id

.'''février..

16 id....

j^' mars. . .

.5 id....

\" avril. . .

2 mai.. . .

i" juin. . . .

16 id....

."juillet..

.6 id....

1" août. . .

1" octobre.

.6 id

."■ novemb " janvier .

.6 id....

ï" février..

16 id....

i" mars. . .

.6 id

..,8.4 ..,8Î9 "1,849 ",849 ",849 11,849 11,849 ..,849 .1,8.4 11,814 . 1 ,8.4 11,849 II ,884 11,849 .1,849

Suite.

BATES

Température

DATES

Température

DATES

TemptTalure

1828 1 "avril...

1829. I" juillet..

1832. 3 septemb.

16 id....

16 août. . . .

2 octobre..

1 " mai . . . .

i'''septemb.

i*^' novemb.

,6 id....

16 id....

4 décemb..

i"juin. . . .

1" octobre.

1855. 2 janvier. .

16 id

16 id

5 février . .

.i" juillet. .

16 novemb.

3 mars . . .

16 id....

1" décemb.

1" avril. . .

r"' août; ..

1850. II février. .

8 mai

16 id. . . .

6 mars. . . .

ii,9'9

2 juin ....

i^'septemb.

6 avril. . . .

i"juillet. .

16 id....

i"mai

i"août . ..

1" octobre.

1" juin. . . .

8 octobre, .

i(i id....

16 id....

!*■■ novemb.

3 juillet... 3 août. . . .

6 décemb. .

24 id . . . .

Du i" novembre 1828 au

i^^septemb.

1834. 4 janvier..

4 février . .

2 mars ....

)8 janvier 1833.

5 octobre .

i" novemb.

91 observations; moyenne, i ■"jgSo.

3 décemb.

6 avril. . .

1851. 3 janvier. 3 février. .

\" mai. . . .

2 j uin

1828. 1" novenib.

2 avril ....

20 id. . . .

16 id....

2 mai. . . .

\" juillet. .

1" déceinb.

Il:9'9

i"ju;n. . . .

16 id....

i"jmllet. .

\" août. . ,

1829. i" janvier..

2 août. . . .

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I '] id

iiî9'9

2 septemb.

2 septemb.

1'' février. .

i" octobre.

16 id....

i" novemb.

6 octobre. .

1" mars . . .

1" décemb.

16 id . ..

16 id....

1832. 3 janvier. .

3 novemb .

1" avril. .,

3 février. .

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16 id

1 " mars . . .

6 décemb. .

1" mai

2 avril. . . .

16 id. . ..

16 id

1" mai. . . .

185S. 2 janvier.. .

l"juin. . . .

ïi>9>9

i" juin. ..

18 id ...

16 id

4 aoiit. . . .

On voit que dans chaque série, les températures s'écartent très

peu de leur valeur moyenne. Toutefois , les quatre moyennes

ii°,73o, I

i%8oi, II

sout crois

ïantes; la difïeren

ce de

la dernière à la première est o°,220; et si cet eflet a est pas dû à un déplacement du zéro de l'échelle thermométrique, il indiquerait une inégalité sensible dans la température des caves de 1 Observatoire , pendant les 17 dernières années. Cette petite inégalité est confiriiiée par les indications d'un second thermomètre, placé dans le même lieu et construit autrefois par Lavoisier. Ou a reconnu que cet instiument marque des températures un peu trop élevées; mais l'excès de ces ipr dications sur celles du thermomètre de M. Gay-Lussac, a très peu varié depuis que l'on observe en même temps ces deux instrnmens : sa grandeur moyenne a été de o°,3i6, dont il s'est à peine écarté de o°,oi en plus ou en moins.

Les deux instrumens indiquant des variations de température dans le même sens et sensiblement égales, on est porté à en conclure qu'elles sont réelles, sans les confondre néanmoins avec les inégalités annuelles qui sont tout-à-fait insensibles à la profondeur des caves de l'Observatoire, comme on le voit par chacune des quatre séries précédentes d'observations. Les variations dont il s'agit peuvent être attribuées à des causes irrégulières qui influent sur la température extérieure. La quantité totale de chaleur solaire qui parvient à, la surface de la terre dépend, eu eflet, de l'état de l'atmosphère qu'elle a traversée, et varie en conséquence d'une année à l'autre; la valeur moyenne delà température extérieure résulte en grande partie de cette quantité totale de chaleur solaire; et les inégalités irrégulières qu'elle éprouve pendant plusieurs années consécutives peuvent en produire dans la température intérieure, qui soient encore sensibles à des profondeurs où les inégalités diurnes et annuelles ont tout-à-fait disparu. Cela étant, pour obtenir une température des lieux profonds, indépendante de ces variations irrégulièi-es, et qu'on puisse regarder comme constante, abstraction faite des inégalités séculaires auxquelles elle peut être soumise, il faut prendre la moyenne des températures observées pendant un assez grand nombre d années. Or, en laisant la somme de toutes les températures comprises dans le tableau ci dessus, et la divisant par leur nombre 552, on trouve 1 1°, 854 pour la température des caves de l'Observatoire à l'époque actuelle.

(18S). L'observation nous a aussi appris depuis long-temps qu'à la profondeur oii les inégalités diurnes et annuelles ne sont plus sçiisi-

4i6 THÉORIE MATHÉMATIQUE

bles , la température de la terre augmente sur chaque verticale avec la distance à la surface. Les températures observées avec soin dans un grand nombre de mines de différens pays, ne laissent aucun doute sur ce phénomène (*); il a lieu près de l'équateur, comme à notre latitude et plus près du pôle; on l'observe également dans des mines dont l'ouverture est à une très grande hauteur au-dessus du niveau des mers, ainsi que M. de Humboldt l'a constaté, et plus récemment M. Boussingault; mais à raison des circonstances locales, du travail de l'exploitation, et de la communication avec l'air extérieur, les températures de ces cavités sont quelquefois très inégales à la même profondeur et dans des lieux très voisins; et sans doute elles sont très différentes de celles de la masse même de la terre , à cette profondeur et dans ces mêmes lieux. L'augmentation de profondeur qui répond à un accroissement d'un degré de température dans les mines, vaiie de lo à loo mètres, sans qu'on puisse décider si cette inégalité provient de la différence des climats, de celle des terreins, ou de quelque circonstance locale.

Le moyen le plus direct de connaître la loi plus ou moins rapide de l'accroissement de température de la terre , et de savoir si cet accroissement dépend, toutes choses d'ailleurs égales, de la latitude et de l'élévation des lieux au-dessus du niveau des mers, est de déterminer par le sondage les températures qui ont lieu le long de chaque verticale dans diverses parties du globe, à des distances de la surface où les inégalités diurnes et annuelles aient disparu. A ces mêmes distances, l'accroissement de la température fixe dont il a été question dans le n" i85, aura aussi disparu; et quelle que soit la cause de celui que l'on observe à des distances plus grandes, on pourra le supposer, à toutes celles où l'on peut atteindre et beaucoup audelà, proportionnel à la profondeur. La distance OM ou œ du point M à la surface étant donc plus grande qu'une vingtaine de mètres, on l'eprésentera la température u par la formule

u = f -i- gx, (i)

(*) Annales de Physique et de Chimie , tome XIII, page i83. Essai sur la température de la Terre, par M. Cordier, dans le (oiiie VU des Mémoires de r Académie.

dans laquelle y^et g sont des quantités indépendantes de a? que l'on déterminera par l'expérience pour chaque verticale Ox, D'après cette expression de u, on formera autant d'équations de condition que l'on aura mesuré de températures le long de cette verticale, correspondantes à des valeurs connues de x; et si le nombre de ces équations est assez considérable, on en déduira les valeurs dey^et g par la méthode des moindres carrés des erreurs.

Ces deux quantités pourront changer de valeurs par l'effet des variations séculaires de la température; et leur détermination exacte dans le même lieu et à des époques séparées par de très grands intervalles de temps, offrira le moyen de reconnaître par la suite si ces variations ont lieu réellement, et quelle en est l'étendue. Ces mêmes quantités éprouveront aussi de petites variations d'une année à une autre, ainsi qu'on l'a expliqué plus haut. Elles varieront encore sur la verticale Ox , lorsque la nature de la surface aura changé dans une assez grande étendue autour du point 0.

Le coefficient g exprimera l'accroissement de température pour chaque mètre de profondeur, en prenant le mètre pour unité de longueur. D'après ce qu'on a vu dans le n" i85, la quantité/ surpassera un peu la température moyenne du point 0, c'est-à-dire la partie de la température de ce point, indépendante des inégalités diurnes et annuelles. Par la même raison, si la distance x est moindre qu'environ vingt mètres, J -\-gx surpassera aussi d'une petite quantité la température moyenne du point M. Nous verrons dans la suite comment on peut évaluer ces petites différences, et les comparer aux observations.

(tSg). Pour exemple de la détermination des deux inconnues/etg-, je prendrai les observations que M. A. De La Rive a faites dans une campagne près de Genève, à une hauteur de 100 mètres au-dessus du lac, et de près de 5oo mètres au-dessus du niveau des mers (*). Les températures ont été observées à des profondeurs qui s'étendaient jusqu'à 2 25 mètres. Le trou de sonde était rempli, dans sa plus grande partie, par une eau stagnante, sauf le mouvement déterminé dans ce liquide par

(*) Mémoires de la S ociitt! d'Histoire naturelle de Genève, tome VI.

