I -f jr +jr

V/TTPir+

-f const. ;

en passant aux intégrales définies, dont les limites sont j* = o et/ = oo , la différence de ces deux dernières intégrales aura — log pour valeur; et d’après les valeurs des autres intégrales définies, que nous avons déjà employées, il en résultera

^ 1^» 4 (^- logg“+ gM 1 — 2^)J-

Si é est un nombre considérable, cette inégalité se réduira, à très peu

près, à A’ ■< ^;eten prenant, comme précédemment, a=5,A=;i, a==iooo,

on en conclura que la différence entre les températures de l’espace et de la surface du globe, n’aura jamais excédé un de A.

Ces différents résultats , relatifs aux températures de la couche extérieure de la Terre, sont fondés sur la supposition que la chaleur spécifique et la conductibilité calorifique de sa matière , ainsi que le pouvoir rayonnant de sa superficie, sont indépendants de son degré de chaleur; ce qui rend constantes les deux quantités a et b. Or, celte supposition n’a plus lieu dans le cas des hautes températures ; les formules précédentes ne suffiraient donc pas s’il s’agissait de calculer précisément le degré de chaleur que la Terre atteindra, en traversant une zone de l’espace dont la température est extrêmement élevée; mais l’application que nous venons d’en faire n’est cependant pas inutile, pour mettre en évidence la marche du phénomène, et montrer comment le globe prendra une température qui différera plus ou moins, à la surface, de celle de l’espace, et qui s’étendra dans la couche extérieure, en décroissant aussi plus ou moins rapidement, selon que la Terre emploiera un temps plus ou moins considérable à traverser cette portion de l’^nspace.

Maintenant, considérons la valeur de u qui aura lieu à une profondeur quelconques, et au bout d’un temps extrêmement long , écoulé depuis l’époque du maæiinum de Ç, c’est-à-dire au bout d’un temps ^ positif et qui sera un très grand multiple de a. Pour une pareille valeur de i, la tempé-

rature extérieure Ç sera devenue stationnaire et égale à si donc on appelle v l’excès de u sur la température de l’espace, au lieu où la Terre se trouve au bout de ce temps on aura p = m — et si l’on fait, en outre,

, 2.Z* Azdz

I = — , do — 2 ,

il en résultera

Sl^a\ fl

TTt I

iV/f

ibz

zdz

Or, par le développement suivant les puissances descendantes de t, sous le signe y, et en dehors du sinus, du cosinus et de l’exponentielle, il en résultera pour la valeur de v une série très convergente dans ses premiers termes; et en négligeant les termes qui seront divisés par le carré ou les puissances supérieures de on aura

XZ

en sorte qu’il ne restera plus qu’à déterminer les valeurs de ces deux intégrales relatives à z, à quoi l’on parviendra, comme on va le voir, par la considération des exponentielles imaginaires.

On aura, en premier lieu.

£n faisant

dz.

z(i — dz-.

dj

et, pour abréger.

xy' — I

les limites de l’intégrale relative à^, qui répondent àz=o et z=oo , seront

J- = JC, et^ ='« ; de plus, on pourra prendre d’abord cette intégrale depuis / = O jusqu’à J- = 00 , puis en retrancher la même intégrale prise depuis J' =z O jusqu’à s=ûc,; par conséquent, il en résultera

En observant qu’on a

e—^ dr=-y7r, —f e ^djr—-^e ^/=— e** ;

O 2 dx J O dx 2û t

différentiant l’équation précédente une première et une seconde fois par rapport à x, et réduisant, on aura

ib' ' ay t

Faisons encore

r = 4r = a:dj^-,

les limites relatives kj-, , qui répondent à^s= o etj' = x, ,, seront o' et^^ s= I ; et d’après ce que x, représente, nous aurons

Cela étant, si l’on prend successivement y — i avec le signe -1- et avec le signe — , dans les deux dernières intégrales relatives à z et dans leurs valeurs, et si l’on fait disparaître les exponentielles imaginaires, au moyen de leurs expressions en sinus et cosinus d’arcs réels, on en déduira

Vt

zdz:

xX/tt Za'i

/*» / xz \

cos ( 2z* )e

O \ ay ty

Ces deux dernières formules renferment encore l’intégrale relative à j", que l’on ne peut pas obtenir sous forme finie; mais elle disparaît dans leur différence; et en retranchant l’une de l’autre, il vient

ce qui, joint à la première des trois équations précédentes, fait connaître les valeurs des intégrales contenues dans l’expression de et qu’il s’agissait de déterminer.

