f--i^ = D(COS£r„ =D,s)ne

d'où il résulte

Je ferai remarquer que si l'on eût conservé dans la valeur de Ç' la partie de la température « relative aux inégalités annuelles , et qu'on l'eût supposée, comme on l'a dit plus haut, égale à la valeur de «', qui a lieu à la surface , ou qui répond à j: = o , on aurait été conduit à une expression de u' en fonction de x, de la même forme que la précédente et qui s'en déduit en j remplaçant généralement «Ti et Dj, par des quantités cT, + cT/ et D, + D'„ dans lesquelles «T/ et D,' se déduisent aussi de cT, et Dj au moyeu des équations

U, ces cT, t — (7q73;35; , D, sm d , ^-3^^-^.. (21; Comme nous ferons seulement usage de la formule (19), je sup-

DE LA CHALFXR. /^gj

primo , pour abréger, le calcul de l'expression plus générale de u', que ^e nie borne à citer.

A la profondeur où les inégalités diurnes ont disparu , ce sera une quantité constante, abstraction faite des variations séculaires, qu'il faudra ajouter à la formule (20) pour obtenir la valeur complète de la température u de la terre. Il s'ensuit donc que le maximum de cette température, pendant la durée de l'année entière, répondra à la plus grande valeur positive de u , et le minimum à sa plus grande valeur négative. Par conséquent, les époques de ces

températures extrêmes seront déterminées par l'équation -^ = o.

Mais indépendamment de la convergence de la série (20) , qui provient, à cette profondeur, des exponentielles contenues dans ses termes successifs, tous ces termes, à partir du second, sont très petits par rapport au premier, à raison des valeurs numériques de a, Q^, Q^^, Q„^, etc., et en excluant d'abord le cas où la latitude ^m. serait aussi très petite. D'après cela, si l'on suppose cette latitude positive, et qu'on désigne par 9 la valeur de t correspondante au maximum de température , et par 9^ celle qui répond au minimum , on satisfera à

,, . . du .

1 équation -r- =0, en taisant

2 et 2, élant des quantités très petites, dont on conservera seulement les premières puissances dans le premier terme de cette équation et qu'on négligera entièrement dans tous les autres.

A ce degré d'approximation, ces inconnues disparaîtront aussi dans le premier terme de la série (20); et si l'on représente par H l'excès du maximum sur le minimimi de température, la valeur de H ne dépendra que de ce premier terme ; en sorte qu'à la distance x, on aura

H = î^^i TT sin/Asinj, — 2aQV " . (23)

La valeur de S' étant indépendante de l'angle /a, les valeurs de 6 et 9^

varieront très peu avec la latitude , et seulement à raison des quantités z et z^ ; leur différence , ou l'intervalle de temps compris entre la plus grande et la plus petite température de chaque année, différera fort peu d'une demi-année ;dans tous les lieux où les quantités rt et b, dépendantes de la nature du terrein , seront les mêmes, les époques de ce Tiinxiinum ou de ce minimwn seront aussi très peu différentes. Toutefois les temps ô et G^ étant comptés dans les deux hémisphères à partir d'un même jour de l'année, s'ils répondent dans l'un au ninxinium et au minimum, ils répondront dans l'autre au minimum et au maximum , à raison du changement de signe de/A , en passant d'un hémisphère à l'autre.

Dans le calcul des valeurs de z et s^ , j'aurai seulement égard aux

deux premiers termes de la série (20) et de l'équation — = o ; on trouvera alors z^ = — z, et en outre

z=--^e smi

en faisant, pour abréger,

(^TTsin^tt siny — 2a.Çi)q = TTasin/* sin^ ~hQ,>

de sorte que q soit une petite fraction , puisque l'on a supposé que

sin|t4 ne l'était pas.

Après avoir substitué ces valeurs de z et z^ dans les équations (22), et supprimé dans leurs seconds membres les nombres entiers qu'ils pourront contenir, ils exprimeront en fractions de l'année, les temps

6 et ô, écoulés depuis l'équinoxe du printemps, jusqu'aux époques de la plus grande et de la moindre température. En multipliant ces valeurs de ô et 6^ par 365,25 j on aura les mêmes intervalles de temps exprimés en jours. Si l'on substitue ces mêmes valeurs successivement à la place de t , dans la formule (20), et que l'on prenne la demisomme des résultats, on aura l'excès de la demi-somme des températui'es extrêmes sur la température moyenne de l'année. En désignant cet excès par G, sa valeur sera, au degré d'approximation où nous nous sommes arrêtés,

hb - -^

i=:-^(77-asin/Asin>-f-QJe " cos^(\/l—i)\/27r-+-2J'—J','^. (25)

(220). Ces diverses formules renferment trois constantes a, h, h, dont on déterminera les valeurs de la manière suivante.

Soit H' ce que devient II à une profondeur x' différente de x. En vertu de l'équation (25), on aura

H' := ^r^TTsin^tsin^ — 2aQ)e « ,

et, par conséquent,

H' = He "~ ; (26)

équation qui fera connaître la valeur de a, d'après les valeurs de H' et H données par l'observation.