4i8 THÉORIE MATHÉMATIQUE

sa diminution de densité, qui avait lieu de haut en bas, en vertu de l'accroissement de température. On conçoit que l'effet de ce mouvement, s'il était un peu rapide, serait de mélanger les parties du liquide , et de rendre leurs températures moins inégales ; mais M. A . De La Rive observe que celte eau étant très bourbeuse, on peut supposer le déplacement de ses molécules assez lent pour que l'eau ait eu le temps de prendre les températures de la terre, aux différentes profondeurs où il les a mesurées au moyen d'un thermomètre plongé dans ce liquide imparfait. Le plus grand nombre de ces températures ont été mesurées deux fois; j'ai pris alors pourla valeur de u, la demisomme des deux valeurs observées, et qui étaient peu différentes l'une de l'autre; il en est résulté dix-huit équations de condition en employant seulement les températures mesurées à des profondeurs d'environ 20 mètres et au-delà. On a déduit de ces équations, par la méthode des moindres carrés (*),

/= io%i4o, g = o%o3o7;

d'où il résulte qu'aux environs de Genève la température de la terre augmente de o°,o3o7 pour chaque mètre de profondeur, ou d'un degré pour Sa'^jSS. U s'ensuit aussi que la température moyenne de la surface doit être un peu au-dessous de 10°, 140. En comparant la formule

u = io°,i4o -(- (o°,o3o7) a-,

aux dix-huit observations qui ont servi à l'établir, on trouve que les difiiérences sont comprises entre zfco%32, et qu'elles n'atteignent qu'une seule fois chacune de ces limites; leur valeur moyenne est au-des.sous d'un millième de degré.

(igo). M. Arago a proposé un autre moyen de déterminer les températures de la terre à diverses profondeurs, qui consiste à les déduire de celles de l'eau des fontaines jaillissantes, connues sous la dénomination de puits artésiens.

(*) Tous les calculs numéiiques dont les résultats sont donnés dans ce chapitre, ont été faits par le ueveu de M. Bouvard, actuellement élève de l'Observatoiie.

DE LA CHALEUR. 41g

Dans beaucoup de pays, el particulièrement dans les de'partemens du nord de la France, il existe des fontaines provenant de grandes nappes d'eau souterraines, alimentées par des sources que l'on suppose très élevées, de manière que celte eau l'eraplit exactement les cavités qui la contiennent, et exerce même sur leurs parois supérieures des pressions très considérables. C'est en vertu de ces pressions que l'eau jaillit et vient surgir à la surface de la terre, lorsque l'on a percé le sol jusqu'à l'une de ces nappes souterraines. Quelquefois ces fontaines se produisent dans des pays plats; pour que les sources alimentaires partent de points très élevés au-dessus des nappes souterraines, et puissent donner naissance a une pression hydrostatique très considérable, on suppose alors qu'elles ont leur origine dans des montagnes très éloignées du lieu où les fontaines sont produites; ce qui n'est pas toujours vraisemblable. Mais on pourrait aussi admettre que le terrein qui recouvre une nappe d'eau intérieure, n'est pas absolument inflexible, auquel cas il exercerait sur la surface de ce liquide une pression qui le ferait jaillir par le trou pratiqué jusqu'à son gissement; et dans cette hypothèse, le lac souterrain pourrait être alimenté par des sources peu élevées ou même inférieures. Quoi qu'il en soit , chaque nappe d'eau, avant lo percement, a pris la température de la terre dans le lieu qu'elle occupe; après le percement, si la quantité d'eau jaillissante et celle qui la remplace sont très petites par i-apport au volume de la nappe entière, elle conservera cette température pendant le jaillissement; en outre, on peut supposer la vitesse de l'eau jaillissante assez grande pour que le liquide n'ait pas le temps de se refroidir en traversant le terrein supérieur pour arriver à la surface du sol; on peut donc admettre que la température de l'eau parvenue à cette surface, et avant qu'elle se soit mêlée à l'air extérieur, n'est pas sensiblement moindre que celle de la terre à la profondeur d'oii cette eau est partie.

Ainsi, à Saint-Ouen, près de Paris (*), la température d'une fontaine jaillissante dont l'eau provient de 66 mètres au-dessous du sol, est de i2'\g. Si on la compare à la température des caves de l'Obser-

(*) Annuaire du Bureau des Longitudes , année i835, page 235.

vatoire, qui est ii°,854 à la profondeur de 28 mètres, il en résulte qu'à Paris l'accroissement de température est de i°,o66 pour une différence de 38 mètres dans les profondeurs ; ce qui donne un degré pour 55'^,65, et o°,028i pour la valeur de g.

Voici quatorze autres observations de températures correspondantes à des profondeurs connues, que M. Arago m'a communiquées.

Températures de l'eau des puits artésiens percés dans les environs de Lille à différentes profondeurs.

Lieu du Percement. Profondeur Température

du puits. de Peau.

Moulin du Pont ai", 4-.. ii°,i

Lillers 23,8... 11,2

Béiliune 32,8... 11,7

La Vacherie 34 , 8 . . . 11,8

Saint-Andié-Sous Aire... 35, ■;... 11, 5

Béthune (faubourg).. 35, 7... 11, 5

Marchiennes 3^, 3... 12,2

Gouchem 38 , 7 . . . 12,1

Béthune (esplanade).. 38,9... 12,0

EntreLilleetMarquetle. ^0,2... 12,1

Marquette (abbaye). . . 5o,6... 12, 5

Aire 5i,2... 12, 5

Marquette 53,6... 12, 3

Aire (fort St. -François) 62, 4--- i3,3

Saint- Venant 1 00 , 5 . . . 1 4 » ' •

Eu prenant ces profondeurs, qui sont toutes plus grandes que 20 mètres, et ces températures, pour les valeurs correspondantes de x et de u dans l'équation (1), et déterminant les valeurs de /et g parla méthode des moindres carrés, comme dans l'exemple précédent, on trouve

/= io%4o5, g: = oSoSgS;

ce qui donne 25'°,4^g de profondeur pour chaque degré d'accroissement de tempe'rature de la terre , au lieu de l'oljservation , c'est-àdire dans les environs de Lille. Si l'on compare la formule

u = io°,4o5 + (o°,o3g5)j:,

aux quatorze températures observées, on trouve que les plus grandes difl'érences s'élèvent à — o°,444 ^t -f-o'',5o7, et que la différence moyenne n'est pas de o°,ooi.

En comparant les accroisseraens de température pour chaque mètre de profondeur, o°,o3g5 près de Lille, o°,o5o7 près de Genève et o"",028i à Paris, on voit que le premier est plus rapide que le second dans le rapport de 4 ^ 5, et presque moitié en sus du dernier; ce qui doit tenir à la différence des terreins dans ces trois localités. Si la latitude influe sur les accroissemens de la température de la terre, au-delà de la profondeur où ont lieu les inégalités diurnes et annuelles, les latitudes de Genève, de Paris et de Lille, 46^12', 48°,5o' et 5o°,39', ne diffèrent point assez pour qu'il en puisse résulter la différence entre les valeurs de §• qui ont lieu dans ces trois villes; différences que l'on ne peut pas non plus attribuer à celle de leurs élévations au-dessus du niveau des mers.

La température moyenne de l'eau dans les fossés de la citadelle de Lille est de io°,7; on peut la prendre pour celle de la surface de la teiTe, aux environs de cette ville; et l'on voit qu'elle excède un peu la valeur 10°, 4o5 de /, tandis qu'elle devrait être, au contraire, un peu moindre. Si l'on supposaity= 1 1% et que l'on déterminât la valeur de g d'après la température i4°>i du puits de Saint-Venant, le plus profond des environs de Lille, on aurait o°,o3og pour cette valeur, à très peu près comme à Genève.

(igi). L'accroissement delà température de la terre, à mesure que l'on s'enfonce au-dessous de sa surface , après qu'on a dépassé une certaine profondeur, étant bien constaté, on a essayé d'en trouver la cause. Fourier et ensuite Laplace ont attribué ce phénomène à la chaleur d'origine que la terre conserve encore à l'époque actuelle, et qui décroît du centre à la surface, de telle sorte qu'elle soit excessivement élevée vers le centre, mais très peu considérable près de la surface. Les idées de Fourier sur ce sujet important sont expo-

sées dans les extraits de deux Mémoires qu'il a insérés, il y a déjà plusieurs années, dans le tome XIII des annales de Physique et de Chimie , et dans le tome VII des Mémoires de TAcadémie ; mais il paraît qu'après sa mort, on n'a pas trouvé dans ses papiers les mémoires mêmes où il aurait sans doute développé quelques assertions qu'il a énoncées, sans preuves à l'appui, dans ces deux extraits. Laplace a émis son opinion sur le même sujet, en traitant de la question d'astronomie relative à l'invariabilité du jour sidéral, dans la Connaissance des Tems pour l'année 1823, et dans le livre XI de la Mécanique céleste.