De cette manière, nous aurons

Près de la surface, et tant que la profondeur x sera très petite par rapport à rt \/i, il en résultera

comme à la page i6 du mémoire. Les quantités I et g ont alors pour valeurs

etX

bal V/ Ttl

aX

at^ 'ïït

elles satisfont à l’équation l = gb, citée à la même page; ce qui peut servir de vérification à nos calculs. Elles varient, comme on voit, en raison inverse de la puissance | du temps; la première est l’excès de la température du globe à sa surface même , sur la température de l’espace au lieu qu’il occupe; la seconde est l’accroissement de température de sa couche extérieure, correspondant à chaque mètre d’augmentation dans la

profondeur. Si nous supposons, par exemple,

nous aurons

ce qui différerait très peu de l’accroissement que l’on observe à Paris; et si la constante b est à peu près l’unité, la valeur de l serait aussi très peu différente de celle qui a lieu dans cette localité.

Mais l’accroissement de v cessera d’être sensiblement proportionnel à la

profondeur, lorsque le rapport ne sera plus une très petite fraction.

ay t

En conservant les données précédentes, si l’on fait x = 1000", et qu’on suppose ^ = I , on aura v = 32% au lieu dev =z 36% qui aurait lieu si l’accroissement de température était uniforme. L’équation ^ = o, qui détermine le maximum de t», se réduit à

et si b n’est pas une très petite fraction, on en déduit

z=za^il, v=z

«Al/; / t/ W(

pour la profondeur à laquelle il a lieu , et pour la grandeur de ce maximum. En employant toujours les données précédentes, ces quantités seraient (*)

Ainsi, il résulte de ces calculs que si la Terre a traversé, il y a cent mille ans, une zone de l’espace dont la température excédait de 4000* celle qui existe actuellement , et si cet excès, au lieu que la Terre a occupé successivement avant et après l’époque du maximum, diminuait suivant une progression

géométrique, dont le rapport est la fraction pour chaque intervalle de

temps égal au 40' de mille siècles , ou à 2600 ans, ce qui réduisait ce même excès à près de un degré, quand la Terre s’était éloignée pendant vingt mille ans du lieu de ce maximum; il en résulte, disons-nous, que la couche extérieure du globe aura prisa cette époque, éloignée de mille siècles de la nôtre, une température peu différente de celle de l’espace, qui aura pu suffire à la

(^) Voyez plus loin l’addition à cette note.

fusion de toutes les matières voisines de sa superficie; que cette chaleur, en décroissant continuellement à partir de la surface, n’aura pénétré que jusqu’à une profondeur peu considérable, eu égard au rayon de la Terre; et que depuis l’époque dont il s’agit , elle se sera dissipée au dehors en presque totalité, mais en diminuant beaucoup moins rapidement que la température de l’espace, de telle sorte que celle-ci soit depuis long-temps stationnaire, tandis que la couche extérieure du globe conserverait encore aujourd’hui une température variable, très faible à la surface et croissante jusqu’à une certaine limite dans le sens de la profondeur. Il faudrait qu’il s’écoulât encore looooo ans, ou que le temps t qui entre dans les valeurs de / et g fût devenu double, pour que ces quantités fussent réduites à peu près au tiers de ce qu’elles sont maintenant; et ce ne serait que dans des millions d’années qu’il ne resterait plus aucune trace, dans la couche extérieure du globe, de la chaleur excessive qu’elle aurait éprouvée autrefois.

Dans l’exemple que nous venons de considérer, il est évident que la température de cette couche extérieure n’a dû varier, d’une manière sensible, à raison de la température extérieure Ç, que quand la Terre a eu atteint la zone de l’espace où l’expression de Ç commençait à surpasser sensiblement sa partie constante Il s’ensuit donc que si l’on donne à i , dans l’expression de «, une valeur négative et qui soit un très grand multiple de a, cette température u devra être sensiblement constante; et c’est, en effet, ce que ncms pouvons vérifier.

