DÉSIGNATION DES DIVERSES COMBIN.USONS
lAmat., 7Amat.
i^soir, ^^soir.
2'i mat., a'' soir.
8'* mat., 8A soir
SA mat., SAsoir.
r)hm3t., s'isoir.
4''mat., 4*soir.
lo'imat.jioAsoir.
S^mat,, S^soir.
îi^mat.,! lAsoir.
6^1 mat,, midi.
6^1 soir, initjuit.
i5 janv. 1828 17 juillet id.. .
i5 janv. 1829.
Moy. pour 3 jo.
— o",io
Ce tableau suffit pour mettre hors de doute le résultat que M. de Freyciaet a conclu de ses propres observations; mais l'auteur a vérifié qu'il se déduit aussi des observations faites au fort de Leith , en Ecosse, pendant tout le cours de deux années, et que M. Brewster a publiées (*).
(206). On connaît la valeur de V dans un grand nombre de lieux, mais sans doute moins exactement qu'à Paris. Elle décroît généralement à mesure que l'on s'éloigne de l'équateur, et quand on s'élève au-dessus du niveau des mers. A ce niveau et à l'équateur, M. de Humboldt l'a trouvée égale à 2']", 5; d'après les observations de M. Scoresbi , elle est de — 8°,33 à la latitude boréale de 78°, la plus haute à laquelle la valeur de V ait été déterminée. Entre ces limites 27°,5 et — S^SS, cette température climatérique V varie en outre avec la longitude ; en sorte que les lignes d'égale chaleur à la surface du globe ne sont pas parallèles à l'équateur (**). Sa valeur décroît aussi dans les deux hémisphères , et avec moins de rapidité dans le nôtre que de l'autre côté de l'équateur.
T. Mayer a essayé le premier d'exprimer la valeur de V par une formule empirique ; en désignant par Q la latitude , et exprimant la température en degrés du thermomètre de Farenheit, cette formule est
V = 58° 4- 26° cos 26.
A l'équateur, on aurait V = 84°> ou à très peu près 29° centigrades; ce qui excède d'un degré et demi la température équatoriale qu'on vient de citer. Au pôle, on aurait V = Sa"; ce qui répond au zéro de notre thermomètre. Partout ailleurs la température V serait au-dessus de ce zéro , ou de celle de la glace fondante ; conséquence qui suffit pour rendre la formule de Mayer inadmissible. . M. Brewster a donné, pour exprimer la valeur de V, plusieurs formules qui se rapportent à différentes régions du globe (***), et dont
(*) Transaciions pJiilosophiques d' Edimbourg , tome X, 1" partie.
(**) On peut consulter sur ce point les ouvrages de M. de Humboldt , et particulièrement son Mémoire sur les lignes isothermes, insère dans le tome III de la Société d'Arcueil.
(***) Transactions pjuloso^hi^ues^ d'Edimbourg , tome IX^ 2' partie.
-t"DE LA CHALEUR. 467
chacune contient seulement la latitude 9. L'une de ces formules est
V = (8i°,5o)cosâ,
en employant toujours les degre's du thermomètre de Farenheit. A la latitude 6 = 48°5o'i5* de l'Observatoire de Paris, elle donne V = i2'',022 en degrés centigrades ; ce qui excède de plus d'un degré la véritable valeur lO^jSaa de V. Néanmoins cette formule s'accorde généralement beaucoup mieux que la précédente avec l'observation, surtout dans les hautes latitudes : pour 6= 78°, elle ne diffère pas sensiblement de l'observation; si elle s'étendait jusqu'au pôle, on aurait en ce point V=o, et il serait singulier que Farenheit eût pris pour le zéro de l'échelle de son thermomètre, précisément la température la plus basse de notre hémisphère : en degrés dé notre thermomètre, la température au pôle boréal serait — i7%78.
(207). 11 paraît qu'en chaque lieu, la valeur de V diffère peu de la température moyenne de la surface de la terre. Ainsi, à Genève on a, d'après une longue suite d'observations, V = 9%75; et nous avons trouvé que la température moyenne de la surface du sol devait être un peu moindre que 10°, 14 (n° 189). A Lille, cette température est de 10°, 70 (n° 190); la valeur de V en cette ville ne m'est pas connue; mais sa latitude étant 5o°37', si l'on prend pour cette valeur, celle que donne la formule de M. Brewster, on a V = 1 1°. A Paris , la température des caves de l'Observatoire, à une profondeur de 28 mètres, est de 1 1°,854; l'accroissement de température paraît être de o"',028i par mètre (n° 187); si donc on retranche 28(00,0281) de ïi%834, le reste ne devra excéder que d'une très petite quantité la température moyenne de la surface (n° i85) ; et l'on voit que ce rei5te.ji'',p47, 4ififw effectivement très peu de V ::= io'',822. ;j •.. r rrîr.'bf^rrr^'-
Ce peu de différence qui existe entre les valeurs moyennes de la température marquée par un thermomètre suspendu dans l'air libre et celle de la surface du sol , est d'autant plus remarquable , que souvent la température variable de la terre, observée aussi près qu'il est possible de sa surface et qu'on peut prendre pour celle de cette surface même, excède de beaucoup la température marquée au même instant par un thermomètre très peu élevé au-dessus de cette surface, et a
plus forte raison la températare que l'on observe à une hauteur de quelques mètres, dont V est la valeur moyenne.
Voici des observations qui m'ont e'té communiquées par M. Arago, qui mettent en évidence cet excès de l'une des températures variables sur l'autre.
Le 10 août 1826, à trois heures et demie de l'après-midi, ciel serehi.
Thermomètre légèrement couvert de sable de rivière 4^"
Thermomètre légèrement couvert de terre végétale, .li.- ..■.'- 54 Thermomètre exposé au soleil , à o"',5 de hauteur. . . . ;/.;>.';!. .'.' 87 ,5
Le 2 septembre 1827 , à deux heures de l'après-midi, ciel serein.
Thermomètre enterré de ©""jOoa 4^°>3
Thermomètre à l'ombre, à o"',o4 de hauteur.. 3o
(208). Ce qui précède renferme tout ce que nous pouvons dire de général sur la température rt , qui est celle de l'air , sur la température U distincte de » et que marque un thermomètre exposé à l'air , et sur la moyenne annuelle V des valeurs de U ; nous allons actuellement considérer l'échange de chaleur rayonnante entre la terre et l'atmosphère, y compris l'enceinte stellaire fermée de toutes parts , où la terre est contenue et dont nous avons déjà examiné l'effet. Le résultat de cet échange de chaleur pourrait se déduire des formules générales du chapitre II; mais il sera bon de le déterminer spécialement pour le cas dont il s'agit. l^'/fnq î>-u;Ji;i'jqfn;jl af) Jiiacfi'j'^.ioooi;! ;|\ccv;''j ; ^b fa ,
< Appelons co l'élément de la surface delà terre qui répond au point 0 (fig. i4). Sur la droite OE menée par ce point et à la distance quelconque rde ce même point, désignons par f la densité de l'air, par j- sa température et par q la mesure de son pouvoir absorbant, qui ont lieu au bout du temps t ; la mesure de son pouvoir émissifsera </F/, en indiquant par F la même fonction que dans le n" i5; par conséquent si l'on représente par v le volume d'une partie de l'atmosphère d'une grandeur insensible, située sur cette droite OE et à cette distance r du point O, sa masse sera f/5, et la quantité de chaleur qu'elle émet en tous sens pendant l'instant dt aura pour expression vpqFjdt. Concevons un cône ayant son sommet en un point de v, et qui soit
circonscrit à 1 élément a. Son ouverture sera j — - , en désignant par 9
l'angle aigu EOz, compris entre la droite OE et la verticale extérieure Oz; abstraction faite de l'absorption de la chaleur qui a lieu dans l'atmosphère, la portion de la chaleur i'fqYju/t qui parviendrait à l'élément i4) serait donc le produit -^ — —,i>fçFjdt. Imaginons un second
cône extrêmement aigu comme le premier, qui ait son sommet au point 0, pour axe la droite OE, et dont l'ouverture soit représentée par (7 ; en prenant pour v une tranche extrêmement mince de ce second cône, perpendiculaire à son axe, et désignant par s son épaisseur, on aura (■ = 4^/''jï; au moyen de quoi la quantité précédente deviendra
<7eû)C0sG./^F/c/^.
