TT = o; d'où il résulte

En employant cette valeur dans la formule (20) , on aura

sm f'r = sin -^ -jj^ cos -j-,

à la surface où l'on a r=l, le premier, terme de cette expression s'évanouit; c'est pourquoi il est nécessaire de conserver le second; mais dans le coefficient de sin f'r, on pourra se contenter de faire f'I = tt. Si l'on y met aussi bl au lieu de bl — i , il en résultera

pour l'expression de la température finale , dans une sphère d'un très grand rayon, ou plutôt, dans une sphère pour laquelle le produit bl est un très grand nombre.

Au centre où r= o , on aura

en mettant l'unité au lieu du facteur i — 77- Si l'on fait r=sl — x,

et que l'on regarde x comme une ligne très petite par rapport à /, on aura, en négligeant son carré,

a'ir't

pour la température finale à une petite distance xde la surface. Elle est, comme on voit, très petite par rapport à la température cen-

traie; laquelle est à celle qui répond à la surface même, comme bl est à l'unité. On voit aussi qu'à mesure que l'on s'éloigne de la surface, pourvu que la distance x soit toujours une très petite partie du rayon /, la température v' , positive ou négative, augmente dans le rapport de \-\-bx à. l'unité.

(172). Il J a une remarque importante à faire sur l'époque où la formule (22) peut être employée. L'équation (16) donne pour le produit jsZ une infinité de valeurs qui sont toutes des nombres abstraits; parmi ces nombres , il en existe qui sont très grands en même temps que le nombre bl; les exponentielles qui leur répondent dans la formule (i4)> disparaissent très promptement; et si l'on désigne par g, g', g", etc., les autres valeurs de fl comprenant la plus petite // et qui ne sont pas de très grands nombres, l'équation (14) deviendra, après un temps très court ,

u=-.(p(r,f)e '' +(p(i'^Çy " +(p(^r,^')e '" + etc.

Mais eu supposant que les nombres g, g' , g", etc., forment une suite croissante , il faudra dans le cas où le rayon l est très grand , que la lignes \/t soit aussi très grande et comprenne un certain multiple de / , pour qu'on puisse réduire cette expression de m à son premier terme, comme nous l'avons fait dans le numéro précédent. Jusque là , on devra employer l'expression de u en série , au lieu de la formule (22) , pour calculer les températures des différens points de la sphère. 11 s'ensuit donc que si le rayon l est considéré comme infini, cette formule abrégée ne sera jamais applicable ; et c'est pour cela que la loi des températures finales, qui a lieu près de la surface , et que nous avons trouvée pour le cas extrême de Z = co (n" i54), n'est pas la même que celle qui résulte de la formule (23). Dans celle-ci les températures décroissent en progression géométrique pour des accroissemens égaux du temps t; dans l'autre, elles varient seulement en raison inverse de la puissance j ou f de cette variable.

(173). Supposons actuellement que la température extérieure ^ varie avec le temps et d'un point à un autre de la surface de la sphère, de sorte que sa valeur soit une fonction donnée de t et des deux angles 4 et G,

Pour étendre à ce cas dune température quelconque, la solution

précédente, relative à une température extérieure égale à zéro, je

suivrai le procédé général du n" i55. Je partagerai donc u en deux

parties que je désignerai par w, et u' , de sorte qu'on ait

Je supposerai que uz=.u^ satisfasse à l'état initial de la sphère, à l'équation commune à tousses points, et à l'équation relative à la surface, quand on fait dans celle-ci Ç = o. La valeur de u sera alors donnée parla formule (i/f) , où l'on remplacera^ (r, 0, 4-) par la valeur initiale de ru^, qui sera f{r, 6, ■\) — j\r, 6, 4)» en désignant toujours Tparfir, G, -i^) celle de ru , et supposant qu'on ait

quand < = o. D'après cela, si l'on repré-ente par A'„, ce que devient la valeur de A„ donnée par la formule (18), lorsqu'on y met J'(r\ 6,4) au lieu de/(;', â, 4)> ^t si Ion désigne par <p'(r, p) , ce que devient la formule (i5) par le changement de A„ en A'„, il en résultera

pour la valeur complète de u, dans laquelle il ne restera plus qu'à déterminer u en fonction des quatre variables ^, r, 9, 4 : la somme 2 s'étend, comme dans la formule (i4)> à toutes les valeurs positives de p tirées de l'équation (16).