Pour cela, soit t' un temps positif et très grand multiple de a, et supposons qu’on ait t — — jf'. Si nous faisons

les limites relatives à la nouvelle variable z seront z = o et z = qc ; et si nous développons suivant les puissances descendantes de les coefficients du sinus, du cosinus et de l’exponentielle, l’expression de u deviendra

r<Xi / XZ \ a\/t’j

n = ft-\ r / COSI ^ ) e ^ %dz

XZ

vbat'\/{Jo L \ \

en négligeant les termes qui auraient pour diviseur le carré ou une puissance supérieure de t\ Or, nous allons faire voir que cette formule se ré-

cluit à sa partie constante ft; en sorte qu’au degré d’approximation oii nous nous arrêtons, la partie variable qui subsisterait dans l’expression de la température relative à une très grande valeur positive du temps, disparaît dans celle qui répond à une très grande valeur négative.

En effet, soit

on trouvera d’abord, par un calcul semblable à celui qu’on a développé plus haut,

°° ^ al/7^ J — '

e '' zdz=z — = = / e ^ dj-\ — ,

4t/— i.at//'./ 4

\'^dz— — (i — V/ — 0

d’où l’on déduira ensuite

Xt

zdz— O,

J \ a^ty 8a]/t' S\^7.a^t'J ’

/ 00 . / arz \ al/t' ,j ^ . V . \ — v> j

I sinl 2z*q —)e '' z^dz-= = + ô(I^ r>)^ I e " dr ■

J O \ 8al/l' 8\ ^aaVy J :c' ’

et d’après ces valeurs, celle de m se réduit à u = /x,, comme on se proposait de le prouver.

A cause de l’exponentielle contenue sous le signe f dans ces deux dernières intégrales, elles doivent être pulles pour a:= oo . Leurs expressions satisfont, en effet, à cette condition; car , d’après une série connue, on a

et d’après ce que x' représente, si l’on substitue cette valeur dans les formules précédentes, elles se changent en des séries qui ne contien-

nent que des puissances négatives de x, et qui s’évanouissent, en conséquence, quand on y fait x = oo .

Dans l’expression de v relative à une très grande valeur de t, positive ou négative, nous avons réduit sous le signe f, les diviseurs

è*-f- — ^20 -j- ^ et I 4<5t*0*, à et à l’unité, après y avoir mis à la

place de 0 une autre variable divisée par dh«. Mais, aa étant aussi un grand nombre, on pourrait craindre que la réduction de i + 4®^*0* à l’unité ne changeât notablement la valeur de l’intégrale. Or, on peut facilement s’assurer que, par-là, cette intégrale est à peine diminuée d’un centième de sa valeur, quand on prend, comme précédemment,

un vingtième pour la fraction

En effet, en réduisant seulement le premier diviseur à et appelant T l’intégrale relative à 0, son expression sera de la forme

oo(Pcos<9 -f- Qsin/9)</9 I -f-4cê’6»

où l’on désigne par P et Q des fonctions de 0 qui ne contiennent pas le temps t. Cela étant, faisons

T' = J* (Pcos tS -f- Q sin t6)dS ;

en différentiant 2W fois de suite, par rapport à il vient

= (— i)" f (P cos <9 -f- Q sin <9)9*"n?9 ; ai® J O

donc, à cause de

y = I— 2***9*-}- 2‘^«‘*9^— 2®<*®6®4- etc. ,

il en résultera

T = T'-f 2*«* -4- -f etc.

' di^ di^ '

D’ailleurs, si l’on représente par R une quantité indépendante de on a

r = Ri

pour la valeur approchée de T', à laquelle on s’est arrêté; au moyen de quoi la valeur précédente de T devient

T=T'(,+ I.3.5. ~+ I.3.5.7.9. j‘ + etc.);

et quand on fait ^ ^ , la quantité comprise entre les parenthèses est

une série très convergente dans ses premiers termes, dont la valeur numérique excède l’unité d’à peu près un centième.

Note C,

Soit U la température d’un point quelconque M de la Terre, provenant de sa chaleur d’origine, au bout d’un temps t écoulé depuis l’époque de son état initial. Supposons constante, la température extérieure; prenonsla pour le zéro de l’échelle thermométrique ; et considérons la Terre comme une sphère homogène, dont la surface a partout le même pouvoir rayonnant. La valeur de«, en fonction de t et des trois coordonnées de M, aura pour expression cette série à double entrée :

= Re

-f- etc.