Je représente par le produit av cos 9 .Rdt , la quantité de chaleur provenant de l'enceinte stellaire, de la partie du second cône située au-delà de la tranche fv , et de cette tranche même, qui traverserait pendant l'instant dt sa face la plus voisine du point 0, et qui atteindrait ensuite l'élément co , si l'on n'avait point égard à l'absorption atmosphérique entre cette même face et o) ; de manière que si 1 on n'avait pas non plus égard à l'absorption qui a lieu dans l'autre partie du cône, le facteur inconnuR serait égalàla somme des valeurs de ifq^J, étendue à toute cette même partie du cône, et augmentée de la quantité de chaleur stellaire, rapportée aux unités de temps et de surface, qui parvient à l'extrémité de latmosphère suivant la direction EO. ■ Pour déterminer la vraie valeur de R , je désignerai par R' ce que devient R à la face de la tranche f i' la plus éloignée de 0. L'excès de R'û)i7 cos Qdt sur Kco7cos,^dt se composera évidemment de la portion de chaleur absorbée par fv, dont on retranchera la chiiieur provenant de cette tranche; mais d'après le n" i3, cette portion de chaleur absorbée sera égale au produit de p-q et de R'gjtcosO^/, on aura donc
R'oTcos ^dt — Ka>acosB dt = K'feqoi)7cos^dt — fiqM^cos^.Fjdt.
Or, en observant que R' est ce que devient R quand on y met / + € au lieu de r, développant suivant la puissance de j et négligeant son carré, on a
si donc on supprime les facteurs communs, l'équation pre'cédente se
réduira à
Son intégrale complète est
D étant la constante arbitraire, e la base des logarithmes népériens, et les deux intégi'ales ffqdr commençant à une valeur de r que l'on peut choisir à volonté. Je désignerai par h la longueur de la colonne atmosphérique suivant la direction OE, et je fais commencer ces deux intégrales à /' = h; je suppose en outre que la troisième intégrale contenue dans R soit aussi nulle pourr = A, ce qui est permis à cause de la constante arbitraire D. Cette constante sera alors la valeur de R relative à r = /z; or, si l'on représente par s la température de la partie du ciel qui répond à la direction OE , ou plutôt cette température modifiée par l'absorption de la chaleur qui peut avoir eu lieu dans l'éther, la quantité de chaleur stellaire qui parvient suivant cette direction à l'extrémité de l'atmosphère , et qui atteindrait l'élément w pendant l'instant dt sans l'absorption atmosphérique, aura pour expression le produit cù(7co?,^.Ysdt ; la fonction Fs sera donc cette valeur de R qui doit être celle de D ; et il en résultera
pour une valeur quelconque de r; ce qui s'accorde avec les formules du n" 35.
Maintenant, soit H la valeur de R qui répond àr = o, on aura
et le produit wcr cos^.lldt exprimera la somme des quantités de chaleur atmosphérique et stellaire qui tombent pendant l'instant di sur l'élément a , suivant la direction EO. On peut remplacer l'intégrale
ffqdr, qui commence a r=h, par la différence /f^t/r — / fqdr,
en supposant qae/pqdr commence actuellement à r=o; pourvu que
l'on change les signes des deux autres intégrales, on pexit aussi intervertir l'ordre de leurs limites; et de celte manière, la valeur de H prendra la forme
H = Ys.e'J" ''" +jy--^"'-"fqbydr. (9)
Cela posé, je de'signe, comme dans le n" iG3 , par a. la fraction de la chaleur incidente , suivant la direction EO , qui traverse 1 élément ct>, et par QcDclt la quantité totale de chaleur incidente qui travei"se cet élément suivant toutes les directions. Pour déterminer Q, je décris du point 0 comme centre, et d'un rayon égal à Tunité, une surface hémisphérique au-dessus du plan tangent en 0; son élément différentiel aura pour expression sin6^W4> 6" appelant -x), l'angle que fait le plan de OE et de O2 avec un plan (ixe mené par Os; si l'on considère comme infiniment petite l'ouverture conique cr , on aura donc
sin fl^âtfw
et en substituant cette valeur de cr dans l'expression aa;0"cos 9. Hf/^ de la chaleur incidente et absorbée suivant la direction quelconque OE, intégrant ensuite par rapport à 6 et 4 > ^^ étendant l'intégrale à tous les élémens de la surface hémisphérique, c'est-à-dire depuis G = o et -vj/sso jusqu'à â = ^tt et '^ = 27r , on aura la valeur de Qaxit; d'où il résultera
Q = -, r^'r^'aHcosâsinG^ôrf^.
Soit aussi, comme dans le numéro cité, ^ la température égale eu tous les points d'une enceinte fermée , et telle que cette enceinte enverrait dans le vide à l'élément a ime quantité de chaleur équivalente à celle qu'il reçoit effectivement ; l'équation de ce numéro , qui devra servir à déterminer ^ , sera alors
^ f "' T" aH cos ô sin ÔrfW^ = F> T^ a cos 9 si n m ;
et si l'on y substitue la formule (g) au lieu de H, elle deviendra
-fj'pgdr
F^r^^cosâsinô^e = ^/ '"A*"' e ^ " '''"'aYscos^sm^y^
J o J o J o (lO)
+ i /n' t: ^pJe-^''^'a^qYy cos 6 sin S^r^rf^..
(209). La fonction F renferme une quantité C indépendante de la température et que rien ne pourrait déterminer (n° 26) ; mais cette constante disparaît de l'équation (10). En effet, si l'on y met C à la place de chacune des trois quantités F0, F^, Yy, on aura
C p'cL cos G sin ôrfa = ^ r" T" e -^ ° ' a. cos G sin md^
^ ^f 1^ f "\-''""'afqcos^smMrcm^;
or, en intégrant par partie et observant qneffqdr s'évanouit par hypothèse à la limite r = o, on a
e pqar :^ i — e •' 5
ce qui rend identique l'équation précédente. La partie de cette fonction F , qui varie avec la température , a aussi pour facteur une constante g, que l'on ne pourrait pas non plus déterminer, mais qui disparaît également de l'équation (10), comme étant un facteur commun à tous les termes, après la suppression de ceux qui dépendent de C. L'équation (10) ne contient donc que l'inconnue^, et les quantités p, q,Jf h, s, a, qui sont des fonctions déterminées des trois variables r, 6, -vj/, ou de deux, ou d'une seulement d'entre elles; mais ces fonctions, dont plusieurs, et particulièrement la température j' et la densité p, dépendent aussi de la variable t , ne nous sont aucunement connues; en sorte que l'équation (10), quoiqu'elle renferme la solution complète de la question relative à l'échange de chaleur entre la terre d'une part, et d'une autre part l'atmos-
phère et les étoiles, ue peut pas servir, dans l'état actuel de nos connaissances, à déterminer l'inconnue ^ du problème.