Quelle que soit la valeur de ru', on pourra la représenter par la série

m' = U, -t- U. H- U. H-. . . . + U. -f- etc. ,

semblable à la série (i i) par laquelle on a représenté la valeur de ru de sorte que son terme général U„ soit , par rapport à ô et 4 5 de la même nature que V,. Cette quantité U„ devra aussi, comme V,, s'évanouir pour r=o, satisfaire à l'équation (12) pour toutes les valeurs de r, et à l'équation (i 5) pour r=/. Ainsi, quel que soit t, on aura

dUj rd-\}„ nrn+i)TT ~1

38o THÉORIE MATHÉMATIQUE

pour toutes les valeurs de r, et, en particulier,

U, = o , quand r = o , ^^Çbl—i)^ =blZ„, quand r = l.

Ces équations ne suffiraient pas pour de'terminer complètement U„ ; mais les quantités arbitraires qui resteraient dans U„ et par suite dans II', se retrouveraient aussi dans la partie de la formule (24) qui dépend de (p'(r, p), et disparaîtraient toujours de la valeur complète de u. Il est évident que la partie u, de u satisfaisant déjà, par hypothèse, à l'état initial et arbitraire de la sphère, il suffit de trouver pour u' une valeur particulière qui satisfasse à toutes les autres conditions du problème.

Or, je suppose d'abord que le terme général Z„ du développement de ^ (n° 168) soit de la forme

r„ désignant une quantité indépendante de t, et de la même nature que Z, par rapport à G et -^ ; m étant une quantité réelle ou imaginaire, indépendante de ces trois variables t, 6, •>)/, mais qui pourra changer avec le nombre n ; et e représentant la base des logai'ithmes népériens. Dans cette hypothèse, je satisferai aux trois équations relatives à U, , en prenant

U„ = Rz„ e

-mt

R étant une fonction de la seule variable r, qui devra s'évanouir pour ;■ = o. En substituant cette valeur de U„ dans la première de ces équations, il vient

l'intégrale particulière de cette équation, qui remplit la condition R =: o quand r = o, est (n° 82)

R = M/-"-*"' f cos (^ ^ cos«^ sin*"'^'W»,

où l'on désigne par M une constante arbitraire; mais en substituant cette valeur de R dans celle de U,, et celle-ci avec celle de Z„ dans l'ëquation relative à r = Z, il en résulte

m/ " (bl-^n)cos( cosaj cosaisii/ cos«J \sin'"'^'ada-=:dl'-''-^(-î^\

ce qui fera connaître la valeur de M.

La valeur de U^ correspondante à celle que l'on a prise pour Z„ sera donc aussi connue. D'ailleurs, en donnant à lîi des valeurs imaginaires, changeant l'exponentielle e~"" en sinus et cosinus d'arcs réels, et prenant ensuite pour Z^ la somme d'une infinité de valeurs infiniment petites, de la forme de s„ sinm^ et z^cosint, on pourra représenter la valeur la plus générale de Z, en fonction de t. Donc, en prenant aussi pour U„ la somme des valeurs infiniment petites qui en résulteront, on aura, dans tous les cas possibles, l'expi-es sion de U„ , ainsi qu'on l'a expliqué dans le n° i55, à l'égard de la quantité U. Cette valeur générale de U„ sera donnée par une intégrale triple, qui se réduira à une intégrale double en effectuant, par les règles ordinaires, les intégrations relatives à w; ce qui sera possible pour toutes les valeurs du nombre entier et positif //. On en conclura , par une sommation relative à n , la valeur de ru', et par conséquent, celle de u' que l'on devra substituer dans la formule (24), qui renfermera alors la solution générale et complète du problème.

(174). En conservant, poui* abréger, M à la place de sa valeur donnée par l'équation (26), nous aurons, en même temps,

zf' = 2M/'"z„e~"" I c.osf^^^^—cosù)\sia''''*''a)dw; (

les sommes 2 s'étendant à toutes les valeurs de n, depuis Ji =0 inclusivement, jusqu'à n= 00 .

Ces équations montrent comment la température extérieure ^ et la partie u' de la température intérieure sont liées l'une à l'autre. Ces deux quantités varient de la même manière par rapport au temps. Pour des valeurs imaginaires de m, elles sont composées de termes pério-

cliques, et chaque inégalité périodique de Ç en produit une semblable dans i^ , qui a la même période, mais une amplitude différente. Pour une valeur positive ou négative de m, ces deux quantités '(^ et lé décroîtront ou croîtront indéfiniment, suivant une même progression géométrique; le temps croissant par des intervalles égaux. Enfin , pour 7?z = o , ces quantités ^/ et "C seront invariables en chaque point de la sphère et de sa surface.