C'est Laplace qui a fait voir que l'inégalité des températures moyennes extérieures, correspondantes à des points très éloignés sur la surface de la terre, c'est-à-dire, la partie de la température f, indépendante du temps, mais qui peut être une fonction quelconque de la longitude et de la latitude du point 0, ne saurait jamais produire aucun acci'oissement ou décroissement sensible de la température de la terre, le long de la verticale Ox , à des distances de la surface qui soient très petites par rapport aurayon du globe, et par conséquent, à toutes les profondeurs accessibles; ce qui n'empêche pas qu'à des profondevu's encore plus considérables, l'inégalité dont il s'agit ne donne lieu à de grandes augmentations ou diminutions de température, sur chaque rayon de la terre et jusqu'à son centre. On fait ici abstraction des variations locales dont il a été question dans le n" 181, comme aussi de la petite augmentation de la température moyenne indiquée dans le n° i85; et il suit alors de ce théorème, tel qu'il a été démontré dans n° 176, que l'accroissement général des températures de la terre, observé près de la surface, ne peut dépendre que de la chaleur propre et initiale du globe, ou de causes qui font varier très lentement la température intérieure. L'explication fondée sur la chaleur d'origine, a été généralement adoptée ; toutefois, il ne me semble pas qu'on ait eu suffisamment égard aux difficultés qu'elle présente, et que j'exposerai tout à l'heure, après avoir déduit les conséquences principales de cette hypothèse.

(192). En admettant donc l'existence d'une chaleur d'origine, encore sensible à l'époque actuelle près de la surface du globe, nous supposerons néanmoins le temps écoulé depuis cette origine, assez

:"' DE LA OIALliUK. 425

grand pour que la température de chaque point de la terre, provenant de sa chaleur initiale, soit réduite au premicl- terme de son expression en série d'exponentielles, et représentée par la formule (25) du n° 1 71 ; de manière qu'en désignant par v cette partie de la température du point M, ou ait > ,?Jiii1 c

^ = -li i^ + bx) e ^; (2)

a, b, /, jc , ayant les mêmes significations que précédemment (n" 186); le temps tétant compté à partir d'une époque extrêmement éloignée que rien ne pourrait servir à déterminer; et € désignant

une constante par rapport à X et f, telle que — exprime l'intégrale

I jy sin -j-^''' contenue dans la formule citée. Cette valeur de f est de la forme

i> = f -\- gx; f et g étant des quantités indépendantes de x , savoir :

Dans l'hypothèse que nous examinons, cette quantité g doit être la même que dans la formule (i), c'est-à-dire l'accroissement observé de la température moyenne le long de la verticale Ox, rapporté à 1 unité de longueur. La quantité / est celle dont la chaleur initiale de la terre, augmente encore à l'époque actuelle, la température de la surface au point 0. Le temps croissant par des diiTérences égales, ces deux quantités J g\. g décroîtront suivant une même progression géométrique, et extrêmement lente de siècle en siècle , à cause de la grandeur de l. Ainsi qu'on l'a remarqué plus haut (n° 184), elles sont liées entre elles par l'équation g =. bf, qui servira à déterminer J quand les valeurs de b ci g seront connues. On a déjà vu comment la valeur de g peut être déterminée par l'observation; on verra par la suite comment on peut aussi obtenir celle de b par la comparaison des inégalités annuelles des températures extérieures et intérieures; la va-

leur de/ qui en résultera ne sera qu'une fraction de degré, qui variera avec la position du point 0, ou dans le même lieu quand un chau" gementdans l'état de la surface aura fait changer la quantité b. En prenant le mètre et l'année pour unités de longueur et de temps , on a à Paris, comme on le verra par la suite,

b = 1,05719; on aura aussi, comme on l'a vu plus haut,

g = o'',028i ; d'où l'on déduit

de sorte qu'à Paris la chaleur d'origine de la terre augmenterait la température de la surface , à l'époque actuelle , d'un peu plus d'un quarantième de degré.

La chaleur peut avoir été distribuée primitivement d'une manière quelconque, dans la sphère homogène à laquelle appartient la normale Ox; la valeur de C , d'après l'intégrale qu'elle représente, ne dépend que de la température moyenne de tous les points de cette sphère, à l'époque d'où l'on compte le temps t; mais cela suffit pour qu'elle puisse être diflerente, en passant du point 0 à un autre point 0^. L'accroissement de température g pourra donc changer aussi , en passant d'une verticale h une autre , non-seulement à cause de la valeur de a , qui dépend de la nature du sol, mais aussi à raison du facteur € de l'expression de g^. Par conséquent , il n'est pas impossible que cet accroissement de température g soit différent, en des lieux où le terrein est delà même nature. Toutefois, s'il y a eu une époque où la température moyenne d'où dépend la valeur de S, a été la même pour tous les points du globe, ou du moins pour tous les points d'une même région delà terre, ce qui paraît une supposition assez naturelle, et si l'on compte le temps t a partir de cette époque, il en résultera que l'accroissement de la température dans le sens de la profondeur, sera plus ou moins rapide en des lieux différens, selon que la valeur de « y sera moins ou plus grande, et conséquemment, comme on le verra dans la suite, selon que l'amplitude de l'inégalité annuelle de température, y décroîtra plus ou

moins rapidement , à mesure que l'on s'abaisse au-dessous de la surface. C'est un point que l'on pourra facilement vérifier par la comparaison des observations contemporaines.

Dans un même lieu, si la valeur de g devient g^, lorsque le temps t augmente de t^, on aura, à la fois,

Ig = Qe '' , Ig, = Ce

jfi

et, par conséquent,

8, =ge

Lorsque l'on aura déterminé la valeur de a, d'après l'afifaiblissement de l'inégalité annuelle de la température de la terre à mesure que la profondeur augmente, on pourra donc assigner l'époque où l'accroissement de la température moyenne sera réduit à moitié, ou à toute autre partie aliquote de sa valeur actuelle. Ce sera la vérification la plus décisive de l'hypothèse que nous examinons; mais malheui'eusement elle exige un grand nombre de siècles d'observations , vu la lenteur du décroissement de l'exponentielle qui exprime le rapport de g^ à g. Ainsi, l'on a à Paris, comme on le verra dans la suite,

en prenant toujours le mètre et l'année pour unités de longueur et de temps; on a aussi

/ = 656455 i; il en résultera donc

1 oo . : ooo , 1 oooooo

d'où l'on conclut qu'il devrait s'écouler plus de mille millions de siècles pour que la valeur de g fût réduite à moitié.

Lorsqu'il s'agit d'un corps de grandeur infinie et terminé par un plan dont la température initiale était partout la même , l'excès f de la température de la surface sur celle du dehors , et l'accroissement g de la température intérieure, qui ont lieu au bout d'un très long intervalle de temps écoulé depuis l'époque de

l'ëtat initial , sont en raison inverse de la racine carrée de ce temps t (n° i54)' H s'ensuit que la diminution de g pendant un autre temps t^, très petit par rapport à «, sera égale à la valeur

actuelle de g, multipliée par le rapport -^, ainsi que Fourier l'a

énoncé, à l'égard du refroidissement séculaire de la terre, dans un des deux extraits cités plus haut (*). On ne peut donc pas alors calculer la diminution de §• pendant un temps donné <^, sans faire une hypothèse purement gratuite sur la longueur du temps t primitivement écoulé, et sur l'époque d'où ce temps est compté, comme on en a fait une sur la distribution uniforme de la chaleur à cette époque. Mais la terre ne doit pas être assimilée à un corps dont les dimensions soient inh'nies; on doit seulement la considérer comme une sphère d'un très grand rayon ; et c'est la formule dont nous avons fait usage, qu'il convient d'employer pour exprimer les lois de son refroidissement; ce qui permet de calculer, sur chaque vertical Ox , le rapport des valeurs de g à deux époques différentes, d'après l'intervalle de temps qui les sépare, et d'après la valeur de la constante a relative à celte droite. En ce qui concerne les inégalités périodiques de la température qui ont lieu près de la surface, on peut bien , sans en changer les lois, supposer infini le rayon de la terre (n° i85); mais il n'eu est pas de même, comme on voit, relativement à la partie de la température moyenne qui provient, par hypothèse, de la chaleur initiale du globe.

D'après ce qu'on a vu dans le n° Ç)Q^ la portion de cette chaleur d'origine que la terre doit perdre à travers chaque unité de surface et pendant une unité de temps, est égale, relativement au

point 0, au produit A: v-, ou à kg, en vertu des expressions de v

et de g. Cette perte de chaleur variera généralement avec la position du point 0. Pour la calculer, lorsque l'accroissement g de la température intérieure sera connu, il faudra, en outre, faire une hypothèse sur la conductibilité A-, ou bien sur l'une des quan-

i*) Annales de Physique et de Chimie, toine^XIII, page ^^5.

tite's c et p; d'où l'on déduirait la valeur de A d'après celle de l'uaedes constantes a ou b. Mais on n'a pas d'expériences directes qui fassent connaître ia chaleur spécifique cet la conductibilité A" pour les matières dont la terre est formée près de sa surface, non plus que la quantité yo relative à l'état de cette superficie; quant aux observations des températures près de la surface, comparées aux températures extérieures , elles déterminent seulement les valeurs de a et de b, et laissent inconnue l'une des trois quantités c, A, p, du n° 18G.