Toutefois, cette équation donne lieu à une remarque qui nous sera utile dans la suite; elle nous fait voir que l'influence sur la valeur de 0 , des inégalités diurnes et annuelles de la température^ de l'air en chaque point de l'atmosphère, est beaucoup alïaiblio par celle circonstance que la fonction F;- est multipliée sous le signe / par cos8; lequel facteur est très petit pour les colonnes atmosphériques qui s'écartent le moins de l'horizon , c'est-à-dire pour celles qui sont les plus longues, et dont la densilé décroît avec le moins de rapidité. Celte influence sera beaucoup moindre , par exemple, que sur la température désignée par U dans le n'aoi, et déterminée par la formule (8); car, dans les intégrales que cette formule renferme, les quantités qui dépendent de la chaleur atmosphérique ne sont pas multipliées par cosô, comme dans l'équation (lo); d'où l'on peut conclure que les inégalités de température, dues à celles de cette clialeur, seront bien plus sensibles dans U que dans la valeur de 0. Si l'on suppose, en conséquence, les variations de Ç très petites par rapport à celles de la température n de la couche d'air en contact avec la terre , et surtout par rapport à celles de la chaleur solaire, on pourra , dans le calcul des inégalités diurnes et annuelles de la température extérieure Ç, au moyen de la seconde formule (5) du numéro i65 , considérer la température ^ comme invariable; ce qui permettra de déterminer les inégalités diurnes et annuelles de i^, et par suite celles de la terre près de sa surface, indépendamment des inégalités semblables qui peuvent avoir lieu en tous les points de l'atmosphère. Les lois de celles-ci nous étant inconnues, on sera obligé de recourir à cette hypothèse de la température ^ à très peu près constante; hypothèse que la comparaison des résultats du calcul à l'observation pourra seule justifier complètement.
(210). Maintenant nous allons considérer la partie de la température extérieure Ç, dont la chaleur solaire est la source; el, à cette occasion , nous comparerons entre elles les quantités de cette chaleur qui tombeiît sur la surface de la terre, soit pendant les différentes parties d'une même année, soit pendant des années entières, séparées par un très long intervalle de temps.
Soient 0 un point de la surface de la terre, et 0' un point de celle du soleil (fig. 17), C et C les centres de ces deux corps, ON et O'N' les normales extérieures à leurs surfaces, ou les prolongemens de leurs rayons CO et C'O' ; appelons ut et oj' les élémens de ces surfaces qui comprennent les points 0 et 0' ; et de'signons , au bout d'un temps quelconque t, par r la distance 00', et par 8 et 6' les angles O'ON et OO'N'. Supposons le soleil au-dessus de l'horizon du point 0 , et le point 0' appartenant à sa partie visible ; de sorte que ces deux angles Q et 9' soient aigus , et qu'il y ait échange de chaleur entre cù et &)'. Par un raisonnement semblable à celui du n" 20, on verra que la quantité de chaleur émise pendant l'instant dt par le soleil , à travers l'élément u! de sa surface , et qui viendrait tomber sur l'élément où de la surface de la terre , abstraction faite de l'absorption atmosphérique, aura pour expression
au COS i COS i' ^, ,
; S dt :
S' étant une quantité de chaleur rapportée aux unités de surface et de temps, qui pourra varier avec la position du point 0', et pour un même point 0' avec l'angle â'. Pour conclure de cetle expression la quantité totale de chaleur solaire qui tombe à chaque instant sur^), il faudra remplacer r»' par l'élément différentiel de la surface du soleil, puis intégrer et étendre l'intégrale à la portion de surface terminée par le cône tangent qui a son sommet au point 0. A cause de la grande distance du soleil à la terre , ce cône sera sensiblement un cylindre , la portion de surface sera la moitié de celle du soleil , et dans l'intégration, on pourra négliger les variations de r et ô. Ensuite, pour avoir égard à l'absorption de la chaleur solaire dans l'atmosphère , il faudra multiplier le résultat de cette intégration par une fraction qui variera avec la longueur et l'état de la colonne atmosphérique suivant la direction de la ligne 00'. Enfin, pour en déduire la portion de chaleur qui pénétrera dans l'intérieur de la terre à travers oo, on multipliera encore la chaleur incidente par une autre fraction qui pourra aussi dépendre de la direction de 00', ou du moins de l'angle G , et que nous désignerons par ?. De cette manière, en représentant par FlW^ cetle portion de chaleur solaire, on aura
s étant le produit d'une surface et d'une quantité de chaleur. Si l'ou compare ce produit S à la quantité de chaleur désignée par cr dans la formule (4) du n° i65, on aura
La fraction £ est la même que dans cette formule. Elle différera de la fraction qu'on a représentée par a dans le n° 208, si la terre absorbe en différentes proportions, sous un même angle d'incidence, la chaleur solaire et la chaleur atmosphérique.
La quantité S ne pourrait être détemiinée directement que par des expériences très nombreuses et très délicates; on verra par la suite comment sa valeur moyenne, ou plutôt celle d'une température qui lui est proportionnelle , peut se déduire de l'observation des inégalités annuelles de température de la terre, à une petite profondeur. Cette quantité est indépendante de la distance du soleil à la terre; elle peut varier avec les taches du disque solaire; elle varie aussi dans de très grands rapports avec l'état plus ou moins serein de l'atmosphère, qui influe sur l'absorption des rayons du soleil. La chaleur solaire éprouve dans l'air parfaitement pur une absorption que l'on suppose beaucoup moindre que celle qui a lieu pour la chaleur rayonnante, émanée de la terre ou des corps non incandescens; toutefois elle n'est pas nulle; et conséquemment, elle doit augmenter ou diminuer avec la longueur du trajet dans l'air suivant la direction 00'. Il s'ensuit que quand le soleil est à l'horizon de 0, la quantité S doit être moindre, toutes choses d'ailleurs égales, que quand il atteint le méridien; et il en résulte aussi que dans l'année, cette même quantité doit augmenter ou diminuer avec la déclinaison du soleil dans l'hémisphère auquel le point 0 appartient. Les lois de l'absorption de la chaleur solaire à travers l'atmosphère n'étantpas connues, ces variations diurnes et annuelles de la quantités sont également inconnues, et l'on peut seulement supposer qu'elles sont peu considérables. Quant à la loi suivant laquelle la fraction e peut dépendre de l'angle 6, elle est également inconnue. Dans cet
état de choses, oa sera donc obligé d'avoir seulement égard aux variations de ret de ô , en calculant au moyen de la seconde formule (5) du n" i63, la partie de la température extérieure Ç qui provient de la chaleur solaire. A cause de la grande distance du soleil à la terre, par rapport au rayon du globe, on pouiTa prendre pour rie rayon vecteur du soleil dans son mouvement apparent autour du centre de la terre , et pour 6 l'angle que fait ce rayon vecteur avec le rayon CO de la terre aboutissant au point 0 que l'on considère sur sa surface.
Ayant ainsi égard à l'échange de chaleur entre le disque du soleil et l'élément o), il faudrait, à la rigueur, retrancher de la première intégrale contenue dans le second membre de l'équation (lo), sa partie relative à la portion de l'enceinte stellaire , cachée par ce disque ; mais cette partie étant très petite par rapport à l'intégrale entière, on peut conserver cette intégrale comme elle est indiquée.