Lorsque la sphère sera placée dans le vide et sa surface imperméable à la chaleur rayonnante, il n'y aura plus aucune communication entre l'intérieur et l'extérieur, et les températures des points de la sphère seront indépendantes de la quantité ^, quelle qu'elle soit. C'est ce qu'on vérifie, effectivement, en observant qu'on aura dans ce cas h = o, ce qui réduira à zéro la valeur de M tirée de l'équation (aS) et relative à un nombre quelconque n : en vertu de la seconde équation (26), on aura donc aussi m' = oàune époque quelconque; il en résultera J'(r, G, 4)=o ^t «P'C^» f) = oj et, par conséquent, la formule (24) ne contiendra plus rien qui dépende des températures extérieures.

Dans le cas général où la constante b n'est pas nulle , aucune des racines de l'équation (i 6) ne sera zéro. La partie de la formule (24) qui dépend de (p (r, f>) et ip' (r, f), décroîtra donc indéfiniment, et se l'éduira sensiblement à zéro au bout d'un certain temps. A cette époque, on aura u=^ u' ; la loi des températures intérieures ne dépendra plus des températures extérieures qui avaient lieu primitivement, non plus que de la distribution initiale de la chaleur dans l'intérieur de la sphère, c'est-àdire de la fonction f (r, 0,4'), aussi bien que de f(r, G , -n}/) ; elle ne dépendra alors, en chaque point de la sphère et à chaque instant, que des températui'es extérieures qui auront lieu à ce même instant, dans toute l'étendue de la surface. Avant l'époque de cette température finale, la valeur de u sera égale à la température u' augmentée de la formule (20) , dans laquelle on remplacera/,' /', par la valeur moyenne de / (r , 0 4) — /' ('■' S , 4) > 3 la distance r' du centre de la sphère.

( 1 75). Pour donner un exemple du calcul de la valeur de u' correspondante à une valeur périodique et donnée de Ç, je prendrai d'abord

C = (A 4- Bcos'G)e-"";

A, B, 7?i, étant des coustantes que je remplacei'aitoul à l'heure par des quantités imaginaires.

En comparant cette valeur de Ç à la première formule (26), on voit que z„ sera ze'ro pour tout nombre n supérieur à 2; de plus, pour n = o, = 1 , 71 = 2 , on aura

z, = A + |B, r, =-0, .-, = B(cos«e~|),

d'après l'expression connue de r,, et relative au cas où cette quantité est indépendante de l'angle -Z ; par conséquent les seuls termes qui entreront dans la seconde formule (26) seront ceux qui répondent à n= o et n = 2 ; et il suffira de former les intégrales relatives à a, pour ces deux valeurs particulières de n.

Afin de simplifier le résultat, je supposerai que la sphère ait un très grand rayon, et que le point dont on considère la température soit très éloigné de son centre, de sorte que les lignes l et /■ aient de très grandes longueurs. Cela étant après avoir effectué les intégrations relatives à oj, je réduis la valeur de chacune des deux intégrales , au terme divisé parla plus petite puissance de rou de l, en dehors des sinus ou cosinus; on trouve de cette manière

£(A + 'B);+B(cos-6-i)!l]

—mt

b sia

cos

Pour appliquer ce résultat au cas d'une inégalité périodique de température, je mets succeseivement rfc: /ra V^ — i,\Ae^'^~',-{Bë^^~' au lieu de m, A, B, dans l'expression deÇ; puis je fais la somme des deux valeurs qui en résultent; ce qui donne

Ç = (A -H B cos'ô) cos[mt + i) ,

où l'on regardera maintenant A, B, m, £, comme des constantes réelles et données. En opérant de la même manière sur la formule précédente, on obtiendra la valeur de u' correspondante à cette valeur périodique de ^.

Or, si l'on fait d'abord m=:ztza, V — i , on aura

Dans notre hypothèse, les exponentielles e "* 2" et e «Va'^ qyj ont des exposans négatifs, seront tout-à-fait insensibles, et devront ê!re négligées. Alors, on aura

sm^- =-e (^sm-v/-«± y/x cos- y/- «j ,

, . l [/m , \/m l y'm i âVÎ *//, , i ^ /"N . / . /r~ , 1 . /~ / , /7

/,sm-^4-— cos-^-=-^ j(;i+-y/-«jsm-v/-«+-v/-acos-v/i et en remettant ??? au lieu de a , on en conclura

où l'on a fait, pour abréger,

et en outre ,

b + -{./-m^Dcos ê', -\/-m = D sin é'.