(ig5). Aucune de ces conséquences de la supposition d'une chaleur d'origine encore sensible à l'époque actuelle près de la surface du globe, n'est une objection contre celte opinion, ni une raison en sa faveur, du moins jusqu'à ce que les rapports numériques qui en résultent, aient été vérifiés ou contredits par les observations de plusieurs siècles. Mais voici les difficultés que cette hypothèse présente, cl qui la rendent, ce me semble, peu vraisemblable.

Dans l'hjpolhèse dont il s'agit, l'accroissement de température que l'on observe à toutes les profondeurs accessibles, aura lieu encore au-delà et jusqu'au centre de la terre; de sorte qu'il en résultera, à de plus grandes distances de la surface, des températures excessivement élevées. Cet accroissement de température étant supposé, par exemple, d'un degré par 5o mètres de profondeur, la température de la terre surpasserait 2000 degrés à une distance de la surface égale au centième du rajon. Il est vrai qu'à de si hautes températures, la chaleur spécifique c et la conductibilité k ne sont plus constantes; il est aussi possible que le rayonnement intérieur ne s'étende plus seulement à des distances insensibles, ni même très petites; et l'équation aux difiérences partielles du mouvement de la chaleur, n'étant plus linéaire et du second ordre, il peut en résulter que la température de la terre croisse, sur chaque verticale, dans un plus grand ou dans un plus petit rapport que la distance à la surface, quoique cette distance soit toujours une petite partie du rayon. Mais il ne s'agit point ici de calculer la grandeur précise de la température intérieure; il s'agit uniquement de montrer qu'elle serait excessive à moins de

60000 mètres de piofondcur. Pour se former une idée de ce qu'elle deviendrait au centre de la terre, on pourra aussi considérer le globe comme un corps homogène, et faire abstVactlon de l'accroissement de densité des couches terrestres en allant de la surface au centre, qui pourrait rendre plus rapide ou moins rapide l'augmentation de température; or, dans ce cas, l'excès de la température centrale

sur celle de la surface, sei'ait égal, d'après le n° i^i, à ^e '' ou Ig, en désignant par ê, l, g, les mêmes quantités que précédemment; par conséquent, si l'on prend toujours le mètre pour unité, et un trentième de degré pour la valeur de g, la température centrale surpasserait deux millions de degrés. Au centre et dans la plus grande partie de sa masse, les matières dont la terre est formée, se trouveraient donc à l'état de gaz incandescens, tellement condensés, néanmoins, que leur densité moyenne surpasserait cinq fois celle de l'eau. Pour les contenir à ce degré de compression et de chaleur, il faudrait une force extraordinaire, dont on ne saurait se former aucune idée; et l'on peut douter si la couche solidifiée du globe aurait une épaisseur et ime cohésion suffisantes pour résister à l'effort des couches fluides intérieures pour se dilater.

La forme à peu près sphérique de la terre et des planètes, et leur aplatissement aux pôles de rotation, montrent avec évidence que ces corps ont été primitivement fluides, et peut-être à l'état aériforme. En partant de cet état initial, la terre n'a pu se solidifier en tout ou en partie, que par une perte de chaleur provenant de ce que sa température excédait celle du milieu oîi elle était placée. Mais il n'est pas démontré que la solidification a dû commencer à la surface pour se propager vers le centre, comme le supposerait un état du globe encore fluide dans la plus grande partie de son intérieur. Le contraire me paraît plus vraisemblable. En effet, les parties extrêmes ou les plus voisines de la surface , en se refroidissant les premières, ont dû descendre à l'intérieur, et être remplacées par des parties internes qui sont venues se refroidir à la superficie, pour redescendre ensuite à leur tour. Ce double courant aura entretenu dans la masse une égalité de température, ou du moins, il aura empêché que l'inégalité ne fiât, à beaucoup près , aussi grande que dans un corps solide qui se

refroidit par sa surface; et l'on peut ajouter que ce mélange des parlies du fluide et le nivellement de leurs températures, auront été favorisés par les oscillations de la masse entière, qui ont eu lieu jusqu'à ce qu'elle soit parvenue à une figure et une rotation permanente. D'un autre cùlé, la pression excessivement grande, supportée par les couches cenlrales, a pu déterminer leur solidification beaucoup avant celles des couches plus voisines de la surface, c'est-à-dire que les premières ont pu devenir solides par l'effet de celte extrême compression, à une température égale ou même supérieure à celle des couches moins rapprochées du centre, et soumises en conséquence à une pression beaucoup moindre. L'expérience a fait voir, par exemple, que l'eau à la température ordinaire, élant soumise à une pression de 1000 atmosphères, éprouve une condensation d'environ un vingtième deson volumeprimitif. Or, concevons une colonne d'eau d'une hauteur égale au rajou du globe, et réduisons sa pesanteur à la moitié de celle que l'on observe à la surface de la terre , afin de la rendre égale à la gravité moyenne qui aurait lieu le long de chaque rayon de la terre dans l'hjpothrse de son homogénéité; les couches inférieures de cette colonne liquide éprouveront une pression de plus de trente millions d'atmosphères, ou égale à plus de trente mille fois celle qui réduit l'eau aux ^ de son volume ; mais sans connaître la loi de la compression de ce liquitle , et quoique nous ignorions comment cette loi peut dépendre de la température, on peut croire néanmoins qu'une si énorme pression réduirait les couches inférieures de la masse d'eau à l'état solide, lors même que leur température serait très élevée. Il semble donc plus naturel de supposer que la solidification de la terre a commencé par le centre et s'est propagée successivement vers la surface : à une certaine température, qui pouvait être extrêmement élevée, les couches les plus voisines du centre se sont d'abord solidifiées, à raison de l'excessive pression qu'elles éprouvaient; les couches suivantes se sont solidifiées ensuite à une température et sous une pression moindres; et ainsi de suite, de proche en proche, jusqu'à la superficie.

En se solidifiant ainsi du centre à la surface, et, si l'on veut, en continuant à se refroidir après être devenue entièrement solide, la terre a pu perdre, depuis long-temps, toute sa chaleur d'origine; de

43o THÉORIE MATHÉMATIQUE

sorte que l'accroissement de température que l'on observe actuellement près de sa surface soit dû à une autre cause, et ne s'étende pas dans l'intérieur à des profondeurs très considérables; ce qui est effectivement possible, comme on le verra plus loin. Mais je présente ces considérations avec toute la réserve que l'on doit apporter dans des conjectures qui ne peuvent être vérifiées ni par des calculs précis, ni par des expériences directes.

(ig4)- Nous allons actuellement nous occuper de la partie de la température u du point M qui dépend de la température extérieure Ç.

Pour la déterminer d'après les formules générales du n» 1 76 , il faudra que l'expression de ^ soit réduite en une série de sinus ou cosinus d'arcs proportionnels au temps. Supposons donc que l'on ait

C = B + Kcos{mt-\~ g) + A! cos {in t-\- s') -j- etc.; (3)

B, A, A', etc. , m, m', etc., €, d, etc., étant des constantes réelles et données. La première B représentera la constante de la température extérieure qui répond au point 0 de la surface de la terre, et qui pourra être une fonction donnée de la longitude et de la latitude de 0. Chacun des autres termes de cette valeur de ^ exprimera une inégalité périodique de la température extérieure correspondante à ce même point O. Les coefîiciens A, A', etc., seront les amplitudes de ces diverses inégalités; leurs valeurs changeront généralement avec la position du point 0; on pourra les supposer positives, en prenant convenablement les angles 6, t' , etc. Les coefiiciens du temps m, m', etc., seront aussi supposés positifs. L'inégalité exprimée par A cos (i?it-\- e) passera deux fois par toutes ses différentes valeurs, positives ou négatives, et reviendra à une même valeur,

dans un intervalle de temps égal à —, qui sera, en conséquence,

la durée de sa période entière; et de même pour les autres inégalités.

Nous prendrons toujours l'année julienne pour l'unité de temps; si A cof,{mt -h ê) est une inégalité annuelle ^ on aura alors 771= 27r ; et s'il s'agit d'une inégalité diurne, la valeur de ?« sera m =27r (365,25). Mais en général , nous appellerons inégalités annuelles , toutes celles

dont la période est d'un an ou d'un sous-mulliple de l'anne'e, et qui répondeni, consëqucmment, à 7«:^ 27r, ^=^t(, =67r, etc. ; et nous nommerons inégalités diurnes , celles dont la période est d'un jour ou d'un sous-multiple du jour, et pour lesquelles m sera 27r(5C5,25), ou le double, le triple, etc. , de ce nombre. A l'égard des inégalités séculaires , les valeurs de m, m!, etc., seront extrêmement petites, et égales au nombre a^r divisé par les nombres d'années compris dans leurs périodes.