(21 1). Le produit mcosG exprime exactement la projection de l'élément «sur le plan perpendiculaire hla droite 00', ou, à très peu près, sur le plan mené par le point C et perpendiculaire à la droite CC qui va du centre de la terre à celui du soleil. D'après cela, si l'on appelles l'aire de la section faite par ce plan dans le sphéroïde terrestre , on
aura -, Sdt pour la quantité de chaleur solaire qui tombe , pendant l'instant dt, sur la terre entière , et qui se déduit de Zladt après avoir omis son facteur i. On prendi'a ici pour S la moyenne des valeurs de cette quantité du numéro précédent, qui ont lieu, au même instant, pour tous les points 0 d'une moitié de la surface du globe, et qui varient d'un point à un autre , quand on a égard à l'absorption atmosphérique. Il est aisé de voir que cette moyenne est indépendante de t ; par conséquent, si l'on appelle P la quantité de chaleur reçue par la terre pendant un temps donné, on aura
en étendant l'intégrale à cetintervalle de temps. D'ailleurs, si l'on représente par V la longitude vraie du soleil , par a et a le demi-grand axe et l'excentricité de son orbite, et que l'on prenne pour unité la somme des masses du soleil et de la terre, ainsi que le pouvoir attractif de la matière, on a, comme on sait.
i-*dv = \/a (i — a^)df.
Il en résultera donc
= fsd..
Pour obtenir la valeur de cette intégrale, en tenant compte de la non sphéricité de la terre, je supposerai que lintervalle auquel répond la quantité P soit un nombre exact de jours sidéraux ; ce qui rendra la valeur de P indépendante de l'inégalité des méridiens et de la rotatioi» de la terre. Je regarderai donc la terre comme un solide de révolution; et alors en désignant par j' le rayon du spliéroide qui aboutit au parallèle dont la latitude sera représentée par ,tt , on aura - 1
j- = /(i + AY,+ /i'Y3+//'Y, + elc.);
/ désignant le rayon d'une sphère équivalente en volume à la terre; Y,, Y'3, Y^, etc., représentant des fonctions connues de /a., savoir :
Y, = sin'/A — f ,
Y3 = sin^/A — f sIn/A,
etc.
et h, h', h", étant 'des constantes données. Si la terre était un ellipsoïde , toutes ces constantes seraient nulles, excepté la première qui exprimerait son aplatissement ; les observations du pendule montrent que les constantes h', h°, etc., sont très petites par rapport à h; mais pour savoir si la dissimilitude des deux hémisphères , boréal et austral , influerait sur la valeur de P, je conserverai h' avec 7i, et je négligerai toutes les autres constantes.
Cela étant, supposons que le rayon j appartienne à la section s; soient ^ l'inclinaison du plan de cette section sur celui de l'équateur , et .r l'angle que fait le rayon j^ avec l'intersection de ces deux plans ; nous aurons
sin /A = sin C sin X , ds z= jj'dx; et en négligeant les carrés et le produit de h et h', il en résultera
^ = ^H'j'dx — 7rl^[\-irh{ sin* ê — f )] ;
en sorte que cette valeur de s étant indépendante de h', celle de P ne dépendra pas non plus de la différence d'aplatissement des deux hémisphères.
L'angle € est évidemment le complément de la déclinaison du soleil correspondante à la longitude t»; en appelant y l'obliquité de l'écliptique , on aura donc
cos^ =: sin^ sin v, et, par conséquent,
s = 7rl''li H- ^ (I — sin' y sin' v)].
Donc , en substituant cette valeur de s dans celle de P, et effectuant l'intégration, nous aurons finalement
pour la quantité de chaleur envoyée à la terre par le soleil, pendant que son rayon vecteur décrit un angle quelconque v.
On voit par là qu'à raison de l'aplatissement de la terre, cette quantité de chaleur n'est pas exactement proportionnelle à l'angle c; mais comme sin 2^ est nul pour toutes les valeurs de v multiples de jTT, il s'ensuit que la valeur de P est la même pour la durée totale de chacune des quatre saisons. On voit aussi que la quantité de chaleur solaire reçue par la terre pendant chaque année variera de siècle en siècle , avec l'excentricité a de l'orbite du soleil et l'obliquité y de l'écliptique ; mais les variations de a et de ^ étant très limitées, celles de P seront toujours très petites; et il ne paraît pas qu'on puisse leur attribuer aucun effet sensible sur la température moyenne du globe.
Si l'on considérait la quantité de chaleur solaire absorbée par la terre , et non pas seulement celle qui tombe sur sa surface et qui est en partie réfléchie, il faudrait avoir égard à la variation du facteur g de la quantité FI du numéro précédent, soit avec l'angle d'incidence 6, soil aussi avec la position du point 0, à raison de l'état de la surface en chaque point; et comme le pouvoir absorbant est différent, surtout dans les parties couvertes d'eau et dans les parties de terre ferme , il en résulterait que la portion de chaleur solaire reçue et ab-
sorbëe par la terre , ne serait plus la même dans les différentes saisons. Nous avons déjà remarqué (n° 200) que les he'misphèrcs, boréal et austral, absorbent en proportion différente, la chaleur solaire qui tombe pendant Vannée entière sur leurs surfaces.
Dans le calcul de la quantité P relative à la terre, ou à une autre planète, si l'on ne tient pas compte de l'absorption atmosphérique, la quantité S sera la même pour toutes les planètes. D'ailleurs, en négligeant l'aplatissement h, on aura
pour v=27r', il s'ensuit donc que les quantités de chaleur solaire qui parviennent aux limites des atmosphères des différentes planètes , pendant les durées entières de leurs révolutions, ne dépendent pas de ces durées, et que pour deux planètes quelconques, elles sont entre elles en raison directe des carrés de leurs rayons /, et en raison inverse des i-acines carrées des paramètres a(i — a") de leurs orbites elliptiques j ce qui est uu théorème dû à Lambert. Mais on n'eu peutrieu conclure relativement à leurs températures respectives , faute de connaître la partie de la chaleur solaire qui est absorbée par l'atmosphère de chaque planète , et ensuite la portion de la chaleur non absorbée, qui pénétrera dans l'intérieur de la planète même, d'après l'état de sa surface.
(212). Au bout du temps t, désignons par <p la déclinaison du soleil, et par -vjx l'angle que fait le méridien où il se trouve, avec le méridien du point 0; soit toujours ;ii la latitude de ce point j ô étant, ainsi qu'on l'a dit plus haut, la distance angulaire C'CN du soleil au zénith de ce même point 0 , on aura
cosô = sin/Asin(p -f- cos ft ces (p cos 4 ^
où l'on regardera la latitude ^t, et la déclinaison (p comme positives ou négatives , selon qu'elles seront boréales ou australes. En désignant, comme dans le numéro précédent, par y et v l'obliquité de l'écliptique et la longitude vraie du soleil , on aura aussi
sin <p = sin y sin i^ ,
48o THÉORIE MATHÉMATIQUE
et, par conséquent,
cos â = sin/A sin^ sin »> -f- cosft cos-vj/ \/i — s'ia^y sin't' ,
où l'on devra considérer le radical comme une quantité positive. Le rayon vecteur r du soleil a pour valeur
1 + a COS (f — ar) '
a et a étant toujours le demi- grand axe et Texcentricité de son orbite, et «sr désignant la longitude du périgée. Si donc on appelle T le dernier terme de la seconde formule (5) du n° i63, de sorte que l'on ait
rp £irC0s9
el si l'on a égard à la valeur de «r du n° 210, il en résultera ' T=^[i4-2acos(t' — <Z!r)](sin//tsin5/sinf-}-cos;ACOS^\/i — sin'^sinV), (11) en négligeant le carré de a et faisant, pour abréger.