Cette valeur de u' suppose seulement que le point auquel elle répond soit très éloigné du centre de la sphère d'un très grand rayon; ce qui n'empêche pas que le rapport de r à / ne puisse être très différent de l'unité. Mais si ce point est, de plus, très rapproché de la superficie, de sorte qu'en faisant / — r = .r , sa distance x à la surface soit une très petite partie du rayon l, on pourra faire -,= i

dans le facteur compris entre les crochets. A cette petite distance x , la température u' deviendra donc

M'=^(A + Bcos'e)e "^^'"cos^/ra^ — ^y^^TO + € — €'). (27)

A la surface même , où l'on a .r = o , elle se réduira à

it' = ^ (A + B cos* G) cos (mt + — ') ,

et différera, conséquemment , de la température extérieure, qui répond à l'extrémité du même rayon.

On parviendrait à un résultat semblable, en prenant q cos (mt-{-i) pour l'expression de la température extérieure ; m et e étant toujours des constantes données, et cj désignant une fonction rationnelle et entière de cos 9, sinâsin^» sin6 cosn^, aussi donnée. Si la valeur de ^ se composait de plusieurs termes de cette forme , chaque terme introduirait dans celle de u' un terme semblable à la formu1e(27). Nous examinerons dans le chapitre suivant, l'expression de la température permanente, ainsi composée de la superposition de plusieurs inégalités périodiques, correspondantes à celles de la température extérieure ; nous allons actuellement considérer la partie de i/ qui répond à la partie invariable de Ç, c'est-à-dire à la partie indépendante de t et donnée en fonction des angles 6 et -vj,.

(176). Dans ce cas, je fais w = o dans la première équation (26), qui devient

Ç = r, + :, -F r, -f- 33 -h- . ■ .-f- -. + etc.

Pour former l'expression du terme général de cette série, d'après la valeur donnée de Ç, soit, comme dans le n° 108,

^i — 2ap^ ct^y '=l\ -f aP, 4-a'P.+ a'Pj -I-. . . .-f a"P„ -H etc. ,

de sorte que P„ exprime une fonction àep, rationnelle, entière et du degré 7J. Si l'on prend

p = cos G cos G' •+■ sin G sin G' cos {^ — 4') >

et que l'on désigne par ^' ce que Ç devient quaud on y met G et 4' > au lieu de 9 et -vj/, on aura, en vertu de la formule (4) du n" 109,

J nj o

Faisons aussi mzzzo dans l'équation (aS) et dans la seconde équation (26) , il en résultera

(^,/ + „)M r's.m"-^'codoo= bl'-',

u' ■= 2^M Ç'sm^^'odda Vz,,

et, par conséquent,

de manière que la valeur de u! qu'il s'agissait d'obtenir se trouvera représentée par une série dont tous les termes seront exprimés par des intégrales doubles.

Si ^ est une fonction rationnelle et entière , de cos6, sinôsin-xj,, sin6cos4> 6t si l'on représente son degré par i, on aura z, = 0 pour toutes les valeurs de n plus grandes que i ; pour ^=?^ et i-<Cn, les intégrations relatives à ô' et -s}/' s'effectueront immédiatement, elles valeurs de z, seront aussi des fonctions rationnelles et entières de ces trois quantités cos9, sinô sin4 > sinô cos4 ; dans ce cas particulier, la série qui représente la valeur de u' se bornera donc à un nombre de termes égal à i, et cette valeur s'exprimera pour tous les points de la sphère , sous la même forme que celle de Ç. De plus , si le rayon / est très grand et qu'il s'agisse d'un point très voisin de la surface, on

pourra faire t = 1 , dans la formule précédente, et y remplacer bl-\-n par bl; ce qui la réduira à

Il s'ensuit donc que, dans ce cas, la température permanente des points de la sphère , très voisins de sa surface, est égale à sa température extérieure qui répond à l'extrémité du rayon auquel ils appartiennent ; ce qu'on vérifie, par exemple, sur la formule (27), en y faisant m=o. Mais lorsque f sera une fonction quelconque des angles ô et -vj, , son développement en série de quantités Zq, z, , z,, etc., se composera d'une infinité de termes; la série (28) se prolongera donc également à l'infini , et le nombre n croissant ainsi indéfiniment, il ne sera plus permis de remplacer dans le terme général.

