Reportons-nous à Ja solution
Soient un certain nombre de points fixes ayant pour coordonnées a?,, y^, z,..., Xi, xfi, Zi,„, a?;», y;,, ^;,. Soient r^,...r/,... Vn les distances du point mobile [x, y, z) à chacun de ces points fixes.
Nous aurons comme solutions particulières de notre équation :
A (r. - VQ c A (>•» - V Q
L'équation étant linéaire, la somme de ces fonctions sera
<28 PRINCIPE DK HUYGHENS
aussi une solution :
L*équation de Laplace
AