CHAPITRE VII

89. Étude de Téquation fondamentale. — Reprenons Téquation fondamentale, et supposons que la lumière soit homogène, c'est-à-dire que Ç ait la forme particulière :

1=1^ cos pt -j- ^2 ^^" P^

Ç,, Çj ÏÏ6 dépendant que de œ, y, z. Comme Téquation fondamentale ne contient pas le temps, l'expression suivante, obtenue en changeant / en f ^ — — J) vérifiera aussi Téquation

1 = 1^ sin pt — Çj cos pt

et, l'équation étant linéaire, elle admettra encore comme solution :

expression obtenue en ajoutant à la première solulion la

seconde multipliée par V^— — T.

La valeur de l correspondant au phénomène physique sera la partie réelle de celte dernière solution.

Posons :

Alors ;

dt^

Remplaçons dans Téquation fondamentale

et supprimons le facteur e^-*''*, il vient :

ou :

Posons, pour abréger, ^ = a, ceci pourra s'écrire :

Nous avons ainsi à considérer deux équations. Ces équations rappellent par leur forme celle de Laplace AS = o qui défînit le potentiel newtonien.

90. Nous allons tâcher de faire ressortir les relations qui peuvent exister, en raison de cette analogie, entre les fonctions Ç et le potentiel newtonien.

A cet effet, supposons que Ç ne dépende que de t et de r, r

ÉTUDE DE l'équation FONDAMENTALE 125

étant défini par régalilé :

r* = 0?* -f" y^ 4" '^** D*après une transformation bien connue :

rf/^ "~ dr^'^ r dr

En posant $ = ^> cette équation se ramène à la forme de Téquation d'une corde vibrante :

^— va — df' "" dr^

dont Fintégrale générale est, comme on le sait :

<p = /• (r - VO + /•, (r + V<).

Par suite :

/(r-\t) A(r + VO

D'après la forme de Téquation différentielle, / et f^ en sont des solutions particulières.

Nous avons supposé que :

Pour qu'il en soit ainsi, comme Iq est seulement fonction

de r, il faut que -^ se réduise à f [r] é^- * ''^ ce qui

exige que :

iSti PRINCIPE DE HUYGHENS

coniine on a :

-*^-«$'^ -•— ar

D'où :

Celle expression vériûe Téqualion :

A5 + xn = o ; il en est de même de la foncUon :

et de la suivante :

obtenue en chungeanl a en — a, puisque Téquation ne contient que a^.

Enfin les parlies réelles et imaginaires de l^ et l^ oont séparément des solutions, ce qui nous conduit finalement aux solulions :

- cosar ^ sinar

La seconde de ces fonctions présente une circonstance particulière, qui doit fixer notre altenlion. Tandis que toutes les autres deviennent infinies pour r = o, celle-ci reste finie et égale à a pour r = o ; de plus, Ç est très pelit pour r très grand.

ÉTUDK DE l'équation FONDAMENTALE 127

Il semble donc que nous puissions salisfairo à loules les conditions du mouvement lumineux en prenant :

- sinarcosp^

Or, si la fonction était ainsi représentée à Torigine du temps, le mouvement lumineux se continuerait indéfiniment sans exiger l'intervention d'une énergie étrangère. Cette conséquence nous avertit immédiatement que les solutions de cette forme ne peuvent convenir à Ja question. Nous reviendrons plus loin sur ce point.