('jj par l'unité, à moins que l'on n'ait rigoureusement r= l , aide

réduire à bl le diviseur bl-\-n, quelque grand que soit ce nombre hl. C'est pourquoi , nous allons transformer la série (28) en une intégrale définie qui ne laissera jamais aucun doute sur la véritable valeur de u'.

(ijj)- Le rayon vecteur r ne pouvant pas surpasser /, si l'on prend pour a une variable qui ne surpasse pas l'unité, on aura, en série convergente,

(.?p + qL)" = p„+P,-+P.q^+ +p.^ + etc.

En différentiant par rapport h et, on en déduit

(t— F)0-n- + -) =P./ + 2P.^-t-. +nV,-^-+etc. et de ces deux équations, on conclut celle-ci :

...+ (2/^+1) P„ 9^'+ etc.

Je la multiplie par a^'^'da, et j'intègre ensuite ses deux membres depuis a =r o jusqu'à a = 1 ; il eu résulte

^ ° (Z— 2yj/r«+r=a')' (6Z+«)Z"

la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs du nombre entier n, depuis n=o jusqu'à n==: ce , comme dans la formule (28). Or, si l'on substitue dans cette formule la valeur de z, , elle devient

on au l'a donc

588 THÉOR[E MATHÉMATIQUE

poui' la valeur u qu'il s'agissait d'obtenir, et qui se trouve ainsi exprimée par une intégrale triple.

Si l'on représente par du l'élément différentiel d'une surface sphérique, concentrique à la sphère que nous considérons et dont le rayon soit égal à l'unité, on aura

da = ûnb'di'dA/.

Soit encore , pour abréger

(/' — iplra + r-tey

et supposons l'intégrale étendue à tous les élémens da de cette surface sphérique; la valeur précédente de u' pourra s'écrire sous cette forme plus simple :

Il en résulte qu'au centre la valeur de m' est la moyenne des températures extérieures qui répondent à tous les points de la surface; car si l'on appelle /a cette moyenne , et qu'on fasse /= o dans la valeur de Q, on aura,

47T/A = fri'dd, 0 = 47r/A,

et par conséquent ,

u! = ij.bl I oL^'^da. = fjt..

(178). On facilitera l'intégration d'où dépend la quantité Q en changeant l'origine des angles variables qui répondent à l'élément quelconque d7 , et la transportant au rayon l'elatif aux angles donnés G et -v}/.

Pour cela, je considère sur la sphère décrite du rayon égal à lunité, le triangle dont les trois sommets aboutissent au rayon d'où Ion compte l'angle 9 , au rayon correspondant aux angles Q et -^ , au rayon aboutissant à l'élément d<r et relatif aux angles variables G' et ■>),'• J^ désigne par 6, l'arc de grand cercle ou le côté com-

pris entre les deux derniers sommets; l'angle dièdre opposé à ce c6té est la difife'rence 4' — "^i d'après la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique , on aura donc

cos G, = cos â cos G' + sin 6 sin 6' cos (4' — 4) = P-

Soit aussi 4/ 1 ^ngle dièdre opposé au côté compris entre le premier et le troisième sommet ; nous aurons en même temps ,

cos G' = cos G cos G, "4" sin G sin G, cos4,-

Ces deux équations , ou les formules connues qui s'en déduisent , détermineront les deux angles G' et 4' en fonction des angles donnés 6 et 4 > et des nouveaux angles variables G^ et 4/5 p3>' conséquent, la quantité ^', donnée en fonction de G' et 4» se changera aussi en une fonction donnée des quatre angles G, 4) Ki "^z- ^*^ désignerai cette fonction par Ç^ ; et l'on peut remarquer que pour la valeur particulière ô = o, elle deviendra indépendante de 4 et égale à ^. De plus, si l'on exprime l'élément dj au moyen des différentielles de G, et 4, > o" ^ura

d7 = sin 9,f^G,<^4, ;

l'intégrale relative à tous les élémens de la surface sphérique, et représentée par Q, devra s'étendre depuis G, = o et 4, = o jusqu'à G = 7r et 4/ = 27r;et cette quantité Q deviendra, en conséquence,

Si, par exemple, la température extérieure Z, est indépendante des angles G et 4 > et égale à une constante y, on aura Ç,,^y, l'intégration relative à 4/ s'effectuera immédiatement; et il en résultera d'abord

On a d'ailleurs

q =z 2Ty I ^ ^-^ ^-^,

,/ n (/'— 2/r«tos5^-f-7-V) =

si 11 fl dy

,,, , . , , «î /rai//» — 2/r«cosO -4-rV

(/' — 2/r« cos «^-f rV) * ' ^^

C étant la constante arbitraire. Le radical devant toujours être une quantité positive, ses valeurs aux deux limites G^ = o et ^ -—,jf^ seront l — rjt et / + ra; en passant à l'intégrale définie, on en conclut Q =: fyTry ; au moyen de quoi la valeur de lî sera u' =^y, comme cela devait être.

