EMO = O.ON = 6, E.M.O, = OO.N

Je ferai , en outre ,

MO = r, M.O, = r,, 00, = h ;

et l'on aura aussi , à très peu près ,

X = rcosô, X, = r, cosô,.

Les distances r et ;■, devront être respectivement moindres que e et e, , pour qu'un échange de chaleur puisse avoir lieu entre m et m,. Je supposerai que la distance h soit , au contraire , très grande relativement aux épaisseurs e et e,, et je négligerai, dans les calculs suivans, r et r, par rappoit à h ; j'exclurai , par conséquent , le cas où l'élément w (le la surface de A serait en contact avec l'enceinte , ou en serait très peu éloigné.

Cela posé, concevons deux cônes, dont l'un soit circonscrit à m, et ait son sommet au point M, et dont l'autre ait M, pour sommet et soit circonscrit à m. Appelons & , l'élément de la surface de l'enceinte qui sera intercepté par le premier cône, et qui comprendra le point 0, ; et supposons que l'élément co comprenant le point 0 soit celui qui sera intercepté par le second cône sur la surface de A. Vu la orandeur de h par rapport à /■ et r, , on pourra prendre «y cos 6 et &', cos 6, pour les projections de w et a>, , sur les plans passant par 0 et 0,, et perpendiculaires à 00,. Si l'on prolonge les deux cônes à partir de a et «, jusqu'aux limites des couches superficielles de A et de l'enceinte, et que l'on appelle T et T, ces prolongemens , on pourra aussi considérer, sans erreur sensible , T et T, comme des cylindres qui auront pour bases o cas 6 et o), cos 6,. Les échanges de chaleur entre chacune des parties de T, , telles que m,, et chacune des parties de T, telles que m, auront lieu à travers les élémens m et w,. Je représenterai par Bdt la diminution de chaleur, positive ou négative, qui en résultera pour T pendant l'instant dt, et qui sera

DE LA CHALEUR. 5i

une partie du flux de chaleur Tadt, dont nous allons d'abord nous occuper.

(20). Je désignerai par \mclt la quantité de chaleur émise en tous sens par m pendant l'instant dt ; le coetFicient X étant une fonction de la température Ç de m au bout du temps t. Abstraction faite de l'absorption dans la couche superficielle de A , et de la réflexion intérieure qui aura lieu à sa surface, la portion de ILmcIt qui at-

teindrait a<, serait ^ -'ç—~—^mdt. , d'après lo n" 9, ou simplement

', , , - \nidt , en négligeant /■ par rapport à h. En vertu de l'absorption qui aura lieu dans le trajet de ma», cette portion de chaleur se changera en une autre "'. ,^ ' Yt?^^^ , dans laquelle Y est un

coeflicient moindre que X. Cette quantité Y sera une fonction de r qui deviendra nulle ou insensible pour toute valeur de r plus grande que l'épaisseur e de la couche supeiHcielle ; mais elle dépendra aussi de l'angle ô , parce que X était fonction de jc ou de /• cos ô , à cause de la température ^ , dont la variation par rapport à jc est très rapide et ne peut pas être négligée. En prenant pour m une tranche de T extrêmement mince, perpendiculaire à la longueur de ce cylindre, et ayant, conséquemnient, io cos G pour base, on pourra représenter par Q&) cos â la somme des valeurs de Ym, étendue au cylindre entier, c'est-à-dire, prise depuis r = o jusqu'à r = e, ou si l'on veut jusqu'à r= co , puisqu'au-delà de r = e, Y est zéro. Le coefficient Q dépendra encore de P j et la chaleur envoyée par T à <y, aura

pour valeur — '.,,"' Qdt , en faisant toujours abstraction de la

réflexion intérieui'e qui a lieu sur l'élément a. Pour y avoir égard, je suppose que la chaleur qui traverse cet élément sous l'angle d'incidence G soit une fraction a de la chaleur incidente. En multipliant la quantité précédente par a, on aura la portion de chaleur qui atteindra l'élément «, sous l'angle d'incidence S, ; et si l'on représente enfin par a, la fraction de cette cbaleur incidente qui traversera w, , on aura définitivement

Aa, aaii cos 6 cos é,

pour la quantité de chaleur émanée de T pendant l'instant dt , à travers l'élément œ, qui pénétrera la matière de 1 enceinte, à travers l'élément w, , et sera absorbée en entier par T,. On aura de même

«a, au, cos i cos 6, „ j ; — ; Lat,

pour la chaleur émise par T, pendant le même instant dt , a travers OD, , qui pénétrera dans À à travers at , et sera totalement absorbée par T. Mais ici le coefficient Z ne dépendra pas, comme Q, de l'angle d'incidence, parce que, par hypothèse, la température ne varie pas dans l'épaisseur de la couche superficielle de l'enceinte , de laquelle cette quantité de chaleur est émanée.