-f- etc.

4 etc.

-|- etc.

Le rayon du globe est représenté par Z; les constantes a et Z> étant les mêmes que dans le mémoire, a \Jt est une ligne, et bl un nombre abstrait qu’on désignera par C; les quantités A, A,, etc; A', A', etc.; etc., sont aussi des nombres abstraits dont les valeurs sont toutes réelles. Dans la ^2“"‘ ligne horizontale, les quantités A^"^, A^"^, A'"\ etc., sont les racines positives d’une équation transcendante L == o , qui contient b et l’indice n ; le coefficient est une fonction de de la racine A^"\ des deux indices n et i, et des trois coordonnées polaires du point M, savoir, de sa distance r au centre de la Terre, et des deux angles qui déterminent la direction de ce rayon vecteur. L’expression deR-"^ se conclut de l’étal initial du globe, c’est-à-dire de la valeur de u en fonction de ces trois coordonnées , qui répond à Z = o.

En particulier, les coefficients R, R, , R,, etc. , de la première ligne sont indépendants des angles relatifs à la direction de r, et leurs expressions sont les mêmes que si la chaleur initiale de chacune des couches sphériques du globe , concentriques et d’une épaisseur infiniment petite, avait

été distribuée uniformément dans cette couche. On démontre aussi que la plus petite des quantités A, A,, A», etc., relatives à cette même ligne, est la plus petite de toutes les racines de l’équation L = o. En supposant que A soit cette racine minima, il s’ensuit que le premier terme de l’expression de U sera celui qui décroîtra le moins rapidement, de telle sorte qu’avant que tous les termes se soient évanouis par l’accroissement du temps t, et que la Terre ait pris, dans toute sa masse, la température extérieure zéro, il y aura une époque à laquelle la valeur de u se réduira sensiblement à

U = Re .

- En même temps, on a, aussi à très peu près,

Fr' représentant la température moyenne initiale de la couche dont le rayon est r'.

A partir de cette époque, la température u décroîtra en progression géométrique, pour des accroissements égaux du temps t. Dans l’hypothèse que l’on a faite de l’homogénéité, c’est-à-dire abstraction faite de la différence des valeurs de aet Ae b en différents lieux; cette température sera la même pour tous les points également éloignés du centre. Sa valeur au centre même , ou relative à r = o , sera à sa valeur à la surface, ou relative à r=Z, comme ê est à l’unité. Enfin, à une distance x de la surface, très petite par rapport à /, on aura, à très peu près,

1/ = B (i bx) e ,

en remettant pour Q sa valeur bl, et en faisant, pour abréger,

a.’TT

bP

r'Fr'^~dr=B.

On suppose, à la page i6 du mémoire, la Terre parvenue actuellement à cet état qui précède son refroidissement total, et qui répond à un temps t pour lequel a\/t est devenu un multiple de Z, tel que l’on puisse négliger la somme de tous les termes àeu, moins le premier, par rapport à ce premier terme. Mais il faut observer qu’à raison de la grandeur de /, cela ne peut avoir lieu qu’autant qu’il se serait écoulé , depuis l’état initial

du globe, un nombre immense de siècles; en sorte que pour un temps t beaucoup moindre, mais encore extrêmement long, on doit employer la somme de tous les termes de m, au calcul de ses valeurs numériques; ce qui changera entièrement les lois de leurs variations.

Pour simplifier la question , je supposerai qu’à l’origine, ou quand t était zéro, tous les points du globe situés à égale distance du centre, étaient également échauffés; il en sera de même à toute autre époque; et l’expression de u se réduira à la première ligne horizontale, c’est-à-dire à sa partie indépendante des deux angles qui déterminent la directioa du rayon vecteur r de M. D’ailleurs , pour /? = o , on a

,, , .sinAj ,

[bl — I ) (- cos Ai = O,

pour l’équation L = o, dont A, A,, A», etc., sont toutes les racines positives; et parce que bl est un très grand nombre, on en déduit

Ai = jV*,

en négligeant les termes qui ont pour diviseur une puissance de hl supérieure à la première, et faisant, pour abréger,

de sorte que a soit une fraction très peu différente de l’unité. Au même degré d’appoximation , la valeur correspondante de R, sera

Ri

2c« . pi

r'Fr' sin

iTretr

dr'.