J'ajoute membre à membre les deux équations (22); les quantités z et Zi se détruisent à cause de :: + r, = o, et l'on en conclut, pour la valeur de cT en degrés,

Mais d'après les valeurs de DsinJ^ et Dcoscf, on a il en résultera donc

i = i^/{co.[i(8 + 9,)--f__]56o--,î, (.7)

pour la valeur de b déduite de celle a , et des valeurs de G et â données par l'observation à une même profondeur connue x.

Les valeurs numériques de a et de b étant ainsi déterminées, on calculera celle de h au moyen de l'équation (25) et de la valeur de H donnée par l'observation à la profondeur j: ou à toute autre distance de la surface. Mais celle température h provenant de la chaleur qui a traversé l'atmosphère, elle pourra varier d'une année à une autre, selon que le ciel aura été plus ou moins chargé de

5oo THÉORIE MATHÉMATIQUE -— -

nuages; et pour avoir sa véritable valeur en un lieu déterminé, il faudra prendre la moyenne de plusieurs années consécutives, ou, ce qui est la même chose, il faudra employer dans l'équation (aS) la moyenne des valeurs de H qui auront eu lieu pendant ces années. Cette valeur de h devra augmenter quand la latitude /W. diminuera , parce que le ciel est plus pur , en général , quand on s'approche de l'équateur , et aussi parce que les layons du soleil traversent l'atmosphère dans une moindre épaisseur. Par la même raison , cette température h augmentera, toutes choses d'ailleurs égales, avec la hauteur des lieux au-dessus du niveau des msrs ; elle ne dépendrait pas de la nature du terrein en chaque lieu, si le pouvoir rayonnant de la surface du sol et la faculté d'absorber la chaleur solaire, qui entrent dans l'expression de h (n° 212), augmentaient ou diminuaient dans un même rapport.

(221). M. Arago a fait placer à l'Observatoire plusieurs thermomètres, enterrés dans le jardin, à des profondeurs différentes où les inégalités annuelles de température sont encore très sensibles. La tige de chaque instrument s'élève jusqu'à la surface du sol et un peu au-dessus ; et c'est sur la division adaptée à la partie extérieure de cette tige, que l'on mesure les variations de température^ ce qui dispense de retirer le thermomètre de la terre, à chaque observation que l'on veut faire. Mais il en résulte que la température ainsi mesurée sur cette échelle extérieure dépendra de la température de la boule, qui est celle de la terre à la profondeur oii l'instrument est enfoncé, et des températures différentes des points de la tige , dans toute sa longueur égale à cette profondeur. La température de la boule est celle que nous avons désignée par u à la profondeurs; pour la comparer à la température observée, il faudra donc faire subir à celle-ci une certaine correction dépendante du rapport des volumes de liquide que renferment la tige et la boule de chaque thermomètre. On s'occupe actuellement du calcul de cette correction. Afin de pouvoir faire usage des observations non corrigées que M. Arago m'a communiquées, je supposerai que leurs corrections soient peu considérables ; quand elles auront été faites, il faudra en effectuer de semblables sur les valeurs suivantes des constantes rt, h, h , ou les calculer de nouveau. Il n'est pas non plus

DE LA CHALEUR. 5oi

impossible que les zéros des échelles tbermoniélriques aient un peu cliatigé , soit quand les instrumens ont été cntcriés, soit graduellement pendant la durée des obsei-vations. C'est pourquoi je n'emploierai dans les calculs suivans que des différences do température observées, et je ne ferai point usage des températures absolues.

A des profondeurs qui varient depuis deux jusqu'à huit mètres, le maximum et le mbiinium se sont succédés à un intervalle d'à peu près six mois , et leurs époques ont peu varié dune année à une autre , pour chaque profondeur. Pendant quatre années d'observations, l'excès du maocimum sur le minimum s'est un peu écarté de sa valeur moyenne ; cet écart s'est élevé à un degré en plus et en moins , à la moindre profondeur , et seulement à un dixième de degré, à la plus grande; on doit l'attribuer, en grande partie, aux variations que la températui'e h, provenant de la chaleur solaire , éprouve d'une année à une autre ; et c'est pour cela qu'il diminue à mesure que la profondeur augmente.

D'après la moyenne de ces quatre années , l'excès du maximum sur le minimum annuels a été de i°,4i4j ^ ^^ profondeur de S"", 121, et de 2°, 482, à celle de 6'",497. ^^ prenant le mètre pour unité, on fera donc

j:=6,4g7, .^'' = 8,121, H=:2°,482, H'=i^,4i4> dans l'équation (26) , qui deviendra alors

i.6aj.V/x

d'où l'on tire

Terme moyen, le maximum et le minimum ont eu lieu vers le 18 décembre et le 1 3 juin à la plus grande profondeur, et vers le i5 novembre et le 10 mai à la plus petite; ou autrement dit, les maxima sont arrivés à peu près 272 et 289 jours après le 21 mars que Ion peut prendre pour le jour de l'équinoxe, et les miiiima, à peu près 84 et 5o jours après la même époque. Les temps 6 et 6^ étant comptés à partir de cette épyoque , et exprimés en fractions de l'année ,

5o2 THÉORIE MATHÉMATIQUE

on aura donc

et si l'on désigne par h' et 8'^, ce que ces temps deviennent à la profondeur x' , on aura aussi

Eu substituant successivement ces premières et ces dernières valeurs dans l'équation (a'j), et prenant toujours le mètre pour unité, on en déduit

b= i,ioo22, b= 1,01417-

Ces deux résultats s'accordent d'une manière satisfaisante; en en prenant la moyenne , on a

pour la valeur numérique de b qui a lieu à Paris, et qui est rapportée, comme celle de a, a. Tannée et au mètre pour unités de temps et de longueur.