Cela posé, la valeur permanente de u, correspondante à celle de Ç sera , d après le n° cité ,

„=B4-^ e~«^^™cosf7ni + £— ïy^^m — cT)

+ etc.; En faisant, pour abréger,

è + -\/-wj = D cosj^ , - \/ -77Z ^ D sincT , et par conséquent,

relativement à la première inégalité, et en désig^nant par D, et S',, D^^ et cT,,, etc., ce que deviennent D et «T, par rapport aux inégalités suivantes : c représente ici, comme à l'ordinaire, la base des logarithmes népériens.

Ces formules (5) et (4) montrent que la constante B de la température est la même en dehors et à l'intérieur. Elles font aussi voir qu'à chaque inégalité du dehors, il répond à l'intérieur une inégalité qui a la même période, mais une amplitude différente et toujours moindre.

A la surface où l'on a x = o, l'amplitude de l'inégalité dont

la période est — , se déduit de l'inégalité correspondante de la température extérieure, en multipliant .celle-ci par le rapport de i à

D, c'est-à-dire, par une fraction dont la valeur diminue à mesure que l'inégalité est plus rapide, ou que la valeur de m est plus grande. L'instant de chaque maximum , positif ou négatif, d'une inégalité, arrive, lorsque mt-\-è pour l'inégalité extérieure ou m,t-\-e. — «T pour l'inégalité de la surface , est un multiple de tt j d'où il résulte que chaque maximum de l'inégalité à la surface suit le maximum

de l'inégalité extérieure , d'un intervalle de temps égal à — , en prenant pour «T l'angle aigu qui a pour tangente le rapport de - \/~m

Le long de la verticale Ox, l'amplitude de chaque inégalité diminue en progression géométrique , quand la profondeur x augmente par des diflérences constantes. Pour une augmentation d'une unité dans

la profondeur, l'amplitude de l'inégalité dont la période est — , di-

mmue dans le rapport de e ^y i alunite; en sorte que c est l'inégalité dont la période est la plus courte , qui décroît le plus rapidement; et ce décroissement sera d'autant plus rapide, comme on l'a dit plus haut, que la constante a aura une moindre valeur. Les maxima positifs ou négatifs de cette inégalité ont lieu

à la profondeur x, quand mt -\- s. \ -m — cT est un miJ-

tiple de tt ; chaque maximum se propage donc uniformément suivant la verticale Ox , avec une vitesse égale à as/zm qui est aussi la plus grande pour l'inégalité dont la période est la plus courte.

En considérant toujours l'inégalité dont la période est — , si l'on

appelle X et X' les grandeurs de son amplitude aux distances x et x' de la surface , on aura

ei, par conséquent,

Si l'on suppose x' > j: , et que l'on désigne par X le refard du maximum de cette inégalité à la profondeur x' sur celui qui arrive immédiatement auparavant à la profondeur x , on aura aussi

ay im

en supprimant dans cette quantité le multiple de 27r qu'elle pourra contenir. De ces doux dernières équations, on déduit celle-ci :

X' = Xc-"'S

qui ne renferme plus que des quantités mesurables directement pour chaque inégalité, et pourra servir à vérifier la théorie.

Au dehors ou à l'intérieur, la température moyenne sera la partie de Ç' ou ôiQ u , indépendante des inégalités diurnes et annuelles. A l'extérieur, elle se composera de la constante 13 et des inégalités séculaires de toute espèce dont la valeur de 'C, pourra être affectée. A l'intérieur, elle sera la constante B augmentée de toutes les inégalités séculaires correspondantes à celles de la température extérieure; on y ajoutera, en outre, la valeur de v donnée par la formule (2), pour avoir égard à la chaleur initiale du globe, si l'on suppose qu'elle soit encore sensible à l'époque actuelle près de la surface ; on y comprendra aussi la partie de grandeur invariable, qui provient de chaque inégalité périodique de la température extérieure, d'après ce qu'on a vu dans le u° i85. Relativement à l'inégalité A coa{mt -h &) , j'appellerai w cette partie invariable de w, je supposerai que l'inégalité Acos {int-\- i) de ^ ne provienne pas de la température ^, comprise dans la seconde équation (5) du n" i65; la valeur de w se déduira alors de celle de yv du n" i85, en y faisant q, = o et q =: A ; et comme on a , à très peu près {y = 0,00 igaS , il en résultera

b' -\ îl f.

pour la quantité constante dont l'inégalité Acos(mi + £) de la tem-

péralure extérieure augmentera la tempéi-ature moyenne du point M

situe' à la distance x de la surface.

figS). Quelle que soit la valeur de ^ en fonction de t, on pourra toujours lui donner la forme du second membre de lequation (5), en la transformant, si cela était nécessaire , en une intégrale définie double, dont on prendrait ensuite les élémens pour les ternies de ce second membre. Mais dans les applications que nous ferons des formules (5) et (4), l'expression de '( se composera de parties dont chacune reprendra la même valeur à des époques équidistantes ; et cela étant, la réduction de chacune de ces parties en une série de sinus ou de cosinus d'arcs proportionnels au temps, s'effectuera beaucoup plus simplement au moyen de la formule suivante.

Soit <pt une fonction donnée ; désignons par G un intervalle de temps déterminé; et supposons que celte fonction reprenne la même valeur toutes les fois que t augmente de 6, de sorte qu'on ait

<p{t + 6) = <pt,

pour toutes les valeurs de t; la fonction (pt étant d'ailleurs tout-à-fait arbitraire, continue ou discontinue, entre deux valeurs de t, dont la différence est G. D'après ce qu'on a vu dans le n° i54; on aura

(pt^jfyt'dt'

. 2 r6 , ZTTt' ,^, lift . 2 C^^^l • =""' J^/ • 277Ï

-\- W^ (pt' cos^cf^'.cos^ "^ 9 / o ^ ^'" ô cit'. sin^ ^"^^ -}- g / <pt' cos —dt' . cos -^ — h 8 / <P^ sm -j- dt . sm -j- -f- etc. ;

expression de la même forme que le second membre de l'équation (5).

On fera coïncider ces deux formules en prenant

»i=y, m = 2, 7?i' = , etc.,

Acosê=-/ (pf cos -— «r, Asinê= — j- / fr sm -r- ^rr,

A'cosé'= I r (pf' cos ^' r/f', A'sin é=—^f\t' sin — ^<',

A'cos£"= ^ /"^' <p<'cos ^' r/<', A"sin£"=— ^^^J (pi' sia ^' dt',

etc. ;

d'où l'on conclut, en vertu de la formule (4), qu'une partie (pt de la température extérieure dont le temps périodique est G, donnera naissance dans l'intérieur, à une partie constante égale à cette valeur de B, et à une série d'inégalités dont les périodes seront 6, 2G, 5Ô, etc. Leurs amplitudes décroîtront, puisque ces périodes sont croissantes, et, en outre, parce que les intégrales relatives à t' forment deux séries décroissantes à raison des sinus et cosinus des multiples croissans de la variable qui sont contenus sous les signes f. Il faut aussi ajouter que si la fonction tpt, quoiqu'elle ne reprenne les mêmes valeurs qu'au bout de chaque intervalle de temps égal à 9, passe néanmoins plusieurs fois , dans cet intervalle, par des valeurs positives et négatives, cette circonstance affaiblira les valeurs de toutes les intégrales précédentes; en sorte qu'il pourra arriver qu'une semblable partie (pt de ô, ne donne lieu qu'à de très petites inégalités périodiques dans l'expression de la température intérieure.

La question qui doit nous occuper dans ce qui va suivre, c'està-dire la détermination de la température du point M au moyen de la formule (4), se réduira donc maintenant à former, d'après la seconde équation (5) du n" i63, l'expression complète de ^ en fonction de t, résultante de toutes les soui'ces de chaleur d'où dépend la température extérieure. Ces sources diverses sont la chaleur stellctire , la chaleur atmosphérique agissant par le rayonnement ou par le contact immédiat, et la chaleur solaire. Nous allons les considérer successivement, en entrant dans tous les détails nécessaires sur la nature et l'influence de chacune d'elles.

(igG). Si l'on mène par le point 0 de la surface de la terre, une droite OE, suivant une direction quelconque et indéfiniment prolongée, cette droite finira toujours par rencontrer une étoile visible ou invisible ; la terre est donc placée dans un espace terminé par une enceinte fermée de toutes parts, et qu'on suppose j-empli d'un étlier excessivement rare ; et quoique les dimensions de cette enceinte formée d'étoiles, soient immenses, cela n'empêcherait ni ne diminuerait son action calorifique sur le globe terrestre, si l'éther n'absorbait nullement la chaleur qui le traverse; car dans le vide ou dans un milieu non absorbant, l'intensité de la chaleur rayonnante décroissant suivant la raison inverse du carré de la distance, il s'ensuit que l'action totale d'une enceinte fermée sur tous les corps contenus dans l'espace qu'elle termine, est indépendante de sa grandeur absolue. Si donc on fait d'abord abstraction du pouvoir absorbant de l'éther, il y aura un échange continuel de chaleur entre la terre et la première étoile que va rencontrer la droite OE, et il en résultera, à chaque instant, une augmentation ou une diminution de la température du point 0, selon qu'elle sera plus petite ou plus grande que celle de l'étoile. Mais si 0 et OE sont le sommet et l'axe d'un cône extrêmement aigu , la portion de l'enceinte stellaire interceptée par ce cône comprendra, vu la distance excessivement grande des étoiles à la terre, un nombre immense d'étoiles; elles n'auront sans doute pas toutes une même température; il y a lieu de croire que celles qui sont lumineuses, ont, comme le soleil, une très haute température, et que celles qui ne le sont pas, s'il en existe, ont une température beaucoup moins élevée; cela étant, nous prendrons la moyenne des températures de toutes ces étoiles pour la température de cette portion de l'enceinte correspondante à la direction OE, et nous la représenterons par i^.

