cz 2CX '^ L ^ aCar^^Cac^x*)"^ (2c='a:'')3^*'^'J

d'où il résultera cette valeur de u' en série convergente ,

qui fait voir qu'à de grandes profondeurs la température u', dans l'exemple que nous considérons, est de signe contraire à celle de la surface, et continuellement décroissante à mesure que la distance X augmente de plus en plus. Pour calculer la valeur de u' pi'ès de la surface , on remarquera que l'on a

/e""'*' cdz = / e~''^^ cdz — / e"""'^' cdz; la première de ces deux dernières intégrales a , comme on sait , \ sj'rr

pour valeur (n° 74)» nous aui'ons donc

u' = y Çi — ex yj'îr é^'' + acx e^^^j' e""'*' cdz\;

et dans cetle formule on aura, en série convergente ,

e cdz = ex — n \- -= 5 + etc.

Enfin , on déterminera le minimum, abstraction faite du signe, de

dx

on aura, de celte manière,

«"'^'(i + 2C°x*) ( e"""'"' ccfe — ex = o;

d'où l'on tirera la valeur approchée de x; la valeur correspondante de u' sera

la température u' , en égalant -j- à zéro. A cause de

d. I — c't' T — c'jr'

ee ,

c'est-à-dire, moindre que 5/ dans le rapport de l'unité à la quantité 1 + ic*x*.

(184). Je placerai ici quelques remarques générales sur l'équation du mouvement de la hauteur à la surface d'un corps de forme quelconque , mais de très grandes dimensions , comme la terre par exemple, et sur les températures qui ont lieu près de cette surface.

SoitAOB (fîg. i4) la surface de ce corps. Par le point quelconque 0, menons dans son intérieur la normale Ox à cetle surface. Si l'on prend cette droite pour l'axe des x , et conséquemment les axes des j^et des z dans le plan tangent en O, on aura , dans l'équation (2)^

cos a = — I , cos ^ = o , cos ^ = o ; ce qui réduira celte équation à celle-ci :

4oo THÉORIE MATHÉMATIQUE

dx

qui aura lieu pour x = o.

Si la surface AOB ne s'écarte pas très rapidement du plan tangent en 0, en s'éloignant de ce point, c'esl-à-dire , si le point 0, dans le cas de la terre, n'appartient pas au sommet ou au penchant d'une montagne très rapide, et généralement à un terrain qui présente de grandes sinuosités; si, de plus, la température extérieure 'Ç ne varie pas d'une manière très rapide autour du point 0, et qu'en ce point, elle ne varie pas non plus avec le temps, on conçoit que la température m variera aussi très lentement le long de la normale 0,r, soit avec le temps t, soit avec la distance x, tant que cette dislance sera très petite eu égard aux dimensions du corps. Cela étant, soit M un point de Ox , situé à une distance OM ou x du point 0, très petite par rapport au rayon de la terre, ou, en général, par rapport aux dimensions du corps que l'on considère; appelons X la température du corps en ce point et au bout du temps t; on pourra développer X en série très convergente, ordonnée suivant les puissances de j:; et par le théorème de Taylor, on aura

X, du x" du z=. u -\' X -j- -\ T-r -j- etc. ,

dx 1.2 dx- ' '

en faisant xr=.o dans u et dans ses coefficiens différentiels. Je négligerai, dans cette série, le carré de x et ses puissances supérieures; on aura alors

Xdu

et par conséquent,

X — Il z=. b{u — 0"^»

eu vertu de l'équation relative à la surface. L'accroissement positif ou négatif de la température X sera donc proportionnel à la distance x ; en le désignant par g pour chaque unité de longueur, et en appelant f l'excès, aussi positif ou négatif, de la température ii au point 0 de la surface, sur la température extérieure Ç qui répond au même point , on aura

DE LA CHALEUR. 4oi

X — u = gx, u — Z = f; d'après l'équation précédente, on aura donc

8 = hf;

ce qui fera connaître l'excès y" quand l'accroisfenient g sera donné par l'observation, et que l'on connaîtra aussi la valeur de b relative à l'état de la surface au point 0 et à la conductibilité k de la matière du corps (n° 162). Fourier a remarqué le premier cetîe relation fort simple entre les deux quantités g et f, et l'usage que l'on en peut faire dans la question des températures de la terre près de la surface et à la surface même.

