TT J 0 I

On pourra considérer cette expression de la température extérieure, comme une somme de termes croissants par des différences infiniment petites , et ordonnée suivant les cosinus 'd’arcs proportionnels à t , croissants aussi par de semblables différences. La formule (4) de la page 43 1 de mon ouvrage sera alors une expression de la même nature, dont on pourra changer la partie variable en une intégrale définie, et qui s’écrira sous la forme

Elle exprimera la température u du globe, relative à la température ^ de l’espace au bout du temps ^, positif ou négatif, et correspondante à la profondeur x, supposée très petite par rapport au rayon de la Terre. Les constantes a et b qu’elle renferme sont les mêmes quantités que dans le mémoire. D'après ce qu’elles représentent, a \/'t est une ligne, et bx un nombre abstrait, ou b un tel nombre divisé par une ligne. Nous prendrons pour unités de longueur et de temps, le mètre et l’année. Si les valeurs de a et ^ sont celles qui ont lieu à l’Observatoire de Paris, on aura, à peu près, a =s. 5 et b = i.

Cela posé, appelons U la valeur de m à l’époque du maximum de température de l’espace, ou relative à ^ = o; nous aurons

'xbctx j

dê

Soient aussi h et // les valeurs de u — et qui répondent à la même époque et à x = o; on aura

h exprimera l’excès de la température du globe à sa surface, sur la température extérieure, et h! l’accroissement positif *ou négatif de U, qui répond à chaque mètre d’augmentation dans la profondeur ; et comme la différence des deux intégrales que h renferme est égale et de signe contraire à l’intégrale contenue dans h\ on en conclura

h' =^bh-,

ce qui est conforme à l’équation générale, citée à la page i6 du mémoire.

Pour effectuer la première intégration indiquée dans l’expression de 4, je fais

les limites relatives à la nouvelle variable^ seront toujours /=o et ;

en remplaçant la seconde intégrale par sa valeur ^ , et faisant , pour abréger.

il en résultera

/i= — A 4- (» •\-y)ydy

^ J O (i + 2J- -i- 2jr^) (i 4- ’

OU , ce qui est la même chose ,

^ ^00 dj 2Af"^00 dj-

J O i+4^1r^ ’^Jo (i (i+4Sir‘)'

On a identiquement

(ï+jr -h J") (ï 4-4^1r^) 4 + r + J'" I + 4fîr^ ’

par les règles ordinaires , on trouve

Cydj

/’oo dj I r<»

O i ~ 2 ’ y O I + 4Cir

/'OO cy‘dj- __ 1 /^OO Cdy

O I +4C^jr^~8^’ J O 1

et de ces diverses valeurs, il résulte finalement

ÔA

L’excès de la température du globe à sa surface, sur la température de l’espace à l’époque du maximum de celle-ci, était donc négatif, et la chaleur de la Terre décroissait à partir de sa superficie; ce qui montre que sa couche extérieure n’avait pas eu le temps de prendre toute la température extérieure. D’après ce que C représente, la différence h diminue, abstraction faite du signe, à mesure que l’intervalle de tempsasera supposé plus grand , c’est-à-dire à mesure que la Terre aura employé plus de temps à traverser la zone échauffée de l’espace. En prenant, par exemple, a. = looo, 5, ^ = I , cette différence h ne sera pas un i5o® de A, c’est-à dire qu’elle sera un peu au-dessous de 20 degrés, si A s’élève à 5ooo degrés.

On peut facilement déterminer des limites de U qui montrent que quand la profondeur x est un multiple considérable de æ y/a, sans cesser néanmoins d’étre très petite par rapport au rayon du globe, la différence ü — f* devient une très petite partie de A , et finit bientôt par disparaître. En effet, si nous faisons

or, il est aisé de voir que le coefficient de e—^zdz sous le signe /, ne peut excéder l’unité, abstraction faite du signe; l’intégrale contenue dans

la valeur de U, est donc comprise entre rb / e—-zdz , ou entre i ; et ,

par conséquent, la différence ü — jx est aussi comprise entre les limi-

tes D’après les données précédentes, et en supposant la profon-

deur X égale à 12000 mètres, la température ü ne différera de jU, en plus

ou en moins, que d’une fraction de A, moindre que — ^ — , c’est -à-

dire , de moins de | de degré seulement, si A est de 3ooo degrés. Je ferai remarquer qu’en développant suivant les puissances descendantes de x, Pintégrale que la formule précédente renferme, on obtient une série de termes dont chacun se réduit à zéro; ce qui signifie que cette intégrale, comme les exponentielles et beaucoup d’autres fonctions , n’est pas susceptible d’un semblable développement.

Au bout d’un temps t quelconque , si l’on désigne par k l’excès de la température de la Terre à sa surface, sur la température correspondante de l’espace, c’est-à-dire la valeur de m — ^ qui répond a x = o, on aura

- ô sin i9— -j

(Êv/T'+i)

1 cos/fl^

Cette intégrale ne peut pas s’exprimer sous forme finie; mais on obtiendra, delà manière suivante, une limite de la valeur de A-, indépendante de t. J’observe que le numérateur du coefficient de dô sous le signe f est

toujours moindre que la somme des quantités

dénominateur étant toujours positif, on aura donc, en grandeur absolue.

et si l’on fait, comme plus haut, cette inégalité deviendra

Jdjr

Mais on a identiquement

2 (i — g^)jy < + I 8g* (-; —j-)j 8g*jr-'’

(^ + jr 4- J''*) ( I + 4^tr i + jr+jr® i -fj- 4- j-" i — 4=!r^ > 4 4^^ ’

on a aussi

r (1 4- ^j)djr __ r

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