Si nous faisons

dans l'équation d'où dépend la valeur deq , on en déduira

pour cette valeur à la latitude de Paris. D'après les valeurs de rt et ^ on trouve aussi

cr=i3°52', 0=1,44573, cr^=i7»34', D, = i,62282.

Je substitue ces différentes valeurs dans la formule (24); je désigne par z' ce que s devient quand on change x en x' ; on en déduit ensuite

z = 0,00456, pour or = 6"", 497, z' = o,oo55i, pourx'= 8"", 121,

Ayant ainsi désigné par ô' et 6,' ce que deviennent les temps G et 6^ par ce changement ûejc en x' , les équations (22) donneront les valeurs de ces quatre quantités exprimées en fractions de l'année, ou bien en jours après les avoir multipliées par 565,25. Cela étant, si l'on représente les nombres de jours écoulés depuis le 21 mars jusqu'aux époques du maximum et au minimum, par y et y, à la profondeur x, et par/ ety'; à la profondeur x', on aura

Or, d'après les observations citées plus haut , ces nombres sont

ce qui s'accorde d'une manière remarquable avec les résultats du calcul, puisque les différences entre les nombres calculés et observés, n'excèdent pas un ou deux jours en plus ou en moins, malgré la difliculté d'assigner d'une manière précise par l'observation , le jour du viaximum ou du minimum. Sll était possible de déterminer ce jour avec exactitude, la moyenne de ces difVérences, divisée par 365,25, serait la valeur de la quantité S', déduite des équations (21), en y faisant /=o, ou, à très peu près, la valeur de

— '-- — J mais les différences dont il s'agit étant de très petites parties

du nombre 365,25, on en peut conclure que la quantité A, doit être une très petite fraction de A , comme nous l'avons supposé. En général, les comparaisons que j'ai pu faire des résultats du calcul a ceux de l'observation, montrent que l'échange de chaleur rayonnante entre l'atmosphère et la terre, et le pouvoir refroidissant de l'air en contact avec le sol, que nous avons négligés, ont eflectivement très peu d'influence sur les inégalités annuelles de la température de la terre.

Je mets actuellement dans l'équation (23) les valeurs connues des constantes qu'elle renferme; puis j'y substitue successivement 6"',4g7 et 2°,482, 8"',i2i et r,4i4, à la place de x et H; il en résulte deux équations, d'où l'on tire

5o4 ' THÉORIE MATHÉMATIQUE

valeurs qui ne diffèrent pas sensiblement l'une de l'autre, et dont je

prends la moyenne

pour la tempe'rature provenant de la chaleur solaire, en partie absorbée par la terre à Paris, après avoir traversé l'atmosphère.

Je substitue dans la formule (26) cette dernière valeur de ^ , et les valeurs de toutes les autres constantes que cette formule renferme; en désignant par G' ce que la quantité G devient par le changement de x en x', on en déduit

G = — o°,ooi53, pour x =6"',497, G'= o°,oo202, pour x' = 8'", 121;

d'où il résuite qu'à chacune de ces deux profondeurs, la demi-somme des températures extrêmes de l'année ne diffère pas sensiblement de la température moyenne.

Il résulte aussi des observations de M. Arago, que l'excès du maximum sur le minimum annuel de température a été de 7°, 800 à la profondeur de 5'",248, et qu'il s'est élevé à i5°,oi7 à celle de i"',624; or, si l'on fait successivement, dans la formule (23),

X = 5,248, X ^ Ij624, on en déduit

ce qui diffère peu des valeurs observées. Cet accord de ces deux observations avec la formule est une confirmation des valeurs numériques de a, b , h , qu'elles n'ont pas servi à déterminer.

(222). On fera coïncider l'expression de ^" avec la formule (3j, en. prenant d'abord les multiples 1, 2, 3, etc., de 4, pour les angles m< -1- e, m't + ê', etc., c'est-à-dire, les multiples du nombre 2w(565,25), pour/ra, m', etc., et ceux de 27î"(365,25)t, pour — i, — i! , etc. On fera, en outre

k = hy,. A' = ÂV,,, M' = hV„„ etc.

Si l'on désigne ensuite par 11!' la partie de la température u à la profondeur X , qui renferme les inégalités diurnes, et que l'on fasse, pour

DE LA CHALEUR. 5o5

abréger,

on aura, en vertu de la formule (4),

«" = ^' e - " cos (4. — :rû) — cT')