En retranchant cette dernière quantité de la précédente, on aura la valeur de Ddt; et en supprimant le facteur commun dt , il en résultera

„ etA, aa, COS ê COS 6, ,p. rw\ / \

A cause que l'on a négligé les dislances r et r, par rapport à h, cette valeur de D est la même que si les quantités de chaleur qui ont traversé a> et «, fussent parties des points même de ces élémens ; et, pour cette raison, la valeur de D serait encore la même si la chaleur éprouvait des changemens de direction en traversant eo ou a,. En général , deux séries de molécules calorifiques, parties du point M, et qui s'écartent très peu l'une de l'autre à une distance de a>, très grande par rapport à r, pourront diverger au-delà de cette distance, comme si elles fussent parties d'un autre point M' de A , ou même d'un autre point extérieur M', mais toujours situé à une distance r' de 0, très petite, comme la distance /' ou MO; de manière que si l'on néglige r' comme on a négligé r, cette divergence sera la même que si 0 eût été le point de départ.

Nous ferons remarquer, pour l'homogénéité des quantités, que Xmdt, et par suite Ymdt , exprimant des quantités de chaleur,

Qoj cos â^^ eu sera uoe aussi, et, coasëquemnient , Q sera une quantité de chaleur divisée par un temps et par une surface. Il eu sera de même à l'égard de Z.

(21). Lorsque les élémens o) et o), sont entièrement perméables à la chaleur, ou dépourvus de toute réflexibilité, sous tous les angles d'incidence, on a a= I et a, = i , quels que soient les angles 6 et 6,. Dans ce cas, on admet, comme un résultat de l'expérience, que les quantités de chaleur émises à travers un même élément de surface, sous diftërentes directions , diminuent à mesure que ces directions s'écartent de la normale , et sont entre elles comme les cosinus des angles d'incidence. Cela résulte , en effet, de la formule (i), à l'égard de l'élément a, appartenant à la surface interne de l'enceinte, puisque , dans ie cas de a, = i , cette formule ne contient plus que le facteur cos ô, qui dépende de l'angle d'incidence 6, ; mais il n'en est pas de même relativement à &>, à cause que, dans le cas de a = i, la formule (i) renferme encore, outre le facteur cos 8, la quantité Q qui peut dépendre de l'angle d'incidence 6. Cette loi du cosinus n'est donc démontrée, à priori , que pour un corps dont la température est supposée invariable ; pour un corps A qui s'échauffe ou se refroidit, elle ne me paraît pas entièrement hors de doute. Il serait à désirer que les expériences qui ont paru l'indiquer, fussent répétées avec soin , comme aussi il faudrait que la valeur de a. en fonction de G fût déterminée par l'observation , dans le cas général où la réflexibilité n'est pas nulle.

Relativement à un corps dont la température ne varie pas, et à l'enceinte en particulier, la loi dont il s'agit ne tient pas à ce que la chaleur émise par le cylindre T, à travers a,, a parcouru une distance plus ou moins grande et éprouvé une absorption plus ou moins considérable, avant d'atteindre cet élément. Cette distance et celte absorption sont les mêmes pour toutes les directions ; mais le cylindre T,, circonscrit à un élément donné û), , s'amincit de plus en plus à mesure qu'il s'éloigne de la normale ; sa base &>, cos 9, , ou la section perpendiculaire à sa longueur, diminue proportionnellement au cosinus de l'angle d'incidence , et conséquemment aussi la quantité de chaleur qu'il émet au dehors, quand elle traverse en entier l'élément &),. Mais, outre ce résultat évident, on peut encore prouver,

d'après le rapport entre les pouvoirs absorbans el emissifs, trouvé dans le n° i3, que la quantité de chaleur émanée de T, est toujours indépendante de la matière dont ce cylindre est formé, et ne peut changer qu'avec sa température.

En effet, désignons par U.m^dt la quantité de chaleur émise en tous sens par la partie matérielle w, pendant l'instant dt; soient f, la densité de m,, et cj, la mesure de son pouvoir absorbant. En appelant /), ce que devient la quantité p du n° lo, relativement à la matière de l'enceinte , à sa température ^ et à la distance r, , on aura , en vertu de l'équation (i) de ce numéro et de l'équation (3) du n° i3,

dp,=^^p,q,f,di\, n, =<y,FC.

De plus, Zv,cos ^,dt sera la somme des valeurs de p,n,m,dt relatives à toutes les parties de T, ; si donc on prend pour m, la tranche très mince de ce cylindre, perpendiculaire à sa longueur, qui répond au point M,, et dont l'épaisseur sera jeprésentée par »,, on aura m, = fiHift), cos G, , et Z sera la somme des valeurs de p,U, f>,yi, dans toute la longueur de T, , ou prise depuis r, = o jusqu'à r, = e,. En remplaçant n, par dr,, et la somme par une intégrale, on aura , par conséquent ,

Z^ J^^' U,p,f,dr,;

et en vertu des équations précédentes , cette valeur de Z sera la même chose que

z=.-fyç.dp,.