Dans le cas d'une sphère d'un très grand rayon , pai*venue à l'état qui pi'écède son refroidissement total , on a

d'après l'expression de la température près de la surface, donnée par la formule (aS) où l'on a supposé nulle la température extérieure. Or, on voit que la relation g = bj a lieu entre ces valeurs deyètg. On vérifierait également cette équation à toute autre époque du refroidissement de la sphère d'un très grand diamètre, comme aussi dans le cas d'un corps terminé par un plan indéfini, auquel se rapportent les formules du n" 104. Mais si l'on veut appliquer l'équation gz^bf aux températures permanentes qui ont lieu pi'ès de la surface d'un corps de grandes dimensions, et aux températures extérieures dont celles-là proviennent, il faudra faire abstraction des inégalités à courtes périodes qui affectent les valeurs de g et de^^, pour ne tenir compte que de celles dont les périodes sont très longues, et qu'on peut appeler des inégalités séculaires.

Ainsi, l'équation gz=zbj n'a pas lieu pour la valeur de z/ donnée par la formule (27) et pour celle de ^ que cetîe formule suppose^ à moins que le coefficient ju de t sous les sinus et cosinus ne soit très

4o2 THÉORIE MATHÉMATIQUE

petit, et tel qu'il rende les variations de u' et de Ç extrêmement lentes. Pour vérifier que cette relation entre g et f subsiste lorsque

— exprime un temps très long, je mets en général, dans la valeur

de Ç et dans cette formule (27) , comme il a été dit dans le n" i ^5 , une fonction rationnelle et entière q , des trois quantités cos 9, sin 6 sin 4> sinQcos-^/, à la place du facteur A-f-Bcos^G; en ayant égard aux valeurs de D, cosg', sing', on aura alors

^ = ç cos(m^ + ê),

/,, , '^y/am

et en développant les coefficiens de sin [int-{-i) et cos(m^ + ê), dans cette expression de m' , suivant les puissances de \/7?î] jusqu'à la seconde exclusivement, on trouve

:' = q COS (int -{- i) 'i T^ [s'mÇmt + s) — cos (mt + «)]

qxKI -m [sia(m< + ê) — cos{int -\- «)].

Or, si l'on prend pour g le coefficient de x dans cette valeur approchée de m', et pour f l'excès de cette même valeur relative à X = o, sur la valeur q cos (mt +€) de Ç', on aura à la fois.

g- = — [sin (mt + i) — cos (mt ■+• ê)] ,

/ = T [siu(/n< + î) — cos(mt -|- «)];

valeurs qui satisfont effectivement à la condition g =/b.

DE I.A CHALEUR. 4o5

(i85). Eu gênerai, près do la surlace d'un corps de très grandes dlnieusions qui ne présente pas cependant de grandes sinuosités, la température permanente li est indépendante de la forme du corps; elle est la même que si ce corps était terminé par un plan indéfini, et qu'il s'étendît indéfiniment d'un côté de ce plan; et pour chaque terme périodique de la température extérieure, elle est exprimée par la formule (27). Mais son expression change, comme on va le voir, lorsque l'on a égard à l'influence de la chaleur sur le coefiicient /; de l'équation relative à la surface.

