OO.N. =: O.O.N

Au point ()», j'élève la normale intérieure 0,Nj à la surface de l'en-

ceinte j puis, daos le plan de l'angle O.OsNa , je mène la droite O.Oj, telle que l'on ait

et qui aboutit au point O3 de la surface de l'enceinte. Par ce point O3, je mène encore une normale intérieure O3N3 à cette surface, puis droite O3O4 dans le plan de l'angle 0»03N3 , telle que l'on ait

une

O.OaNj = 0,03N3,

et qui se termine au point O4 de cette même surface. Je continue indéfiniment ces constructions , et je suppose que la ligne brisée OO.OjOsO^ etc., qui en résultera, ne rencontre la surface de A. en aucun autre point que O qui est son origine, ni une seconde fois en ce point 0.

De même que nous avons fait

oo.N, = e. ,

faisons aussi

0,0,N. = e., 0,03^3 = 63, OjO.N, = e,, etc.

et désignons par a,, «3, a^, etc., ce que devient relativement aux points 0,, O3, O4, etc., et aux angles 6,, 63, 64, etc. , la quantité a, qui se rapporte au point 0, et à l'angle G,. Les séries de molécules calorifiques qui traverseront la surface de l'enceinte aux points 0^, O3, O4, etc. , suivant les directions 0^0, , OjOj, O4O3, etc., auront pour sommes, pendant l'unité de temps, les produits a^z, etjZ , a.^z, etc.; le facteur z étant le même que précédemment, puisqu'il ne dépend que de la température Ç commune à tous les points de l'enceinte. Une portion (i — a,)a,z de la chaleur a^z incidente au point 0,, suivant la direction O^O, , sera réfléchie suivant la direction 0,0, et s'ajoutera à la chaleur a,z ; ce qui donnera une quantité de chaleur [«,-!-( i -a,)ajz suivant cette dernière direction. Une portion (i — ajass de la chaleur cCjZ incidente au point 0, suivant la direction O3O3, se réfléchira de même suivant la direction 0,0, ; une portion (1 — a,)(i — a,)a3S de cette chaleur (i — a,) a^z déjà réfléchie, se réfléchira une seconde fois suivant la direction 0,0 , et s'ajoutera à la quantité précédente

[«, + (i — a,) ajs; ce qui donnera, suivant cette dernière direction , une quantité de chaleur [a, + (i — ^,)<^^-\- (i — "^O (i — «t») «^s] z. En continuant ainsi indéfiniment , et faisant

+ (i ~ a,) (i — «0 (' — ='3) «4 + etc. = ^ ,

on aura Cz pour la somme totale, pendant l'unité de temps, de la série de molécules calorifiques qui suivent la dioite 0,0; en sorte que la pai'tie a,,z de cette série, qui est émise directement par T,, se trouvera augmentée par la réflexion, dans le rapport de ^ à a,. Il en sera de même à l'égard de toutes les séries de molécules calorifiques dont se compose la quantité de chaleur a,P ; et comme on a représenté par AP ce que cette chaleur devient quand on a égard à la réflexion, il s'ensuit que l'on aura k=zQ. Or, d'après la valeur de ^, on a évidemment

1 — ê = (i — a,) (1 — a^) (( — aj) (1 — ct^) etc.,

où l'on voit d'abord que cette différence i — ê ne peut être négative, puisque aucune des quantités a,, a^, a.^, a.^, etc., ne peut surpasser l'unité, ce qui rend tous ses facteurs positifs. De plus, si l'on désigne par «T la plus petite de toutes les fractions a,, a^, «3, o.^, etc. , qui ne sont pas zéro, et par n leur nombre, on aura

d'où l'on conclut généralement 1 — ê=o, puisque i — «Test une fraction et que n est infini. Il n'y aurait exception que si foutes les fractions a,, «a, «3, «4, etc., moins un nombre fini d'entre elles, étaient zéro, ou bien si elles décroissaient continuellement, à partir île l'une d'elles, et finissaient par devenir infiniment petites; car alors la limite S n'existerait pas; et l'on sait d'ailleurs qu'un produit d'un nombre infini de facteurs convergeas vers l'unité peut avoir une valeur finie et déterminée. Mais ce serait un cas mathématique, qui n'a pas lieu dans la nature, et dont nous pouvons faire abstraction. Nous aurons donc A == ^ = I ; ce qui fait coïncider avec la formule (3) la valeur de A exprimée par la formule ( j).

La valeur de k devra être modifiée, et ne sera plus égale à l'unité,

DE LA CHALEUR. 5g

dans le cas que nous examinerons plus bas , où l'un des points de la ligne brisée OO.OjOa etc., outre le premier, appartiendra à la surface de A .

(24). 11 sera facile de déduire, maintenant, de l'expression de à.dt, celle du flux total de chaleur qui a lieu pendant l'instant dt, suivant toutes les directions, à travers 1 élément ce),et qui a été représenté par Ycùdt (n° 17).