Ainsi qu'on l'a expliqué plus haut, on regardera cette quantité h comme indépendante de l'angle 9; ce sera donc une température constante, proportionnelle à l'intensité de la chaleur solaire, telle qu'elle est à la distance moyenne a de la terre au soleil , et après avoir traversé l'atmosphère pour arriver au point 0.
De cette manière , la valeur de T se trouve exprimée en fonction de deux angles variables -^et v , dont l'un est relatif au mouvement apparent du soleil parallèlement à l'équateur, et l'autre à son mouvement apparent sur l'écliptique. L'angle 4 ne s'étendra jamais à plus d'un jour entier; pendant cette durée, on peut le supposer proportionnel au temps; on aura , en conséquence ,
T étant la valeur de t qui répond au midi du point 0, et n désignant la valeur angulaire du mouvement diurne du soleil ; de
DE LA ŒALEUR. 481
sorte qu'on ait
en prenant l'année julienne pour unité de temps. De plus, si l'on compte le temps t à partir de l'équinoxe du printemps boréal, le plus rapproché de l'époque à laquelle ce temps correspond , on aura aussi
i> =. ■i'Ta -f- 2a sin {prTrt — 'Zër) ,
en négligeant toujours le carré de a. >
(21 5). Cette valeur de T n'a lieu que quand le soleil est au-dessus de l'horizon du point 0 , c'est-à-dire , lorsque l'angle ô n'excède pas ±90°; quand le soleil sera au-dessous de l'horizon, on aura T = o ; si donc on désigne par ^4/' '^^ valeurs de \ qui répondent à cosS = o, et qui sont données par l'équation
sinfc sin^sinf -f- cos/A coS'\|./V^i — sin'^sinV =0, (12) la quantité T sera une fonction discontinue de ^ > dont les valeurs seront données par la formule (i i), depuis 4 = 0 jusqu'à 4=^4'/» et nulles depuis ^ = — ^z jusqu'à 4 = — '^' D'ailleurs , eu considérant cette fonction de 4 et de t' par rapport à la seule variable 4> il est évident, par sa nature, qu'elle redevient la même, zéro ou non, toutes les fois que cet angle 4 augmente de 56o°; par conséquent, son expression en série de sinus et de cosinus des multiples de 4 sera donnée par la formule (6), en y prenant vti pour l'intervalle Ô des valeurs égales de la fonction.
Cette formule devient alors
<pt — ^^p''<^l'dt' + ^2 [ P'cos/Ci — t')(^t'dt'~^; (i3)
i étant un nombre entier et positif, et la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs de / , depuis / = o jusqu'à / = 00 . Si l'on y fait
« = 4-f-7r, $(4 -f tt) = /4, i' = 4'+7T,
elle prendra la forme
f^ = vJlj^'dV+ ;2[/;cos/(4-4')/4'^4'].-
maisT étant zéro depuis 4 = — 4/ jusqu'à 4=^^> si l'on prend T pour la fonction f-\, , les intégrales ne devront plus s'étendre que
depuis 4' = — 4/ jusqu'à '^' = -^^; eu sorte que l'on aura
/4 = i- /t;/4'^4' + lifX ^^' ' ^-^ - 4')/4'^4 ]•
Or, si l'on met dans cette formule, à la place dey^j-' la formule (i i), dans laquelle on fera -^ = -sj,', on trouve que les intégrations relatives à ■v{/' s'effectuent immédiatement , et il en résulte
f^ = -[i4-2acos(t'-'3r)]| 4^sin/A sin^ sin v+ sin-^^cos/A V^i — sin'j.sin'f
-4- 2sin ;* sin y sin ^' 2 - sin i\[/^ cos /■4'
H-cosfiV.t— sm> sm^fSl \T/- H ^^ ' Jcos;4j-
Cette expression de f-l' sera donc celle de T , en série de cosinus des multiples de 4, que l'on pourra écrire de cette autre manière :
T = A [ r -i- 2acos(p — -tst)] (V + V, cos ^ + V^^ cos 24 + etc.) , (14)
«n "comprenant le diviseur yr dans la constante h, et faisant, pour abréger, .:;'■!- "-i ."k.--—- y y.
V i=: 4<sm'/tsinysin p-f-sm^/^cos/tt y/i — sin* 5. sin V,
'V^==. 2 sin 4, sinit* siny sin v
•jBiioo 'fcu od-:: , , , ■ , i x / = •
... - + (4/ + sm 4/COs4,) cos A^ V I — sm'^/sm't»,
V,^== 2sin4, cos4/ siniMsin^sinç»
+ |(2C0s'4/+ i)sin4,cos,it\/i — sin*5.sin*f, etc.
(2140 Ayant fait usage de la double valeur ±4/ pour parvenir à cette expression de T, on y devra actuellement considérer 4/ comme une quantité positive. Cet angle ne devra pas non plus excéder 180°. Pour V = o , =1 80°, = 560°, il sera égal à qo°, quelle que soit la latitude fx,. Depuis f = 0 jusqu'à f= 180°, il surpassera 90° ou sera moindre, selon que cette latitude sera boréale ou australe; le contraire aura lieu depuis 1^ = 180° jusqu'à p = 36o°.
En faisant successivement, dans l'équation (12), 4/ = o et 4/= 180°, c'est-à-dire, cos 4^ = — i > on en déduit
, cos u.
. fto'l is ,-!^=b~ SUlV^ = ±^j^^,
pour les valeurs de sin v qui répondent à ces deux valeurs extrêmes de 'vj,^. Il s'ensuit que si l'on a co?,fJt.^s\ny, ou ^«c^go" — y, abstraction faite du signe, ces valeurs de sin i» surpasseront l'unité, et celles de V seront imaginaires. Dans ce cas, l'angle -^^ n'atteindra donc pas les limites zéro et i8o°. D'après l'équation (12), ses plus grandes valeurs répondront à g=t)o° et i'= 5.go°, cl elles seront déterminées par l'équation
cos 4, ==p tang y tang^t,
qui donnera effectivement, dans le cas dont il s'agit, deux valeurs de 4',» l'une plus grande et l'autre plus petite que 90°- Quand on aura AI =±(90° — y), l'angle 4/ atteindra les limites zéro et 180"; et ce sera pour t' = 90° et p = 5.90°. Enfin dans les hautes latitudes boréales ou australes, oii l'on aura ft^ dz (90" — y), l'angle 4/ atteindra aussi ces mêmes limites, mais pour des valeurs de p moindres que go" et 3.90°; et de plus, il y aura alors un intervalle dans ces valeurs de la longitude du soleil, pour lequel cet astre sera constamment au-dessus ou au-dessous de l'horizon du point 0.
A raison de cet intervalle, l'angle 4, sera, dans ce dernier cas, une fonction discontinue de la variable v. Pour fixer les idées, supposons que la latitude /x soit boréale, de sorte qu'on ait ,u > 90° — y. Soit Vf le plus petit angle positif, déterminé par cette équation
^"' COSt', = -^-!- :
' sin y
depuis f = 0 jusqu'à v^zgo" — i\, la valeur de 4/ «n fonction de v sera donnée par l'équation (12), et pour v = 90° — v^ , elle atteindra iSo"; depuis t'=9o° — v, jusqu'à v=.çf,''-\-v^, le soleil sera constamment au-dessus de l'horizon du point 0 , et l'on aura 4/ = 180° ; depuis f=:go°-|-('^ jusqu'à f =5.go° — v^, cet angle 4, sera de nouveau déterminé par l'équation (12), et en particulier pour t'= 5.90" — \) , sa valeur sera zéro; depuis 1^ = 3. 90" — t'Jusqu'à v= 5.90"-+- (-•, le soleil sera toujours au-dessous de l'horizon du point O,- et l'angle 4^ aura constamment zéro pour valeur; enfin, depuis i' = 3 . qo' -j- 1jusqu'à i' = 5(3o% l'angle 4, sera déterminé par l'équation (12).