A cause de è = ^ (n" 162) , le second membre de cette équation est

f y\ j. • Or, en vertu de l'équation (4), son numérateur renferme

une partie A (m — ^) qui augmente, à très peu près, dans le rapport de \ -\- \{u + %) log (1,0077) ^ l'unité, par l'influence des températures u et 0 sur la quantité A. Si donc on suppose que la valeur de Ç contienne un terme périodique ç^ cos (mi + ê ,) , dans lequel

7/' =y» ^» so"* ""^ température, un angle, et un intervalle de temps donnés, ce second membre ^' , devra d'abord être augmenté de

bëy [u" — (j; cos' (mt + &,)],

en observant que p ou bk est la somrne des deux quantités A et A, du n° 1 63, et faisant , pour abréger ,

^=rT^' > = î^og (1,0077).

La température u influera aussi sur le dénominateur k; et si l'on prend pour k l'expression que l'on a obtenue dans le n'' 55 , d'après une loi déterminée de l'absorption de la chaleur dans l'intérieur des corps , cette quantité A', en passant de 11=0 à la valeur de u, augmentera dans le rapport de i -{-2yu à l'unité, en négligeant le carré dey. Ce même second membre variera en raison inverse, et diminuera, en conséquence , de

2byu{u — Ç).

4oi THÉORIE MATHÉMATIQUE

Ainsi, l'équation relative à la surface devieudra

~=è(M — 0 (i— 2>m) + ^'^>[m'— î/cos^(mf + g]. (54)

A raison du terme q, cos (mt + s^) provenant de Ç, et en vertu de la seconde équation (5), la température extérieure^ comprendra un terme Sq^ cos {jnt -\- i^); mais elle peut aussi renfermer un autre terme périodique dépendant du même angle variable mt, provenant d'une autre source, et que je représenterai par q cos (int -\- e); q et î étant une température et un angle qui différeront généralement de q^ et ê^. Cela posé, si l'on veut déterminer la partie de la température permanente u, qui répond à toute la partie de la température extérieure dépendante des sinus et cosinus de mt, on prendra, dans l'équation précédente,

^ = q COS (mt H- s) + ëq^ cos (jnt -f- êj ,

et l'on y mettra u au lieu de u. En négligeant, dans une première approximation, les termes qui ont y pour facteur, et mettant successivement q et €q^ au lieu de A + B cos' ô dans la formule (27), elle fera connaître les valeurs de u qui répondent à ces deux termes de celle de ^. De cette manière, on aura, dans une seconde approximation,

"' = D^ "^''"'{jcosÇtnt—l y/lm + e — e')

+ Cq, cos (^mt — î y/ i m + £,— e')^ + yv ;

V étant une nouvelle inconnue qui restera à déterminer en fonction de X et t.

Je substitue cette valeur de u' à la place de u, et pour Ç sa valeur précédente dans l'équation (54) qui a lieu pour jc=o; les termes indépendans de y se détruisent, comme cela doit être; en négligeant toujours le carré de ^, et supprimant ensuite le facteur y commun à tous les termes , cette équation prend la forme

'îB- étant une fonction périodique, dépendante des sinus et cosinus du

DE LA CHALEUR. 4o5

double de mt et dont la valeur est facile à former; et X désignant une quantité constante également connue, savoir :

en ayant égard à la valeur 7- de cos s'(n'' 176).

Indépendamment de l'équation relative à x=o, la valeur de u' doit encore satisfaire pour toutes les valeurs de a:, à l'équation du mouvement de la chaleur dans l'intérieur du corps que l'on considère; mais attendu que l'on a égard à la variation de k, il faut prendre pour celle-ci, l'équation (8) du n" 5o, dans laquelle on mettra A-(i -{- 2yu)

à la place de A, et te au lieu de u. On fera ensuite - = a*, comme dans

le n° 162 ; on supposera le corps terminé par un plan indéfini qui sera celui des coordonnées j et z, et s'étendant indéfiniment dans le sens des X positives; enfin , on regardera la température ^^' comme indépendante dej et z, du moins dans une grande étendue autour de l'axe des oc. On aura alors

dt \dx^

En substituant, dans cette équation, pour u' sa valeur précédente, les termes indépendans de y se détruisent, comme cela devait arriver; en négligeant le carré de y, et supprimant ensuite le facteur y commun aux deux membres , il vient

di' ,rd'v , dm , d\-] ,„„.

di = ^\dF' + ^ + 5fJî (56)

n étant une fonction périodique dépendante de Jc et des sinus et cosinus de 2mt, et V une quantité qui ne dépend que de x, dont la valeur sera

xyôm

4o6 THÉORIE MATHÉMATIQUE

H ne s'agira plus maintenant que de former une valeur particulière de V qui satisfasse à la fois aux équations (35) et (56); et l'on pourra en outre assujettir cette valeur à ne pas croître indéfiniment avec X (n° i55); condition qui est ici nécessaire pour qu'on ait pu négliger, dans l'équation (36), des termes dépendans de \> à cause de leur facteur 7^. Cette valeur de v renfermera une partie périodique,

. , d'Vl

correspondante aux quantités /zs- et -r—, qui sont renfermées dans ces

deux équations, et une partie indépendante de t que nous nous bornerons à considérer. En supprimant donc ces quantités tir et -t— ;,

la valeur de v indépendante de t et la plus générale qui satisfasse à l'équation (36), est évidemment

C et C étant deux constantes arbitraires. Afin que v ne croisse pas indéfiniment avec JT, on fera C = o. Au moyen de l'équation (55), relative à X = o , on aura ensuite

ce qui fait connaître la valeur de C d'après celle de X- Pour une valeur quelconque de ;r , et en ayant égard à la valeur de V, il en résultera

^ = -^ ^ =• (7 + ^?J=+ r Sq;

Ainsi, lorsque les températures uaV 'Q ne sont pas très élevées, leur influence sur la conductibilité k et sur la quantité f peut néanmoins produire un effet sensible sur les températures intérieures. Pour chaque partie périodique de la température extérieure, dépendante des sinus et cosinus d'un angle mt, ou dont la période comprend un

inlervalle de leraps donné et représenté par —, celle influence produit dans la température qui a lieu à la distance oc de la surface, une augmentation invariable et égale à la valeur précédente de v, multipliée par y qui est une fraction un peu moindre que quatre millièmes. 11 s'ensuit qu'à la surface, la partie invariable delà température surpasse celle delà température extérieure, d'une quantité égale à la

valeur de yv qui répond à a: = o. La valeur de j- étant positive,

l'augmentation y^' de température est croissante avec la distance a: ,

mais non pas indéfiniment : quand cette distance est devenue un mul-

tiple tin peu considérable de — , l'exponentielle contenue dans la

formule précédente est insensible; en sorte qu'à cette distance et audelà, la valeur de y est sensiblement constante, et la température invariable surpasse celle qui a lieu à la surface, d'une quantité

en mettant pour D* sa valeur (n° 175).

Dans les usages de l'équation g z=hf du numéro précédent, pour déterminer l'une des deux quantités g et y^ au moyen de l'autre, on fera attention qu'elles ne doivent pas contenir les parties de leurs valeurs dépendantes du terme yv de l'expression de u; on prendra donc pour g l'accroissement de température rapporté à l'unité de longueur, qui a lieu sur la normale O.r, à une distance de la surface assez grande pour que l'exponentielle contenue dans la valeur de yv soit devenue insensible; ety^sera l'excès de la température moyenne du point 0 sur la température moyenne extérieure qui répond au même point, diminué de la valeur de yv relative a. Jc =0; en sorte que si la valeur de g est donnée par l'observation, et que l'on prenne

I pour celle de /, il faudra ajouter à cette quantité y la valeur deyv

qui répond à j7=o, pour en déduire l'excès entier de la première température moyenne sur la seconde.

4o8 THÉORIE MATHÉMATIQUE

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