirées de l'équation (17), sont

; fl , I — bl

sm fi z= — -- — -- , cosft =

En comparant la valeur de t^ à la formule (8) du n° 1 3g, et observant que les valeurs de f sont tirées de la même équation pour ces d(jux formules , on voit que cette partie f de m est la tempéi'ature qui aurait lieu dans la sphère entière, si les points également éloignés du centre eussent eu primitivement des températures égales, et que la température initiale, commune à tous les points qui ont un même rayon vecteur r, eût été la moyenne des températures différentes qu'ils ont eues réellement. De là, on déduit plusieurs conséquences que nous allons successivement énoncer.

1°. Dans le cas où les températures initiales des points également éloignés du centre sont égales , la fonction f(r, G, 4) ^^t indépendante des angles 9 et ^j et se réduit à une simple fonction fr du rayon /-. L'équation (18) devient donc

if, RA*)/:/;' !•■'-«■*+''

mais par la nature de la quantité ¥„, on a (u' 1 1 1)

excepté pour 7i= o; donc aussi la quautilé A„ sera nulle, excepté Aq; ce qui réduira la formule (i4) ^ sa partie v relative a. n = o. Par conséquent, cette formule coïncidera, comme cela devait être, avec la formule (8) du n" i Sg.

2°. Pour ;- = o , la formule ( 1 5) se réduit à son premier terme , et , conséquemment, la formule (i4) à sa partie v. Il s'ensuit donc qu'au centre de la sphère, la température est constamment indépendante de 9 et de ^'j ce qui devait être effectivement, puisque ces deux angles ont leur sonmiet en ce point. La température centrale sera égale à la valeur de v qui répond à r = o; laquelle valeur est, d'après l'équation (ig),

Elle sera donc indépendante de l'inégalité des températures initiales à égale distance du centre, et dépendra seulement de leur variation du centre à la surface.

3°. Lorsque le produit èZ est très petit, soit à cause du facteur Z> relatif à la perte de chaleur à travers la surface, soit à cause du rayon / de la sphère, l'équation (i6) donnera aussi pour fl, une très petite valeur qui répondra à 7i = o et sera égale à \/5bl; toutes les autres valeurs de fl tirées de cette équation seront très grandes par rapporta celle-là; par conséquent, au bout d'un certain temps, la valeur de u se réduira sensiblement à la partie de i> qui répond à celte très petite valeur de fl. Quand c'est le rayon l qui est très petit , on conclut de là , comme dans le n° i4i > qu'après un temps très court la chaleur est uniformément distribuée dans la sphère entière. Quand la constante b est infiniment petite ou nulle, on en conclut aussi qu'après un intervalle de temps plus ou moins considérable , la sphère entière parvient à un état permanent dans lequel la température de tous ses points est égale à la moyenne de toutes les températures initiales.

4°. Si la constante b n'est pas infiniment petite ou nulle, c'est-àdire, si l'on exclut le cas où il n'y aurait aucune perte de chaleur à travers la surface, toutes les racines de l'équation (i6j auront des grandeurs finies; par conséquent, tous les termes de la série (i4)dé-

croîtront indéfiniment; etla températvire de tous les points delasphère finira par être égale à zéro , comme la température extérieure. Mais avant de devenir tout-à- fait nulle, la valeur de « se réduira sensiblement au terme de la série (r4)j correspondant à la plus petite valeur de /; or, on verra dans le numéro suivant que cette plus petite racine positive de l'équation (16) est toujours une des racines de cette équation qui répondent an = o; si donc on la désigne par p' et qu'on représente par v' la valeur finale de u qui précède le refroidissement total de la sphère entière, v' sera le terme de la formule (19) qui répond à f = f ', de sorte qu'on aura

2[f"l'+{lil—iy]s\a f'r If'Y + bl {bl - 1)2

f^(/>sinpVrf;-')e-'"/". (.0)

Ainsi , quelle qu'ait été la distribution primitive de la chaleur dans ime sphère homogène, placée dans un milieu dont la température est constante, on voit que quand ce corps est parvenu à l'étal final qui précède son refroidissement total , les surfaces isothermes sont sphériques et excentriques, et l'on voit aussi que le temps croissant par des intervalles égaux , les températures de tous les points de la sphère décroissent suivant une même progression géométrique.

(171). Lesélémens de l'intégrale qui forme le premier membre de l'équation (16) étant égaux deux à deux, c'est-à-dire, pour a et pour vr — a,

on peut réduire ses limites à cî==o et &) = -7r, et continuer de l'é-

galer à zéro. Si donc on fait

fl = j, flcoscù = z,

les limites relatives à z seront^ et zéro, et eu en changeant l'ordre, l'équation (16) se changei'a en celle-ci :

/ [(^^ ~\r ") cos 3 — z sinz] (1 — ^J dz =. o, (21)

dans laquelle on fera abstraction de la racine j- :^ o, qui n'appartient pas à l'équation (16).

Au moyen d'un théorème auquel il est parvenu et qui concerne

une classe très étendue d'équations transcendantes , M. Sturm a démontré que la plus petite valeur positive de j qui satisfait à cette équation (21), répond h n = o, quelle que soit la constante donnée bl; mais celte démonstration exigerait trop de développemens pour trouver place dans ce chapitre; et je me bornerai à celle que j'ai donnée dans mon second Mémoire sur la distribution de la chaleur dans les corps solides , pour Je cas particulier où bl est un très grand nombre, le seul que nous aurons à considérer par la suite. Dans ce cas, l'équation (21) se réduira à

f'l{i-Çjcoszdz = o.

Si l'on prenait y <^ -tt , tous les élémens de cette intégrale seraient positifs, et l'intégrale ne pourrait pas être nulle; si la valeur de j- était comprise entre - ^ et tT, ces élémens seraient positifs depuis z=o jusqu'à z= - 9r, et négatifs depuis r= - tt jusqu'à

z =j; raaisj' étant une quantité positive et moindre que y -tt,

l'élément négatif qui répond à z = - çT -f-j-' serait plus petit, en

grandeur absolue, que l'élément positif qiii répond à -tt — y' ; donc

une valeur dej comprise dans le second quart de la circonférence, ne pourrait pas non plus rendre nulle l'intégrale précédente; et si l'exposant n n'est pas zéro , il en sera de même à l'égard de la valeur particulière j>'= tt. Mais quand n=o , cette intégrale a pour pour valeur siujr; elle est donc nulle pour jr=z7r; par conséquent, le produit èZ étant un très grand nombre, la plus petite racine p7 de l'équation (16), répond à «= 0, et sa valeur approchée est f'l=bl.

Pour en avoir, dans le même cas, une valeur plus approchée, j'observe que pour nz=n, l'équation (21) se réduit à

(bl — i)sinj-f~/cos^ = o; je fais ensuite

puis je substitue cette valeur à la place de j dans cette équation; et en négligeant les termes qui ont bl pour diviseur, il vient