Pour f|ue la formule (3) convienne à toutes les directions de la droite 00, , autour du point 0, il faut que la surface de A soit convexe en ce point; car si elle était concave, il y aurait des directions dans lesquelles la droite 00, rencontrerait la surface de A en un second point; et la température correspondante étant variable et différente dei^, la formule (3) n'aurait plus lieu pour les angles 9 relatifs à ces directions.

Supposons donc le corps A convexe au point O; par ce point, menons un plan tangent à sa surface, qui laisse le corps entier d'un même côté; la valeur de Yc» sera la somme de celles de A , étendue à tous les élémens a, de la partie de l'enceinte située de l'autre côté, et terminée au plan tangent; d'ailleurs, cette somme s'obtiendra par une intégrale, dans laquelle on remplacera o), par l'élément diflërentiel de la surface de l'enceinte, qui répond au point 0, , et co, cos â, , par la projection de cet élément différentiel sur un plan perpendicu laire à la droite 00,. Donc, si l'on décrit du point 0 comme centre, et d'un rayon égal à l'unité , une surface hémisphérique terminée au plan tangent en 0 à la surface de A, et que l'on appelle ds son élément différentiel perpendiculaire à 00,, il faudra, à cause de 00, = A, mettre h^ds à la place du facteur &>, cos 6, de la formule (3), puis étendre l'intégrale de cette formule à tous les élémens ds de la surface hémisphérique. Or, ô étant l'angle compris entre la droite 00, et la normale OjN, si l'on désigne par 4 l'angle que fait le plan de ON et de 00,, avec un plan fixe mené par ON, on aura

ds = sin 6 r/âf/4 ;

et pour étendre l'intégrale à toute la surface hémisphérique, il faudra la prendre depuis 4 = o et Ô = o, jusqu'à 4 = 27r et 6 =^97. De cette manière, en supprimant le facteur co commun à A et Feu,

4o THÉORIE MATHÉMATIQUE

et observant que la formule (3) ne contient rien qui dépende de l'angle

•4/, on aura d'abord

r = - T'" a ( Q — Z ) cos e sin QrfG.

Donc, en vertu de la formule (2) et de Z := FÇ, et en faisant, pour abréger ,

- I '"^ st (1 — (p) cos 9 sin 9 <YÔ = n,

il en résultera finalement

T = ,1 (Fm — FO- (5)

(25). En vertu de cette formule, lorsque la température u sera devenue la même et égale à ^ dans toute l'étendue de A, on aura r = 0, quel que soit le coefficient n; le flux de chaleur sera donc nul en tous les points de la surface de A; et conséquemment, la température 'Ç continuera de subsister. La fonction FÇ étant indépendante des dimensions et de la matière de l'enceinte, de sa figure et de l'état de sa surface, il s'ensuit que si l'une de ces quatre choses vient à changer sans que ^ varie, le corps A conservera aussi cette tempéi'ature. Il en sera de même si l'on transporte A d'un endroit dans un autre de l'espace vide que l'enceinte termine, ou si on le place dans un autre espace terminé par une enceinte qui ait la température ( de la première. Si donc A est un thermomètre, et qu'il ait atteint la température invariable de l'enceinte, il continuera de l'indiquer, quel que soit l'endroit de l'espace vide où il sera placé; ce qui aura encore lieu lorsque cet espace sera rempli d'air ou d'un gaz quelconque, qui a pris la température de l'enceinte. Cela est conforme à l'observation, et peut être journellement vérifié. L'expérience montre aussi que si l'on augmente ou si l'on diminue subitement l'espace vide, le thermomètre intérieur ne s'élève ni ne s'abaisse ; mais quand cet espace renferme un gaz, celui-ci, en se comprimant ou se dilatant par le changement subit de son volume, abandonne ou absorbe de la chaleur, et le thermomètre monte ou descend d'un nombre de degrés diflërent, selon la nature du fluide, sa densité et sa température primitives, et la variation de son volume. Lors même que

l'enceinte s'éloigne à une distance immense de A, comme la distance des étoiles à la Terre, par exemple, son influence sur la température de A ne diminue pas; ce qui tient à ce que l'étendue à la superficie et l'intensité de la chaleur rayonnante émanée de chacun de ses points varient en raison inverse l'une de l'autre, c'est-à-dire, lune en raison inverse et l'autre en raison directe du carré de la distance.