En substituant l'expression de 4/ en fonction de v dans les valeurs de V, V,, V,^, etc , on voit que chacune de ces quantités sera en
même lemps que -\f.,> une fonction continue ou discontinue de v; mais dans tous les cas, chacune de ces quantités reprendra la même valeur toutes les fois que l'angle i> augmentera de 56o°; par conséquent, ces fonctions de i> pourront s'exprimer en séries de sinus et de cosinus de ses multiples, au moyen de la formule dont on vient de faire usage. Nous allons effectuer cette transformation sur la première de ces quantités ; on opérerait de même sur toutes les autres V^, V,^, etc. ; mais dans la suite nous aurons seulement besoin de l'expression de V en série.
(21 5.) Soit 4', ce que -^^ devient quand on y change v en une autre variable i^'; en appliquant la formule (i3) à la fonction V, nous aurons , d'après la valeur précédente de cette quantité ,
siu^ siny
, COSU /'a» , : : r . • / , ,
•+• / vi — sm*> smV sm 4 a/
amft siny
/ 4/ cosi(v— i>') ainv'dv'^
-h ^^ ^ r / V ' — ^^^'y siûV cos i {i> — v') sin ^dv' "1.
Supposons que la latitude /u, du point 0 soit boréale; et considérons d'abord le cas où l'on a/* < 90° — y, de sorte que 4' soit une fonction continue de v'.
En intégrant par partie, et observant que les valeurs de 4,' qui répondent aux deux limites v'= o etc' = 2ît, sont égales, on aura
J^ -i^'^ûnv'dv'^j ^co&v'dv'; on aura de même
r^'4; cos/(.-.') sin.W=i f 'T^^'^i^-i^'--') c.gs(ùW/4V)-|^- ^
pour toutes les valeurs de i différentes de l'unité; et pour f= i , on trouve aussi
1 *4.;cos(i^— t'')sinp'rft^'=V*siQf+- l''r-cos(v-2v')-v'siav~\~^dv'-,
le terme compris hors du signe / provenant de ce que l'on a 4-' =^'X à la limite t'':^ a-TT. D'ailleurs, on tire de l'équation (12)
, / d^' sitiKsiny cosi''
sm +, -^ = ^ -,,
cosfi (i — sin'j/sinV )"
sm4,= ^^ ^ ^ j,
coS|«(i — sin'ysinV)' - —
et, par conséquent,
d^/ sinf< siny cos/
'''' (i — sin'y sin V) y/ cos> — sin'j/ sinV '
au moyen de quoi, nous aurons
'\', sinvav = sinfji smy ,
J ^ 4/ cos(i'— t'')sin^''rfi^'= -7r*sia v+ -sinjusinj^ /^"Fi cos(i' — at/)
I • ~lcos v'dv' — V sm V .
J^ 4, cosi((^ — i>)smvdv' =-sinf/.smy — W- ^,
cos(jV — iv -\- f')~| cosv'dv
où l'on a fait, pour abréger,
A = (i — sin'5, sin't'') \/cos*/a — sin'j^ sin'/.
Je substitue ces valeurs et celle sin4' dans la formule (i5). Les intégrales relatives à t»' des quantités qui ont pour facteur le sinus d'un multiple pair ou impair, ou le cosinus d'un multiple impair de cet angle, se détruisent comme étant composées, entre les limites c'=ro et v' = 27r, d'élémens égaux deux à deux et de signes contraires. Relativement à l'intégrale qui renferme f'sous le signe /, en dehors des sinus et cosinus, on a
/•air y'cos/Jf' /■» v'cosv'dv' r^ {v -\-tc)cosv'dv' P" cosv'dv
à cause de cos(i'' + tt) = — cost^'; et cette dernière intégrale est nulle, comme étant aussi composée d'élémens qui se détruisent deux à
deux. Quant aux intégrales des quantités qui ont pour facteur le cosinus d'un multiple pair de u', on pourra réduire leurs limites à v'= o et p' = 4 TTf en quadruplant leurs valeurs. Cela posé, on trouve
V= ^ TT si n ft si n j/ sin t>-t-Q-{-Q, cos 2 <^+Q,^ cos 4t'-f-Q,/y cos64^-f- etc . ; ( 1 6)
Q» Q/> Q/i> Q///> ^'^^•> étant des quantités indépendantes de v. On a eu particulier
Q2 /'-'r/ / ; ■• — : — ■,— 7 , sinV sin'> cosV\ , , ~ I ( Vcos> — sm*y sm VH j dv,
et pour un indice quelconque i, dififérent de zéro ,
Q, = - / ^'^ Vcos*/* — sin'5/sin*c' C0S2?V'
, , . . ., . ,. sin>sin''y cos/-] , ,
— (cos2it' cost" + 2ism2i<^ sinç»! ,..„ r-- — \av .
(216). Toutes ces intégrales Q, Q^, Q,,, etc., s'exprimeront en fonctions elliptiques; ce qui permettra ensuite d'en calculer facilement les valeurs numériques.
Pour la première , on a
Q = -( / â Vcos'/A — sin=>sinV'c?t''-j- / ^ ./ , ^=r=^~,
o (1 — sin'y sinV') \/ cos^ — sin°y sinVV ' ce qui montre que Q dépendra d'une fonction elliptique complète , de chacune des trois espèces, ayant un même module — -; quantité moindre que l'unité par hypothèse. En faisant
sin y . .
— ^ = c , — sm*^ = n ,
COSfi '
et employant les notations de Legendre , on aura
Q = ?E'(c)cos/A +-[F'(c) — n'(c, n) cos' 5.]sinjtetangft.
Mais on sait que les fonctions complètes de troisième espèce s'expriment au moyen de fonctions complètes et incomplètes de pre-
mière espèce et de même module; ea faisant
w = — c* sia* (p , d'où l'on tire
l'angle (p sera l'amplitude des fonctions incomplètes , et l'on aura (*) n'(c, n) = F'(c) + --^ll=[F'(c)E(c,(p)-E'(6')F(c,(p)]; (,7) par conséquent, la valeur de Q deviendra finalement Q = - {E'(c)coS|«,-f-F'(<7)sia* j- sin/A tang/t
— [F'(c)E(c, (p) ~ E'(c)F(c , <?))]cos>sinAt}. Si l'on fait i =: i dans la valeur de Q, , il vient
Q, =: - / ^ vcos*/A — sia^^sia'^-'cos at'W
4siaVsia'y ri", . . , ,.cosV ,,
— 2 3;;: y (i+2Sm'i')-^rfi^.
En intégrant par partie , on a
/ \/cos* yM. — sin*^ sin* t'' cos zu'dv' 1= /
» -sr
sin* y sin' / cos- v'dv' ° \/cos'^ — sin'ysin^k''
= — / ' Vcos*/A — sin'j/ sia'v' cos* yWv'
j^ (sin'y — cos'jt) cos*^ /* ï'' f/i^'
sin'y Jo ^cos'^ — siQ'ysinV'
+ -i--^ / * \/cos* ic — sin' y sin* i^'f?/ : et à cause de cos' f' =|-cosat^+ î-, on en conclut
p' V/cos-A^sin>in?cos2^^i/=^^"°\-"°:>^'^°^'^r^
J o ' 3 sin'y J o
dv'
o v/cos> — sin'j/sin'i''
, (2cos'm — 8in*y) /'i" . , ^— r • , /
+ ^^ 5-^^ ^/ V/cos> — sm'> sin'i' .
