CHAPITRE III

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT CAS PARTICULIER DES ONDES PLANES

21. Nous avons Iroavé {§ 6) pour représenter les ondes des équations renfermant des fonctions arbitraires du temps et des coordonnées.

Nous allons choisir pour ces fonctions une forme particulière et écrire

Ç = A^ cos pt -}- Aj sin pt, etc.,

Quand il est possible de mettre Ç, -ij, C sous cette forme, A^ et Aj étant fonction seulement de œ^ y, z, on dit que la lumière est homogènç.

Or, d'après le théorème de Fourier, on peut mettre toute fonction du temps sous la forme d*une somme de pareilles expressions, autrement dit une lumière quelconque est susceptible d'être considérée comme résultant de la superposition d'un très grand nombre de lumières homogènes. D'après

ce théorème on a en effet :

Ç = /* (^) = / [cp^ (z) C08 zi + ?2 {^) ^^^ ^^] ^^'

Nous poserons donc :

1 = k^ cos pt -\- A2 sin pt^ etc.,

ce qui revient à considérer séparément une de ces lumières homogènes.

22. Les équations différentielles auxquelles doit satisfaire^ sont linéaires, à coefficients constants et réels.

D'après les propriétés bien connues de ces équations, en

changeant t en t — r- dans la solution

Ç = A| cosp^ -f" ^2 sinp/, nous obtiendrons encore une solution :

l =z ^^ cos (pt — I) + ^2 sin P^ — | = A^ sinp^ — A2 cosp^

De ces deux solutions nous en déduirons une autre, en ajoutant à la première la seconde multipliée par y/ — i

5 = A^ (cos pt + V — ^ sin pt) — V — 1 ^à (cos pt -f- V — i sin pi)

= (A^ — v/^AjjeV^^^'"

23. Inversement, si nous trouvons une solution imaginaire de cette forme, nous en conclurons que la partie réelle et la partie imaginaire satisfont séparément aux équations.

Il nous sera donc permis de conduire le calcul en nous