La formule (5) montre aussi que la loi du flux de chaleur qui a heu à la surface de A, avant qu'il ait atteint la température finale, et par suite la loi de l'échauflement ou du refroidissement de A, sont mdépendantes en général de l'endroit que ce corps occupe dans l'espace vide, aussi bien que de la matière, des dimensions, de la figure de l'enceinte, et du deijré de réflexibilllé de sa surface. Je dis en général, car cela n'a plus lieu, non plus que la formule (5), lorsque la ligne OO.OjOj etc. des réflexions successives rencoutre une seconde fois la surface de A: dans ce cas, un même corps, que l'on place dans une enceinte fermée de toutes parts, s'échaufle ou se refroidit plus ou moins vite, et suivant des lois dlflërentes, selon le lieu qu il occupe dans cet espace, et quoique la température de l'enceinte soit partout la même.

(26}. Cette formule (5), à laquelle nous avons été conduits par la théorie, s'accorde avec l'expression du flux de chaleur qui résulte des lois expérimentales du refroidissement des corps dans le vide, trouvées par MM. Dulong et Petit; et en comparant l'une à l'autre, on en conclura la forme de la fonction Yu ou F^ de la température variable ou constante.

D'après les lois que nous citons, on a

r := À (jU — IJ.^). (6)

La température u est celle du corps A qui se refroidit ou s'échauffe, observée aussi près qu'il est possible de la surface, et pour laquelle on peut prendre la température qui a lieu à la limite intérieure de la couche superficielle d'où émane la chaleur rayonnante. On désigne, comme plus haut, par ( la température invariable de l'enceinte qui termine l'espace vide où le corps est placé. La quantité /W. est un nombre peu différent de l'unité, qui est le même pour tous les corps

et pour tous les états de leur surface, et dont la valeur est

Enfin, le facteur A dépend de l'état de la surface de A, c'est-à-dire de sa coloration et de son defjré de poli , et peut varier, par conséquent , avec le point 0 de cette surface, auquel l'expression de T se rapporte.

Ce facteur A ne change pas avec les températures 11 et ^; mais son expression numérique dépend du zéro de l'échelle thermométrique, de telle sorte que le produit de A et de la différence ^" — /xJ' , ou la valeur de F, ne varie pas avec ce zéro qui est tout-à-fait arbitraire. C'est ce facteur qui donne la mesure à\x pouvoir rajonnaiit de la surface de A, ou plus exactement de l'élément co de cette surface. Il atteint sa plus grande valeur relativement à l'état de cette surface, lorsqu'elle est entièrement dépourvue de réflexibilité; on ignore si cette valeur maocima du pouvoir rayonnant varie avec la matière du corps A; la valeur de A est zéro, dans l'autre cas extrême où la surface est imperméable et réfléchit toute la chaleur sous tous les angles d'incidence.

Si nous faisons

A = ng,

il faudra, pour que les formules (5) et (6) coïncident, que l'on ait

F« = g^" + G, FC = s^^S 4- C;

C et g étant des quantités inconnues de chaleur, indépendantes de la matière des corps, de leur température et de l'état de leur surface : C serait la mesure du pouvoir émissif, correspondante à uz=: — 00 , si la formule (6), donnée par l'expérience, s'étendait à des températures aussi basses que l'on voudra; et pour que ce pouvoir devînt nul ou insensible à de très basses températures (n° 8) , il faudrait alors que l'on eût C = o. Mais toutes les expériences que l'on peut faire étant relatives à des échanges de chaleur dans lesquels cette constante C disparaît, aucune observation n'en pourra jamais déterminer la valeur.

C'est seulement à raison du coeflicient n que le pouvoir rayonnant A pourra varier d'une surface à une autre : si des expériences

ultérieures montrent que la valeur maxima de A varie avec la matière du corps, il en faudra conclure qu'il en est de même à l'égard de la valeur de n, relative au cas de la non réflexibilité ou de a =: i ; d'où l'on conclura alors que la quantité (fi devra aussi dépendre de la matière du corps A qui s'échauffe ou se refroidit; mais, dans tous les cas, ces quantités a et (? seront indépendantes, aussi bien que A et g , des températures u et Ç'.

(27), Maintenant, supposons qu'un second corps A' soit contenu dans l'enceinte vide d'air où est placé le corps A , et dont la température sera toujours regardée comme invariable et représentée par l.

Considérons la série de réflexions successives qui aura lieu suivant la ligne brisée, partant du point 0 de la surface de A, et dont le premier côté 00, fait l'angle 6 avec la normale ON. Supposons, pour fixer les idées, que cette ligne ne rencontre la surface de A' qu'en un seul point , el que la rencontre a lieu au point 0'(fig. 5) de cette surface, entre la première et la troisième réflexion, qui se feront, comme précédemment, aux points 0, et O3 de la surface de l'enceinte ; en sorte que la deuxième réflexion, qui avait lieu en un point 0, appartenant à cette enceinte , se fera maintenant au point 0' de la surface de A'. Par ce point, j'élève la normale O'N'; les angles 0,0'N' et OjO'lN' seront compris dans un même plan , et égaux : je les représenterai par G', de sorte qu'on ait