' 3sm'y J 0 '^
(*) Traité des Fondions elliptiques , tome I, page i4i.
D'ailleurs on a idenfiquement, d'après ce que A représente.
(i + 2 sin' f') cosV (2 4- sin^ y) cos' y 2 v/cos'/« — sin'yi
 A sin' y sîn*^y
I + COS' y + 2C0S'^
sinV V^cos> — sir Cela étant, on aura
Q, = 5— ?-^r(24-sin*v)cosHsin>/ ^ " ^ -■■ -
iîTsmvL' «^ o (I— sin=ysinV)V^cosV— sm'ysinS''
— (l +COS'> — si n »y rns'».) f^" — — ^ ~| •
V o v/cos> — sinVsinVj
ou, ce qui la même chose,
Q' = l^Tsî^y \j^ + ®^"'>) '^^^'^ sinwtang/^n' (c,«)
-f- (2 — sio*>) cosftE' (c) — (i + cos*7 — sin*> cos*f*) — ^ |» et en éliminant II' {c,n) au moyen de l'équation (17), il en résulte
Q'= 37^^ {[F'(c)E(c,(p)-E-(c) F(c,<p)] (2 + sin»cos>sinAc + (2 — sin*5.)cosyt*E'(c) — (2 cos> cos'fA+sin'tj. sin/A tangitt) F'(c)}.
A l'égard des quantités Q^^ , Q,^^ , etc. , il nous suffira de connaître une limite de leurs valeurs. Or, en intégrant par partie, on a
-5r sin'ysin2iV' sin/cosc' i/f
2 Vcos*/A — sm*> smV'cos2zpW=/ ^ — . ,
0 '^ ' Jo 2iV/cOS'|
fi — sinV sinV' '
l'expression générale de Q/ peut donc se changer en celle-ci :
A r-vf sin°ysin2zV' siin»' T J o \2i[/ cos'fi — sin"5/sin°/
OSf' -i
(cos 2jV' cos f ' -J- 7.1 sin 2zV' sin v) sin'fi sin'y"! / j / .
mais si l'on met dans cette formule l'unife au lieu de sia a/V et cos2/V', et qu'on y change le signe du terme divisé par A , il est évident qu'elle sera augmentée en grandeur absolue; on aura donc, abstraction faite du signe,
^ ^« 4 P ' /"a" sin'y sin i»' cos /J/ , a/sin'/t /^.-'^sin'^ sin v cosv'di'' T L.2J J o ycoi'fc — siii'ysin'V' 4'' — 'J o ^
, sinV Z'^" sin'yCOs'i''f/v'~|
Les deux premières intégrales s'obtiennent par les règles ordinaires, et ont pour valeurs
/'-w sm^y s\ni>' cosv'dv' .
„ './ / ■ . — ^^77 = cos u — Vcos*/A — sin*v
/'- » sin'y sin i' cosv'dv' i (~i / sin«\~l
* = ^ — -''" — H- — arc{cos = - — -) \.
En fonctions elliptiques la valeur de la troisième est
/•^s-sinVcosVV/ ¥•((■) „, , , cosV ^ = — ^ — n* fc,«) ; o A COS/4 ^ ' •' COS;«f
ou bien, en vertu de la formule (17),
Pour tous les indices i différens de zéro, on aura donc
^Q/ <Ti (cos/^- Vcos>-sin-^)+|™g^-^-arc(cos = ^)] + pËrT{t«"g/* sîn->F- (c)-cos7[F"(cOE(c,(p)-E'(c)F(c,(p)]}. A l'équateur , où l'on a /a = o , ou aura Q = ^E'(c),
Q' = ST^i?; K' +cos»E-(c)2COS-;.F'(c)],
et généralement
n ^ 3(1— COSy)
Si l'on avait ^ = o , cette limite de Q, serait zéro; il faudrait donc que Qj le fût aussi ; ce qui résulte, en efl'et, de la valeur de Q,du numéro précédent, quand on j fait ^ = o et y = o. Le module c est sinj/ dans le cas de ^ = o ; en développant les fonctions elliptiques contenues dans la valeur précédente de Qi, suivant les puissances de c' ou de svciL^y , on a
MO
E'(c) = ^ — g sin> + etc. , F'(c) = ^ + g sia"> + etc. ;
ce qui réduit aussi à zéro cette valeur de Qj dans le cas de ;> = o , et celle de Q à l'unité. Mais on a réellement .j'-ma-
c = sin^ = sin23°28';
les ta])les de Legendre donnent , en logarithmes ordinaires ,
logE'(c) = 0,1779800, log F'(c) = 0,2146659, et l'on en déduit
Q = 0,96910, Q^ = o,o4i32, Qi <T (o,o5265).
Si l'on prend pour ^ la latitude de Paris, on aura
;-t = 48°5o', ^=23° 28', ^ = 41" 10', c = ^=sia37°i4'; et, d'après les mêmes tables,
d'où l'on conclut
On aura , en même temps ,
d'où l'on déduit
Q,, < 0,08070, Q,„ < o,o5o8o, etc. ;
mais les A'aleurs de ces quantités sont encore beaucoup au-dessous de ces limites.
(217). L'expression de V cliangera de forme dans le cas des latitudes circumpolaires, pour lesquelles on a /x > 90° — y; la latitude ju. étant toujours supposée boréale. D'après ce qu'on a dit dans le n" 214 > chacune des intégrales que contient la formule (i5) devra être divisée en cinq parties; v^ désignant, comme dans ce
numéro, l'angle aigu dont le cosinus est -. — - , ces cinq parties auront pour limites zéro et ^tt — i>^, \7r — v, et ^yr-\-v^, ÎTT-f-*', et {tt — v^, Itt — v^ et Itt+v^, i7r-\-Vi et 7.7r; dans la première, la troisième et la cinquième, l'angle -vj,^ sera déterminé par l'équation (12); dans la seconde, on aura 4y ^^'^t et dans la quatrième, -xf-^^zo. Ces intégrales se transformeront, comme dans le cas précédent, en fonctions elliptiques ; mais l'expression de V qui en résultera étant très compliquée et sans applications utiles, je me dispenserai d'effectuer ces transformations en général, et je me bornerai à considérer les deux cas extrêmes qui répondent à ^^ = 0 et v,z={7r.
Le premier cas a lieu quand on a ft = 90° — y , c'est-à-dire lorsque le point 0 appartient au cercle arctique , dont la distance an pôle nord est égale à l'obliquité de l'écliptique. La seconde et la quatrième partie de chaque intégrale s'évanouiront , puisque la différence 2f^ des limites de chacune d'elles sera zéro ; les trois autres parties se réuniront en une seule intégrale qui s'étendra depuis f ' = o jusqu'à v =z27r; et dans toute cette étendue, la quantité •xj,^ sera déterminée par l'équation (12), en y faisant //.^go" — y; par conséquent, dans ce premier cas, la valeur de V s'exprimera encore par la formule (16) appliquée à cette valeur de u.