Si la valeur de s est supposée la même suivant toutes les directions et pour tous les points de la surface du globe, l'enceinte stellaire devra être considérée comme ayant partout la même température; quelles que soient sa figure et les différentes matières des étoiles dont elle est formée, si l'on fait toujours abstraction du pouvoir absorbant de l'éther, un thermomètre placé en un lieu quelconque de l'espace borné par cette enceinte, marquera partout la température s, d'après ce

DE LA CIIALliLR. 437

qu'on a vu dans le chapitre H ; et quel que soit aussi l'élat calorifique de la terre à une époque déterminée, elle prendra, au bout d'un temps convenable, cette même température qui s'ajoutera, dans toute sa masse, à celle que produit la clialeur solnire, et dont nous déterminerons les lois par la suite. Mais l'hypothèse d'une valeur de s qui soit égale pour toutes les régions du ciel, paraîtra hors de toute vraisemblance, si l'on observe que les étoiles doivent avoir une chaleur propre, enti'etenue par des causes particulières, comme celle du soleil , et qui ne tend pas à 1 égalité par l'efl'et de leur rajonuement mutuel. 11 ne semble pas non plus qu'on puisse supposer l'éther entièrement dénué de la faculté d'absorber la chaleur; car si cela était, la temptirature en chaque point de l'espace, provenant delà chaleur stellaire, serait extrêmement élevée et comparable à celle du soleil, à moins que le nombre des étoiles incandescentes ne fût extrêmement petit par rapport à celui des étoiles opaques. Or, soit à cause de l'inégalité probable des valeurs de j qui répondent à deux directions différentes OE et OE', soit parce que la chaleur stellaire sera venue, suivant ces deux directions, d'étoiles inégalement éloignées de la terre, et aura, par conséquent, éprouvé des absorptions différentes en traversant l'éther, on est conduit à supposer que la quantité de chaleur stellaire qui parvient à la terre dans une direction déterminée, varie avec cette direction, suivant une loi qui est, à la vérité, tout-à-fait inconnue. On expliquera plus loin comment cette variation pourrait être vérifiée par des expériences directes.

En admettant donc cette hypothèse, il en résultera qu'un thermomètre transporté successivement en dilVérens lieux de l'espace, marquera des températures qui pourront être très inégales. La température qu'il indiquera en chaque point sera celle de l'espace en ce point. Pour qu'elle change sensiblement d'un point à un autre, il faudra, vu les excessives dimensions de l'enceinte stellaire, qu'ils soient séparés l'un de l'autre par une immense distance. Ainsi , les distances des étoiles à la tei're étant extrêmement grandes, eu égard même au diamètre de l'orbite de la terre, il s'ensuit que pendant sa révolution autour du soleil, la terre se meut dans un espace dont la température est partout la même, ou sans aucune différence appréciable; en sorte que la chaleur stellaire ne peut donner lieu à aucune inégalité annuelle dans la tem-

pérature du globe. Mais il n'en est plus de même lorsque l'on considère le mouvement de notre système planétaire dans l'espace : pendant ce mouvement, la terre s'approche de certaines étoiles, s'éloigne des autres, et se trouve en communication calorifique avec de nouveaux astres , soit à cause de leurs propres déplacemens , soit à raison du mouvement de notre système; sur la route que suit la terre, la température de l'espace peut être très différente en des points séparés par de grandes distances, et auxquels la terre ne parvient qu'après de longs intervalles de temps.

Cela posé , concevons que la terre , dans ce mouvement , soit restée assez long-temps dans une partie de l'espace pour qu'elle en ait pris la température dans toute sa masse. Si elle passe ensuite dans une autre région dont la température soit moins élevée, elle se refroidira, et jusqu'à ce que sa masse entière ait atteint cette nouvelle température, la sienne croîtra de la surface au centre. Le contraire aura lieu lorsqu'elle passera dans une région dont la température sera plus élevée que celle qu'elle avait prise d'abord; mais si des températures de l'espace, alternativement plus basses et plus hautes, se succèdent à des intervalles de temps qui ne soient pas assez grands pour que la masse entière du globe puisse prendre chaque nouvelle température, il en résultera des accroissemens ou des décroissemens plus ou moins rapides de la température, et qui ne s'étendront que jusqu'à une certaine distance de la surface. Or, ces considérations fournissent une explication très naturelle et très simple de l'accroissement de température que l'on observe actuellement à toutes les profondeurs accessibles : il résulterait donc de ce que la terre , par suite du mouvement de notre système planétaire, se trouve maintenant dans une partie de l'espace dont la température est moins élevée que celle de la région où elle se trouvait à une époque antérieure; le globe terrestre pourrait alors être comparé à un corps d'un très grand volume, que l'on aurait transporté de l'équateur vers le pôle, dans un temps trop court pour qu'il eût pu se refroidir entièrement, et qui présenterait , en conséquence, un accroissement de température en s'éloignant de sa surface , qui ne s'étendrait pas jusqu'à ses couches centrales. Ainsi, l'augmentation de la température moyenne sur chaque verticale, à mesure que Ion s'éloigne de la surface, peut s'expliquer,

corunie nous l'avons dit plus haut, sans recourir à l'hypothèse d'une chaleur propre du globe, provenant de son clat initial, et encore sensible près de sa superficie; hypothèse qui entraînerait la conséquence d'une température intérieure tout-à-fait invraisemblable, par son excessive élévation, et à laquelle on ne serait forcé d'avoir recours que s'il était impossible de rendre compte du phénomène d'aucune autre manière.

(197). Les variations de la température de l'espace sur la route de la terre dans le mouvement du système planétaire, nous sont absolument inconnues ; elles peuvent s'élever h de grands nombres de degrés, en plus ou en moins; et nous savons seulement que la température de la partie de l'espace où la terre se trouve par suite de ce mouvement, ne peut augmenter ou diminuer sensiblement qu'après de longues suites de siècles. Néanmoins^ afin de montrer, avec plus de précision, leur influence sur la température de la terre, je prendrai un exemple toul-à-fait arbitraire, et je supposerai qu'en vertu de ces variations de la température de l'espace, la valeur de ^ renferme un terme périodique, pour lequel je prendrai le second terme Acos(m^H-e) de la formule (5).

Pour fixer les idées, supposons qu'à raison de ce terme la température extérieure ^ diminue depuis -f- 100° jusqu'à — 100°, et augmente ensuite depuis — 100° jusqu'à -f-ioo°, en un million d'années; en sorte que son oscillation totale, provenant d'une pareille variation dans la température de l'espace, soit de aoo° dans cet intervalle de temps. En désignant par t la valeur de t qui répond à l'époque du maximum positif de cette inégalité séculaire, on fera doxic

A = 1 00°, e = — niT , }n =

et si l'on représente par u^ , la partie de la température 11 du point M, relative à cette inégalité, c'est-à-dire, la valeur correspondante du second terme de la formule (4) , nous aurons

\\ 1000. abj L i 000000 looo.aj („%

+ V^sinrH^-=I^^^^1}, 1000. ûo |«oooooo 1000. a— IJ

u^ = ioo°.e

44o THÉORIE MATHÉMATIQUE

en observant que l'on a, à très peu près,

b cos ^ \/sr 6 sin <^ y/^

D 1000. aè' D looo.ab'

Tant que la profondeur x sera très petite par rapport à la constante - — 7^ dont la valeur est d'environ 5ooo mètres, d'après celle de a que l'on a citée précédemment , savoir

on pourra développer l'exponentielle et les sinus et cosinus que ren-

ferme la formule (7), suivant les puissances de la fraction *^ ' -

d'où il résultera , à très peu près ,

u, = 100° cos

en sorte qu'il y aura, près de la surface de la terre, un accroissement ou un déci'oissement de température proportionnel à la profondeur a-, selon que la quantité comprise entre les crochets dans cette expression de u^sera positive ou négative. Si, par exemple, l'inégalité de la température extérieure est parvenue maintenant à son maximum négatif, c'est-à-dire , si l'on suppose que l'on ait actuellement

il en résultera

„^=..oo°+rQ+x)^,

et , par conséquent, un accroissement de température d'un degré pour un nombre de mètres égal à — '—, ou de o°,0275 par chaque mètre de

profondeur; ce qui serait peu différent de l'accroissement que l'on

observe à Paris. Mais quand la distance x aura cessé d'être très petite

par rapport a -— ^, 1 accroissement de température cessera aussi d être

pioportiotmel à x, et la valeur de u^ devra être calculée au moyen de la formule (7).

En y mettant pour t sa valeur précédente , elle se réduira à

u, = — ioo°.e~ '"""•" cos-^^.