'179). Appliquons maintenant la formule (5o) , au cas d'une sphère d'un très grand rayon, et aux points très voisins de sa superficie, de sorte qu'en faisant l — r ■=■ x , la distance oc à cette surface soit une très petite partie du rayon l.

Si la surface n'est point imperméable ou presque imperméable à la chaleur, le produit/;/ sera un très grand nombre; à cause du facteur a"~' compris sous le signe /, l'intégrale contenue dans la formule (3o) ne s'étendra donc qu'à des valeurs de a extrêmement peu difféi'entes de l'unité; mais, d'un autre côté, pour ces valeurs de cl, le coefticient de rf6^^4/ ^^^^ l'intégrale double que Q représente, est extrêmement petit à raison de son facteur/'— ra, si ce n'est pour les valeurs de 6^ qui rendent son dénominateur également très petit, c'est-à-dire pour les valeurs de 6, qui sont elles-mêmes très petites; il suffira donc d'étendre à ces valeurs de ô„ dans la formule (3i), l'intégrale relative à cette variable, et l'on y pourra mettre, en conséquence, 8, et i — { G/ à la place de sinô, et cosG,. On pourra, en même temps, réduire le facteur 'Ç, à sa valeur Ç relative à 9 =0, en excluant toutefois le cas que nous considérei'ons tout-à-l'heure en particulier, où la température extérieure varie très rapidement autour du point auquel répondent les angles G et 4* De cette manière, et en effectuant l'intégration relative à A^^, la formule (3i) deviendra

Q = 27rÇ I 3;

j i{i—r<,y -4- iraè;y

l'intégrale s'étendant seulement depuis 9, = o jusqu'à une très petite valeur de cette variable. Or, le facteur / — ra rendant le

DE LA CHALEUR. 59 c

coefiiclent de d^^ sous le signey, négligeable dès que la valeur de h^ n'est plus très petite, il sera permis actuellement d'étendre l'intégrale au-delà de sa seconde limite, et si l'on veut, jusqu'à ^^ = oc . On aura alors

q=2-7rCl ^^-^ = 37rn-+ i);

J o [(/-r«r-f /r«ti;-]' ^ ^

d'où il résultera, en vertu de la formule (3o},

ou sensiblement u = f.

Dans le cas d'uue sphère d'un très grand rajon , et pour des points très voisins de sa surface, l'expression de u' en intégrale définie , nous conduit donc au même résultat que sa valeur en série. Mais l'analjse précédente suppose la réduction de ^^ à ^ sous le signe /, qui n'est plus permise lorsque la température Ç varie très rapidement autour du point que l'on considère; et, dans ce cas, l'équation u' = Ç n'a plus lieu , comnie on le verra tout à l'heure. Au reste , quand elle existe, cette équation n'a lieu rigoureusement qu'à la limite Z = xi , et à la surface même; pour un très grand rayon l, ou très près de la surface, cette équation n'est qu'approchée, et la diflérence u' — ^ a une très petite valeur que l'on pourra calculer par approximation dans chaque exemple , d'après la valeur donnée de Ç en fonction de 6 et 4.

(i8o). Le rayon / étant toujours très grand et considéré comme infini, faisons, dans la formule (29),

h j dh

en désignant par e la base des logarithmes népériens, ou aura a" = e-»»^ hi a}i-'da = — be-*'dh;

et l'intégrale relative à h devra s'étendre depuis h=il:=a:j qui ré* pond à a = o, jusqu'à ^=0 qui répond à a= i , ou bien, depuis

5g2 THÉORIE MATHÉMATIQUE

// =o jusqu'à h = co , eu changeant le signe du résultat. Faisons aussi

r^l — x, ê = s, W = s', lS'=d/.

En supposant que .r conserve une valeur finie, ou infiaiment petite par rapport à Z; développant suivant les puissances et les produits de s et /; et supprimant ensuite les termes qui auront une puissance de l pour diviseur , il vient

/(/» r'-cc'j sin ÔV/6' = 2 (h-\-x) s'ds', /> 2plra+ r'u-' = {Ii •+- x)' H- ^' + ^'' — 2ss' cos (4 — 4') .