Oa aura, pour cette valeur particulière,
= / ( I H — ^^-, ) COS C di>' ,
OU bien, en efifectuant les intégrations indiquées,
Q = - ( sin > + cos> log -^3^^ j , "■ 'n = ,-A r^ sin> - ^^ + ""'^^ '"'^^ log i±Jl}^l
C'est aussi ce que l'on trouve, au moyen des expressions générales de Q et de Q, en fonctions elliptiques , qu'on a obtenues dans le numéro précédent ; car, dans le cas de /a = 90° — ^ , on a
c=i, cp=% E'(c) = i, E(c,(p) = sin3., F(c,<p)=log ^p,
ce qui fait disparaître de ces expressions de Q et Q^, la fonction F'(c) qui deviendrait infinie, et les réduit aux valeurs précédentesde ces deux quantités.
li'autre valeur extrême ^ tt de l'angle v^ a lieu au pôle où l'on a jtt = 90" ; ce qui donne cosi'^ = 0 et f^ = ■; w. Ce sont les première , troisième et cinquième parties de chacune des intégrales contenues dans la formule (i5) qui s'évanouissent, parce que les deux limites de chacune de ces parties sont égales. Dans la quatrième parlie, on a >{/,' =0, ce qui la fait également disparaître; dans la seconde, on a %[/= tt; et les limites étant go°db^ tt, c'est-à-dire, zéro et-^r, il en résulte
V = - sin^ r C" sin v'dv' -\- aSJ " Cos i{v — v') sinç^c^/J,
pour ce que devient la formule (i5) dans le cas de ^4 = 90°. On peut remarquer que cette valeur de /* rend nulles toutes les quantités V^, V,^, etc., que renferme la formule (14), et n'y laisse subsister que V;
DE LA CHALEUR. 4ç)5
(le sorte qu'en y substituant la valeur de V et eflcctuant les intégrations relatives à f', on trouve pour l'expression complète de T, en série de quantités périodiques ,
T = hsiny [i + 2acos(f — «za-)] - tt sinv -|- i — 2I ^°^^'^ | ; (18)
la somme 2 s'étendant toujours à toutes les valeurs du nombre entier/, depuis i= I jusqu'à i = -jo .
En faisant f^:=QO'' dans la formule (i i), ety mettant, comme dans la formule (i4)> '^l'h au lieu de A, ou a
T:=: yrh siny sin v[ï -f- 2a cos(t> — 'S'")]»
depuis (^=0 jusqu'à i^=7r.Pourles valeurs de t» comprises depuis t'=7r jusqu'à v= i7t , on doit avoir T= o; pour que ces valeurs de T coïncident avec la formule (18), il faut donc qu'on ait
cos2;V i I
I — 22 7^ ==: zt - TTSinv,
selon que l'on a t» < tt ou t' >• tt. C'est effectivement ce qui résulte d'une formule connue, qui s'est déjà présentée dans le n° i55.
Cet exemple particulier est très propre à montrer comment la quantité V qui est une fonction périodique de v, mais discontinue, peut être réduite, néanmoins, en série de sinus et de cosinus des multiples de la variable ; réduction indispensable pour l'usage que nous allons faire des formules (5) et (4).
(218). Si l'on substitue maintenant la quantité T du n° 212, à la place de la partie de la seconde formule (5) du n° 1 65 qui provient de la chaleur solaire, et si l'on met ensuite au lieu de T sa valeur donnée par la formule (i4)> i^ ^^ résultera
^=A + A, ' ;,|.\+^[' + 2acos(^'— ';îr)](V+y^ C034
H-V,cos24 + etc.), ('9)
pour l'expression complète de la température extérieure.
Dans le calcul des inégalités diurnes et annuelles de la terre, qui résulteront de celles de cette valeur de Ç, on sera obligé, ainsi qu'on l'a
expliqué dans le n" 20g, de négliger les inégalités semblables, dont peut être affectée la température Ç, et de la considérer comme une quantité constante. S'il s'agit des inégalités diurnes, celles de la température V de la couche d'air en contact avec la surface de la terre seront distinctes, d'après ce qu'on a dit précédemment (n° 2o3), des inégalités diurnes de cette surface même, et tout-à-fait inconnues. On en pourrait faire abstraction , si l'on supposait le pouvoir refroidissant de l'air très petit par rapport au pouvoir rayonnant de la terre , de sorte que A, fût une très petite fraction de A , ce qui permettrait de négliger le ternie dépendant de » dans la formule (19). Mais si l'on admet que la moyenne des températures qui ont lieu pendant chaque journée entière , soit la même pour la surface de la terre et pour la couche d'air qui la touche, on pourra dans le calcul des inégalités annuelles , considérer » comme la température de cette surface même ; et alors, quel que fût le rapport de A, à A, il serait possible d'avoir égard à l'influence dxi pouvoir refroidissant de l'air, sur la température de la terre à la profondeur où les inégalités diurnes ont disparu. Toutefois, comme il n'y a aucune expérience directe qui nous fasse connaître la valeur de ce rapport, et qu'elle ne peut pas non plus se déduire avec assez d'exactitude, des températures observées à différentes profondeurs , on sera obligé de supposer ce rapport très petit et de négliger les termes qui en dépendent , dans le calcul des inégalités diurnes, aussi bien que dans celui des inégalités annuelles. Cette hypothèse paraîtra d'ailleurs très admissible , si l'on observe que le pouvoir rayonnant A doit approcher beaucoup du maximum à la surface de la terre, labourée ou couverte de véi^étaux et dénuée de poli, tandis que le pouvoir refroidissant A, de l'air est, au contraire, peu considérable à raison du peu de densité de ce fluide.
Cela posé, je partagerai en trois parties la valeur deÇ donnée par la formule (19), dans laquelle on fera A, = o : l'une sera la partie de cette formule, indépendante des inégalités diurnes et annuelles, ou la température moyenne extérieure; l'autre comprendra toutes les inégalités annuelles, et la troisième les inégalités diurnes.
Si l'on substitue pour V la formule (16), et pour v sa valeur (n° 212); que l'on néglige le carré de a, et que l'on désigne par Z, la première partie àe Z , on trouve simplement
DE LA CHALEUR. /^cf^
quantilé indépendante de l'excentricité de l'orbite solaire et de la position du périgée, de sorte qu'elle ne peut varier, de siècle en siècle, qu'à raison de la température ^, déterminée par l'équation (to), et de 1 obliquité de l'écliptique contenue dans l'expression de Q.
Soit Ç' la seconde partie de Ç; par la substitution des valeurs de v et de V dans la formule (19), on obtient
C = h({'7Ts'mfji.smy — 2xQ)sin 277^ -H h(7ra. siafi siny -f- Q^) cos4'^^ + /«Q,, cosStt^ -f- AQ,^^ cos 1 27rt -\- etc. ;
en conservant l'excentricité a dans les deux premiers termes seulement, et observant qu'à l'époque actuelle la longitude ts- du périgée diflêre très peu de trois angles droits.
Désignons aussi par ^" la troisième partie deÇ;; en négligeant toutà-fait l'excentricité a, et conservant -vj, à la place de sa valeur 27C (365,25) {t — t) (n'a 12), on aura immédiatement
Ç" = A V^ cos 4 + ^V„ cos 2^ -f- hY,^ cos 5>). -f- etc.
La longitude f du soleil variant très peu pendant un jour, on pourra considérer cet angle comme constant dans les coefEciensV,, V,,,V„^,etc., de cette formule.
(219). Pour faire coïncider la formule (3) avec cette valeur deÇ', il faudra prendre
m = 277, m = ^TT, m' = Stt, m'" = 1277-, etc., £ = — go", ;' — o, s" = o, £'"= o, etc., A" = h(l. A'" = AQ,^, etc.,
et en particulier
A = A(^7r sinyM. siu^ — 2aQ) ,- A':^ A(7ra sin/xsin^-{- Q^).
Si l'on appelle u! la partie correspondante de u, c'est-à-dire, la partie de la température de la terre à la profondeur x , qui renferme les inégalités annuelles, on aura, d'après la formule (4),
M = — f-TTSin^isin^ — 2«.Q)e sinf27r< — ^ JM
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