Le mcucinium de cette quantité répondra à

et aura pour valeur

1000. fi 4

TT

de sorte qu'il ^excédera d'à peu près 107° la valeur "^ = — 100° qui répond à la surface. La profondeur à laquelle il aura lieu, sera

au-delà d'une distance à la surface d'à peu près 7000 mètres, la valeur de Uj décroîtra donc continuellement; et à une profondeur d'environ 60000 mètres, par exemple, elle se réduira à moins d'un centième de degré ; ce qui fait voir qu'à cette profondeur, qui n'est pas encore un centième du rayon de la terre, l'inégalité de la température de l'espace que nous avons supposée, n'influerait plus sensiblement sur la température intérieure.

Si l'on fait x = o dans la formule (7) , on aura la valeur de u^ relative à la surface et à une époque quelconque de cette inégalité. Faisons ensuite, successivement,

t = T, ^ = T -f- 5ooooo;

les valeurs correspondantes de u^ seront

' lo.ao ' ' ' 10. ab

par conséquent, si l'on suppose, comme plus haut, que la seconde valeur de t réponde à l'époque actuelle, il en résultera que Sooooo ans

auparavant, la température de la surface surpassait de 200° ^^ ,

.ioud'à peu près 200°, celle qui a lieu maintenant; ce qui rendait la terre inhabitable. Mais en prenant

, t ■= T H- Sooooo d= Soooo,

et en conservant seulement, pour abréger, le premier terme de la valeur de u^ , on aura

M^ = — 100''. cos 18° = — 95° ;

d'où il résulte que 5oooo ans avant et 5oooo ans après l'époque actuelle, la température de la surface n'excéderait celle qui a lieu aujourd'hui que d'environ 5°j différence qui n'empêcherait pas l'espèce humaine de pouvoir exister sur la terre.

En général, pour que l'inégalité de la température de l'espace sur la route de la terre puisse produire à une époque déterminée , comme celle oii nous vivons, un accroissement ou un décroissement sensible de la température moyenne du globe , près de la surface , il est nécessai»]e /qu'à des époques séparées de celles-là par des milliers de siècles, la température de la surface ait été très supérieure ou très inférieure à celle que l'on observe à cette même époque.

(198). L'inégalité des quantités de chaleur stellaire que la terre reçoit à chaque instant des diÛerentes parties du ciel, pourra être rendue sensible par l'expérience que nous allons indiquer.

Pendant une belle nuit, où l'air est calme, le ciel serein et l'atmospbèrevsans nuages, supposons qu'un miroir concave POQ(fig. 1 5) soit placé un .««eu au-dessus de la surface de la terre. Soient F son foyer, et OFE son axe indéfiniment prolongé. Le point 0 est fixe; le miroir peut tourner en tous sens autour de ce point, de sorte que son axe puisse être dirigé successivement vers toutes les régions du ciel au-dessus de l'horizon ; un thermomètre très sensible est placé au foyer F. Afin de simplifier la question, nous supposerons les bords du miroir assez élevés pour interrompre la communication calorifique du thermoniëtre avec la surface de la terre ; nous supposerons aussi qu'on î^it placé à une petite distance du foyer, un corps concave G qui interrompe également la conmiunication directe de l'instrument avec les a?

étoiles et avec l'atmosphère, mais dont l'étendue soit assez petite pour diminuer le moins possible, la quantité de chaleur stellaire et atmosphérique qui viendra tomber sur la surface du miroir ; on supposera enfin le pouvoir émissif du miroir à peu près nul, et conséquemment , sa réflexibilité parfaite.

Le miroir renverra donc au thermomètre , sans y rien ajouter, toute la chaleur rayonnante qui viendra tomber sur une partie de sa surface, parallèlement à son axeOFE ; or, si l'on conçoit un cône qui ait son sommet au point F et la circonférence de sa base sur la surface du miroir, et qui comprenne tous les rayons réfléchis vers ce point; puis un cylindre indéfiniment prolongé vers le ciel, ayant même base que le cône et pour axe la droite OFE, il est évident que toute la chaleur réfléchie proviendra de la colonne atmosphérique et de la portion du ciel comprise dans ce cylindre ; en sorte qu'il y auia , par l'intermédiaire du miroir, échange continuel de chaleur, soit entre le thermomètre et toutes les molécules qui font partie de cette colonne , soit entre cet instrument et les étoiles qui appartiennentà celte petite portion du ciel. En vertu de cet échange de chaleur, la température marquée par le thermomètre focal variera avec le temps; je la désignerai par f au bout du temps quelconque t; et pendant l'instant c?<, l'augmentation de chaleur de ce corps d'un très petit volume, qui résultera de l'échange dont il s'agit , pourra être exprimé par

a (<7 — i>)dt -h ë(s — i>)dt ,

d'après ce qu'on a vu dans le n° 36. On représente ici par q une certaine température dépendante de celles de toutes les molécules d'air comprises dans la colonne atmosphérique, et qu'on peut regarder comme une moyenne de ces températures inégales; par a. une quantité qui dépendra du nombre de ces molécules, de leurs densités, de leurs pouvoirs émisslfs, et de l'absorption que la chaleur aura éprouvée en allant de chaque molécule au thermomètre; par s la température stellaire, correspondante à la dii'cction OE (n° 196); par S une quantité dépendante de l'absorption de la chaleur, soit dans réther,soil dans toute la longueur de la colonne atmosphérique; les deux coeflSciens a et ê sont, en outre, proportionnels au pouvoir absorbant du thermomètre d'après l'état de sa superficie , et à l'étendue de la surface ré-

fléchissante ou au carré de la distance focale OF ; on les regardera

comme indépendans des températures.

Si l'on désigne par » la température de l'air en contact avec le thermomètre , ce corps éprouvera aussi pendant l'instant dt , une diminution de chaleur exprimée par le produit ^(f — n)dt , dont le facteur y est proporlioimel à l'étendue de sa surface et au pouvoir refroidissant du fluide. L'augmentation de chaleur , positive ou négative, qu'éprouvera le thermomètre pendant cet instant dt , sera donc

a. (q — i>)dt-{- C(s — i>) dt — y(i> — yi)dt}

quantité qu'il faudra égaler à zéro, pour déterminer la température finale à laquelle l'instrument parviendra plus ou moins rapidement, et que nous désignerons par u; par conséquent, nous aurons

Les deux quantités y et n ne changeront pas avec la direction de l'axe OE. Si l'on fait tourner cette droite autour de la verticale Oz, sans que l'angle EOz varie, la longueur et la constitution de la colonne atmosphérique dont cette droite OE est l'axe, resteront les mémesj et, conséquemment, les trois quantités a, €, q , ne varieront pas non plus. Mais si la température s vai'ie sensiblement avec la direction de la droite OE à laquelle elle répond, la température m variera également; de sorte que si l'on représente par u' et s' ce que it et s deviennent pour une seconde direction de OE, qui fait le même angle que la première avec la verticale , on aura

/ »q -r Ss -\- yv)

et de cette équation, jointe à la précédente, on déduira

Toutes choses d'ailleurs égales, les différences / — i' et ii! — u seront donc proportionnelles l'une à l'autre; la première surpassera toujours la seconde; et si la seconde est sensible, on en conclura, avec certitude, que la température stellaire^ n'est pas égale dans toutes les régions du ciel. Telle est donc l'expérience que je propose pour

décider cette question dont on a vu toute l'importance dans la théorie des températures de la terre. C'est aux physiciens à juger si elle est praticable, et quel succès on en peut espérer. Ou pourrait remplacer le thermomètre placé au foyer du miroir par l'instrument beaucoup plus sensible, dont M. Melloui a fait usage dans SCS belles expériences sur la transmission de la chaleur rayonnante à travers différentes matières, diaphanes ou opaques (*).

(199). Cette expérience est, au reste, tout-à-fait analogue à celle que l'on a déjà tentée pour rendre sensible l'échange de chaleur rayonnante entre la terre et l'atmosphère, et l'iiiégalité du rayonnement des diverses colonnes atmosphériques, à raison de leur diflérence de longueur.

Supposons, en effet, que l'on change l'angle EOr que fait l'axe OE du miroir avec la verticale 0;; les températures 11, q, s, et les coefïiciens a et ^ changeront aussi; et si l'on désigne par u^,q^, s^, a , ê^, ce que deviennent ces cinq quantités, on aura

Dans Texpérience que nous rappelons, on emploie un très fort miroir concave, dont la distance focale OF est fort grande par rapport au rayon du thermomètre ; ce qui permet de négliger y dans u et u^, relativement à a et ê, ou à a^ et 6^^; on suppose aussi implicitement que le rapport de Q^ à a^ reste le même que celui de é" à a; au moyen de quoi l'on a plus simplement

u =. é'q + {i ^ cT)*, «, = ^q, + (1 — é')s,, en faisant, pour abréger,

•=cr.