L'intégrale relative à s' devra ensuite être prise depuis s' .-= o jusqu'à / == ce . Par conséquent l'équation (29) deviendra

(h + x) €->"•'(' i'dhds'd^,'

xy + i'' + s'" — 2^/ cos (4' — -4-')] '

En même temps, la sphère du rayon / se sera changée en un corps terminé par un plan indéfini en tous sens ; lequel corps se prolonge aussi indéfiniment d'un côté de ce plan. Celte valeur de u sera la température devenue invariable, qui répond au point situé h la dislance jc du plan, et dont la projection sur ce plan a 5 et 4 pour coordonnées polaires , savoir : le rayon vecteur s ayant son origine à un poiixt fixe du plan, choisi arbitrairement, et l'angle 4 "^u^ fait ce rayon avec une droite fixe, menée par ce point dans ce même plan. Les variables / et 4' sont ce que deviennent ^ et 4 relativement à un élément quelconque de ce plan ; ^' est la température extérieure correspondante à cet élément, et donnée en fonction de s' et 4'«

Si l'on veut transformer les coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires, ayant la même origine, on fera

.<^cos4=J'j Jsin4=2, .y' cos4'=/'> >y'sin4' = ^'> il en résultera

S^ + /» 2SS' cos (^ 4'} = (j —yy + iz — Z'l\

On devra changer en dj'dz' , l'élément différentiel s'ds'd-\>' de la sur^face plane. L'intégrale étendue à cette surface entière aura pour

limites j' = ± ce et s' = db 00 ; nous aurons donc

" —2x70 J-xJ-» [(^+x)+cr-y')+(«-«'n''

OU , ce qui est la même chose , en faisant, pour abréger,

En intégrant par partie relativement à A, et désignant par p' ce que p devient à la limite hz=zo , il vient

quantité que l'on peut remplacer par celle-ci :

«' = rJ'fIJlQ- - f) '-'Xduyi-'-,

et sous cette forme on vérifie sans difBculté que cette température invariable lî correspondante au point dont x , y,z, sont les trois coordonnées rectangulaires, satisfait à l'équation (n° 5o)

dx^ "•" ^ "^ 5F — ^'^

En effet, tant que p et f' ne sont pas zéro, ou les quantités - et -, infinies, on a identiquement

dr ^

et, par conséquent, chaque élément de l'intégrale triple satisfait sé-

parement à l'équation précédente. D'ailleurs, p et p' fie deviennent zéro qu'à la surface où l'on a jc=:o, et pour les valeurs particulières A = o, j^'=/, z'==z; mais à cause du facteur -, — -, la

partie de l'intégrale triple qui répond à dés valeurs de h , f' , z', infi ' niment peu différentes de celles-là, demeure toujours une quantité infiniment petite; on peut donc en faire abstraction, et l'intégrale entière satisfera encore à l'équation donnée dans le cas de xz=o, comme pour toute autre valeur de x.

(i8i). On simplifiera l'expression de u' en transportant l'origine des coordonnées polaires à la projection du point auquel se rapporte cette tettipérature sur le plan qui termine le corps. On aura alors j= oj et si l'on fait

il en résultera

Si l'on décrit de cette projection comme centré, et d'un rajon égal à / , une circonférence de cercle sur la surface du corps , /l' sera la moyenne des températures extérieures qui répondent à tous les points de cette circonférence; or, on voit par cette dernière formule que la température fixe i^ variera sur chaque perpendiculaire à la surface, avec la distance x à cette surface, suivant une loi qui ne dépendra , pour une valeur donnée de là constante h , que de cette température moyenne y\' , et nullement de la variation des valeurs de t.' à distance égale autour du pied de cette perpeûdiculaire. On voit aussi que la valeur de u' qui a lieu à la surface même ou qui répond à x = o, différera, en général, de la température extérieure Ç", c'est-à-dire de la valeur de t,' relative à / = o, ou ce qui est la même chose, de celle de v)' qui répond aussi à j'=o. Mais si les variations de n' ne sont sensibles que pour de très grandes valeurs de s', elles n'influeront pas sensiblement sur la loi des températures u' dans le sens de la profondeur x, ainsi que l'on peut s'en assurer en considérant la fraction qui multiplie -ft' sous les signes d'intégration, el dont les valeurs sont très petites et peuvent être

négligées quand la variable s' est devenue très grande. Dans ce cas , on pourra donc regarder la terapératui-e fixe it', comme égale en tous les points de chaque perpendiculaire à la surface; ce qui s'accorde avec le résultat du n° 17g.