Par conséquent , nous aurons

— cos if') r'Yr'dr' ,

en faisant aussi , pour abréger,

cLica^ l a'!r{d r) «5r(r'-f-r) ,

et la somme 2 s’étendant à tous les nombres entiers t, depuis i = i jusqu’à J = CO , ou, si l’on veut, depuis i — o jusqu’à f = oo , parce que le terme relatif à t = o est zéro. Or, d’après une formule connue, on a

e cosniQzdz -,

par conséquent , l’expression de u pourra se changer en celle-ci :

U— — —=C f “^cosiVp -f- 2flz) -f- 2!e '‘^cosi(fi — afz)

’TTj O J —00

— - Se“'‘^cosi(p'+ 29z) — 2e"~'‘*'cosi (p' — 9M)'\e~^^r'Frdrclz,

OÙ l’on représente par cT une quantité positive, que l’on fera nulle ou infiniment petite, après avoir effectué les sommations indiquées par 2, et qui est introduite ici afin qu’on puisse, au moyen de l’exponentielle e~'^, considérer les séries périodiques de cosinus , comme les limites d’autres séries convergentes.

Cela posé, cd étant une quantité réelle et indépendante de i, on a

2Se '"^cos ia z=.

Si donc on fait , par exemple ,

I — 2e “^^cosai-l-e

il en résultera

20Z -f- P = û) , dz =

[ze-'^cosz(p -j-2ez)]e ^ Vz = -f- ^ Lf

du

("—ty

dt)

^cosa-{-e~'^^

Or, le numérateur du coefficient de dco sous le signe /, s’évanouit quand est infiniment petit ; ce coefficient s’évanouit donc également, excepté pour les valeurs de &>, qui font aussi évanouir le dénominateur, et qui sont les valeurs de cette variable, infiniment peu différentes de zéro ou d’jin multiple de 27t; par conséquent , si l’on désigne par n un nombre entier, positif, négatif ou zéro , et si l’on fait

» = 2/l7r -f- jr,

on pourra traiter la variable/ comme un infiniment petit, positif ou négatif, et décomposer l’intégrale relative à jd en une somme étendue depuis nz= — 00 jusqu’à tz = co , d’intégrales relatives kj'. En considérant ainsi J' et J comme des infiniment petits, nous aurons

(«— p)* (2WW —

I — e“^‘^=2<t', I — 2e~“*^ co3« -f- iJ'’ 4-^®, e =e 49’ .

l’intégrale relative à &> deviendra

i'dy

le

4fl*

(le plus celle qui se rapporte à j- s’évanouissant avec S, dès que j a une valeur finie, positive ou négative, on pourra maintenant l’étendre depuis y — — CO jusqu’à^ = 00 ; on aura alors

00 ^dj

et l’on en conclura

[se“'^cosi (p 4- 2Ôz)]e ^'dz=. ~

{ini — fY 49»

ün obtiendra de même les intégrales relatives à z des trois autres sommes 2 que contient l’expression de laquelle deviendra, en conséquence,

rirdr’}

ou bien, en séparant de la somme 2, le terme qui répond à n = o et réunissant deu. à deux les termes relatifs à des nombres n égaux et de signes contraires, on aura finalement

/ il fl.

Ct\/ TT P ^ \ 43’ f, 43’

et ÎT

(attT +f)’

r'Fr'dY

(2nT 4- p')'

zlrQ

ilrb j O

r'Fr'dr

r'Fr ;

les sommes

2 s’étendant seulement aux nombres entiers et positifs n , depuis n = i jusqu à 7^ = co . .1/1

Tant que a sera très petit par rapport à Z, ce qui rendra 6 une très petite fraction, les sommes 2, et par suite cette expression de u, seront des séries extrêmement convergentes; tandis que 1 expression de u dont nous sommes partis était, au contraire, une série très convergente pour

les valeurs de tiV* très grandes par rapporta/.

On peut facilement vérifier que cette dernière équation se réduit a u— quand « = o. En effet, si l’on suppose « infiniment petit, 8 le sera aussi ce qui fera d’abord disparaître tous les termes des deux sommes 2. Ue plus, dans la première partie de w, le coefficient de df sous e sig »

vanouit également, excepté pour les valeurs de 7*' infiniment peu différentes de r; en faisant donc

et par conséquent

rz=r + z, dr'=dz,