Mais nous ignorons si cette fraction S diffère peu de l'unité; nous

(*) Depuis l'impression du n° i5 de cet ouvrage, où sont mentionnées les premières recherches de M. Melloni, l'auteur les a continuées et a été conduit à de nouveaux résultats, non moins intéressans que ceux qu'il avait d'abord obtenus. L'ensemble de ses travaux a été l'objet d'un excellent rapport que M. Eiot a fait i. l'Académie , et que l'on trouvera en note à la fin de cet ouvrage.

ne savons pas non plus si les températures ^ et ^, , dont les grandeurs absolues nous sont inconnues, peuvent être négligées par rapport à 7 et ^,; par conséquent, les équations précédentes ne sauraient faire connaître les valeurs de cj et cj^ , d'après les températures observées u et u^. Toutefois, en ne négligeant pas ^ et i^ , mais en faisant seulement abstraction de la différence s^ — s , on aura

ce qui montre que les deux quantités q^ — ly et u^ — u seront de même signe et proportionnelles l'une à l'autre.

D'après les températures moyennes que q et q^ représentent , il est aisé de concevoir que la différence q^ — q sera positive et atteindra son inaocimum relativement à toutes les directions de la droite OE, lorsque la direction à laquelle répond g^ sera horizontale, et qu'au contraire q répondra à la direction verticale. Dans ce cas, la différence u^ — u donnée par l'observation, doit donc être aussi positive et la plus grande possible. L'expérience fait voir, effectivement, que la température marquée par le thermomètre focal s'élève quand l'axe du miroir passe de la verticale à une direction horizontale; et il paraît qu'alors la différence u^ — 11 des deux températures est assez grande pour être facilement mesui'ée.On attribue à WoUaston cette observation intéressante, qui mériterait bien d'être répétée.

L'expérience fait aussi voir que la température u , correspondante à la direction verticale de l'axe du miroir, est notablement inférieure à celle qui est marquée dans le même lieu et au même instant par un autre thermomètre exposé au rajonnemeut de la terre et de l'atmosphère entière ; de sorte que la température u s'élève quelquefois de plusieurs degrés , dès qu'on supprime le miroir POQ et le corps G; ce qui tient à ce que la température de la terre, même pendant la nuit, et la température moyenne de toute l'atmosphère, sont l'une et l'autre supérieure, à la température moyenne de la colonne d'air verticale.

(200). En admettant l'inégalité de température des différentes régions du ciel , il en résulte que la quantité de chaleur stellaire qui tombe à chaque instant, suivant toutes les directions, sur un élément de la sui-face du globe, change avec cet élément, et qu'en im même lieu elle change aussi avec l'heure de la journée.

Ainsi, en menant par le point 0 (fig. 14), un plan tangent à la surface de la terre , on voit que l'élément qui répond à ce point ne recevra de chaleur stellaire que des étoiles situées d'un seul côté de ce plan indéfiniment prolongé. La partie du ciel avec laquelle cet élément sera en communication calorifique et la quantité de chaleur qu'il en recevra , changeront donc aux différentes heures du jour sidéral, pour redevenir les mêmes au bout de chaque intervalle de temps égal à un jour entier; par conséquent, il en résultera une inégalité diurne dans la température de la terre près de sa surface; son amplitude, comme celle de toute autre inégalité diurne, décroîtra très rapidement à partir du point 0 sur la verticale Ojc; mais, de plus, si la température stellaire passe un assez grand nombre de fois, ce qui paraît vraisemblable, au dessus et au-dessous de sa valeur moyenne pendant la durée du jour entier, l'amplitude des inégalités diurnes à la surface même sera très afî'aiblie par ces alternatives (n° igS); par conséquent, la différence de température des diverses régions du ciel, qui ne peut déjà donner lieu à aucune inégalité annuelle dans les températures de la terre, n'y produira non plus que de très faibles inégalités diurnes, dont on pourra faire abstraction.

Deux élémens de la surface du globe, situés sur un même parallèle, recevront des quantités égales de chaleur stellaire pendant la durée entière d'un jour sidéral; mais il n'en sera plus de même pour deux élémens qui répondront à des latitudes différentes, et, particulièrement , quand l'une sera australe et l'autre boréale. Une partie des étoiles qui enverront de la chaleur à l'un des deux élémens, n'en enverront jamais à l'autre; ce qui aura lieu, par exemple, pour toutes les étoiles à l'égard des élémens situés aux deux pôles. Il suit de là que les quantités de chaleur stellaire reçues pendant chaque jour sidéral , par les surfaces entières des deux hémisphères, pourront être différentes l'une de l'autre ; le cas de leur égalité serait même tout- à -fait invraisemblable; et de leur difîérence , il résultera que les températures moyennes des deux hémisphères devront être inégales, toutes choses d'ailleurs égales.

On suppose, en général, la température moyenne de l'hémis-

phère austral inférieure à celle de notre hémisphère; la différence pourrait donc provenir, en partie, de ce que le premier hémisphère recevrait moins de chaleur stellaire que le second. Ces deux parties du globe reçoivent pendant chaque année des quantités à peu près équivalentes de chaleur solaire; mais elles n'absorbent pas cette chaleur en même proportion, à cause de la nature dilTérenle de leurs surfaces, résultant de ce que la partie recouverte des eaux de la mer est plus grande au-delà de l'équateur que de notre côté; et par la même raison , le pouvoir i-ayonnant n'est pas non plus le même pour les deux hémisphères. Cette difTérence de l'état de leurs superficies, peut aussi contribuer à l'inégalité de leurs températures moyennes; car on sait qu'en général , les corps exposés aux rayons du soleil s'échauff'ent inégalement , quand leurs surfaces ne sont pas de la même iiature. Nous reviendrons sur ce point dans la suite.

(20 ij. Après tous ces détails sur la chaleur stellaire, nous devrions maintenant nous occuper de la seconde source de chaleur d'où dépend la température extérieure , c'est-à-dire, de la chaleur atmosphérique (n" igS); mais auparavant, il est nécessaire de considérer la température marquée par un thermomètre exposé à l'air libre et situé dans l'atmosphère, à une hauteur quelconque audessus de la surface de la terre.

On supposera que la boule du thermomètre soit une sphère d'un très petit rayon , que l'on représentera par s. Ce petit corps prendra à chaque instant la jnême température dans toute sa masse ; au bout du temps/ , on désignera par i> cette température variable. On supposera aussi que sa surface soit partout dans le même état. La couche d'air en contact avec cette surface, conservera, en se renouvelant sans cesse, une température constante qui sera désignée par », comme plus haut. La quantité de chaleur enlevée par cet air au thermomètre pendant l'instant dt, aura alors ^^i'y (v — yi)dt pour expression ; y étant la mesure du pouvoir refroidissant de ce fluide.

Soit T(fig. 16) le centre de cette boule; de ce point T, abaissons une perpendiculaire sur la surface AOB de la terre, qui la rencontre en 0; et faisons TO = h. Appelons / le rayon CO de la terre. La hauteur h sera toujours très petite par rappoit à /; mais

011 supposera que ccKc élévation du tlicrniomctre soit aussi toujours 1res grande par rapport à son rayon s ; eu sorte que l'iustrunient ne sera ni en contact avec la surface de la terre, ni même à une hauteur h de quelques millimètres, si le rayon ê est, par exemple, d'un millimètre.

Concevons un cùnc tangent à la fois à la surface de la terre et h celle du thermomètre, qui aura son sommet D au-dessus du point T sur le prolongement de la verticale OT, et qui sera représenté par ADB dans la figure. Soit K un point de l'atmosphère, situé en dehors de ADB, à ime distance du point T assez grande par rapport à s pour que Ion puisse regarder à très peu près comme un cylindre, le cône tangent à la surface du thermomètre et qui aurait son sommet au point K. On pourra en même temps considérer la portion de cette surface comprise dans ce cône, comme étant aussi à très peu près égale à la moitié de la surface entière, ou à 27ré'. Il y aura échange continuel de chaleur entre cet hémisphère et la portion d'atmosphère, de grandeur insensible, qui répond au point K; et de cet échange, il résultera pour le thermomètre une augmentation de chaleur pendant l'iuslaut dt , que l'on pourra représenter par le produit '27T-.'Q7 P(t' — 1\) dt , en désignant parc le volume de la petite portion d'air que l'on considère, par H sa température, par P une quantité dépendante de sa densité, de son pouvoir émissif et de l'absorption que la chaleur éprouve dans le trajet de K à cet instrument, enfin par Q une constante donnée, dont la valeur est proportionnelle au pouvoir absorbant de sa surface. Donc en représentant par STTi'CEdt , l'augmentalion totale de chaleur du thermomètre, provenant de l'échange avec toutes les molécules de l'atmosphère, la valeur de E sera donnée par l'intégrale de la quantité ffP (v — n), où l'on remplacera (7 par l'élément difl'érentiel du volume, et que l'on étendra à fous Its points K situés en dehors du cône ADB, en négligeant pour phis de simplicité, la portion d'air comprise entre AOB et l'instrument, qui est toujours très petite par rapport à la partie supérieure à ADB. Si l'on désigne par r le rayon vecteur TK du point K, par 6 l'angle zTK qu'il fait avec Is vcrticflc Tz, et j rr -^ l'rrtjlc ccnipiif entre le

45o THÉORIE MATHÉMATIQUE

plan de ces deux droites et un plan fixe mené par la seconde , on

aura