Lorsque Ç sera une température tout-à-fait constante que je représenterai par y, on aura aussi Ç'=> et »'=r^; en vertu de la formule (52), on aura donc

{h+x)s'ds'

l^h+xy+s'-^y

et à cause que chacune de ces deux intégrales simples est égale k l'unité, il en résultera u' =:y, comme cela devait être.

En mettant l — j? et «' à la place dfi /■ et « dans l'équation relative à la surface (n° 168), on aura

pour x=.o; il est bon de vérifier que la formule (Sa) satisfait à cette équation.

En intégrant par partie relativement à h, cette formule devi«at

Li^+hy + s'^V d'où l'on déduit

XJ) s I

Or, le coefficient de ds' sous cette intégrale est nul pour x=o , excepté lorsqu'on a aussi s' = o, ce qui rend, au contraire, ce coefficient infini. Nous déterminerons donc la valeur de l'intégrale, ainsi que nous l'avons pratiqué dans tous les cas semblables , en considérant X et / comme des infiniment petits. On pourra alors prendre pour >i' la valeur ^ de cette fonction de s', qui répond à s' = 0; en sorte que l'on aura d'abord

Sgô THÉORIE MATHÉMATIQUE

mais cette dernière intégrale étant infiniment petite en même temps que X , pour toute valeur finie de s', il sera permis de l'étendre depuis /=o jusqu'à / =: co ; et pour ces limites, l'intégrale étant égale à l'unité, il en résultera

ce qu'il s'agissait de vérifier.

(182). Au lieu de déterminer la température u' des points du corps que nous considérons d'après la température extérieure , si l'on veut la déduire de celle du plan qui le termine, et si l'on suppose que celle-ci soit représentée par Ç' au point dont les coordonnées polaires sont s' et 4» et par Ç' à leur origine; l'équation relative à cette surface sera ii' = ^. Pour qu'elle coïncide avec celle du numéro précédent , il faudra que la constante b soit infinie; en faisant toujours

"'=irw'

il s'agira donc d'appliquer la formule (Sa) au cas particulier de è = oo .

Si l'on y fait

bh=y, bdh^dj,

cette formule devient

Lorsque la distance x nest pas nulle ou infiniment petite , on peut réduire 'j + x à X , parce que la fraction j^ n'a de valeurs finies que

pour des valeurs infinies de^, pour lesquelles l'intégrale s'évanouit à raison du facteur e~K En effectuant ensuite l'intégration relative à j, on aura donc

,,'= r"£!Ï'^il; (33)

DE LA CHALEUR. Sg;

expression beaucoup plus simple que la formule (5.!), mais qui suppose connue la température de la surface.

Quand la distance x est infiniment petite , et à la surface même ou l'on a a:=o, l'intégrale relative à / n'a de valeurs finies que pour des valeurs infiniment petites de s' ; pour celles-ci, on peut remplacer n' par sa valeur Ç relative à 5' := o; on a donc d'abord

Cette dernière intégrale relative à s' s'évanouissant dès que l'on donne à la variable une valeur finie, on peut actuellement l'étendre depuis / = o jusqu'à la valeur finie de s' que l'on voudra, ou même jusqu'à j' = 00 ; et comme on a

il en résulte u'= Ç, comme cela devait être.

Quelle que soit la loi des températures de la surface, la valeur de u' à une profondeur quelconque x sera toujours comprise entre la plus haute et la plus basse température de la superficie; car si l'on appelle m la plus grande valeur de Ç', on aura évidemment,

puisque cette intégrale relative à s' est égale à l'unité. On aura de même u' > m', si m' est la plus petite valeur de '(,' .

(i85). Pour appliquer la formule (33) à un exemple, supposons qu'on ait

e désignant toujours la base des logarithmes népériens; y et c étant des constantes données, dont la première exprime la température

SgS THÉORIE MATHÉMATIQUE

da point de la surface qui repond à ^' = o. Puisque cette valeur de

^' est iadépendaute de l'angle 4'» ^^^^ sera aussi la valeur den'. En

faisant

X* + s'* = z', s'ds' = zdz;

les valeurs de z qui répondent aux limites / = o et s' =s(X> , seront z = cc et z = 00 , et il en résultera

On a d'ailleurs , en intégrant par partie ,

e — j- = e — 2CX / e cdz ;

on aura donc

u' =. y (i — zcxe"'''' f e"*"** cdz\.

Sous cette forme, on voit immédiatement que la valeur de u' se réduit à y pour ar = o. Quand le nombre ex sera très grand, on aura, par une série d'intégrations par partie,

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