Donc, puisque le facteur ¥Ç ne dépend que de la température ^ , qui est constante par hypothèse, et en observant que l'on a yo, = i et p, = o aux limites r,= o et r,=e,, il s'ensuit que l'on aura Z=F(, lors même que la matière et la densité varieraient sensiblement dans l'épaisseur de la couche superficielle de l'enceinte.

Ainsi, la quantité Z ne dépend que de la température de l'enceinte, comme il s'agissait de le prouver; et l'on voit, de plus, qu'elle exprime le rapport du pouvoir émissif au pouvoir absorbant, qui est le même pour tous les corps, et qu'on a représenté ( n* i5) par la fonction F de leur température.

Cet le conclusion ne convient pas au corps A , dont la température varie dans l'épaisseur e de sa couche superficielle. Si cette température ^ était constante , c'est-à-dire égale à celle qui a lieu à la limite de cette couclie, et qu'on a représentée par u, on aurait Q = Fw; d'un autre côté , on aurait efTectivement ^ ^u, si u ne différait pas de la température Ç de l'enceinte. D'après cela, nous ferons

Q = F^.-|-?»(FC — F«); (2)

<p étant une nouvelle inconnue, qui sera uu nombre abstrait dont on ne pourrait calculer la valeur à moins de connaître les lois de l'absorption et de la température près de la surface de A. En supposant que des expériences ultérieures confirment la loi de l'émission propoitionnelle au cosinus de l'angle d'incidence, x'elativement à un corps qui s'échauflt" ou se refroidit, cette quantité (p sera indépendante de l'angle d'incidence; mais il faudra encore recourir à l'observation, pour savoir si elle varie avec la matière de ce corps. On verra dans la suite qu'elle ne dépend pas des températures.

(22). On ne doit pas confondre la quantité Ddt avec le flux de chaleur qui a lieu, pendant l'instant dt, de l'élément o) vers w, , et que je représenterai par ù^dt. La diminution Ddt de la chaleur de T est le résultat de l'échange entre T et T,. Le flux i^dt est l'excès de toute la chaleur émise par T vers «, et à travers co , sur celle qui traverse ù) en sens contraire , et qui résulte , soit de l'émission de T, à travers «, , soit de la réflexion qui a lieu sur «, quand a, n'est pas l'unité; la chaleur réfléchie provenant alors de celle qui tombe sur û), sous l'angle d'incidence ô,. Les deux quantités D et A ne coïncident que quand la réilexibilité de «, est nulle, ou la perméabilité complète, sous cette incidence, c'est-à-dire, dans le cas de a, = j, pour la valeur donnée de 6,. Mais je vais démontrer qu'en général la valeur complète de A est indépendante de a,, et se déduit, en conséquence de celle de D en y faisant a, ^ i ; ce qui donne, d'après la formule (1) ,

La quantité de chaleur émise par T à travers &> , et qui va tom-

ber sur &>, pendant l'instant dt, est le premier terme de cette formule, multiplié par dt , c'est-à-dire,

tcaut cos i cos 6, c\jf

Si l'on désigne par a^Ydt la quantité de chaleur émise de même par T, à travers &>, et qui va tomber sur a pendant le même instant dt , on aura aussi

^ «a, COS 6 COS ô, rfi.

J'appelle A'Pts?^ ce que devient cette quantité de chaleur lorsqu'on y ajoute la chaleur réfléchie par &>, vers et). Une partie akPdt de cette chaleur totale, émise et réfléchie, pénétrera dans A à travers cd ; et d'après les deux quantités précédentes, on en conclui'a

A «aa, COS^COS^, ^^ ,„

où il ne reste plus qu'à déterminer la quantité k. Pour cela , il est indispensable d'avoir égard, comme je vais le faire, au nombre infini de réflexions successives qu'éprouve chaque série de molécules calorifiques, en se mouvant dans un espace fermé de toutes parts.

(aS). La température Ç étant constante, il s'ensuit que la quantité a,P est la chaleur émise par T, de a, vers co , pendant l'unité de temps. Elle se composera d'un nombre extrêmement grand de séries de molécules calorifiques, qui vont des points de &), à ceux de w; je désigne par a,s la somme des molécules qui suivent la direction 0,0; la quantité z sera, ainsi que Z, indépendante du degré de perméabilité de 0), , de la matière de T, et de l'angle 9, , et ne pourra changer qu'avec la température ^ de l'enceinte.

Par le point 0, (fig. 4)> j^ mène dans le plan de la droite 0,0 et do la normale 0,N,, une droite 0,0», qui aboutit au point 0^ de la surface de l'enceinte , et soit telle que l'on ait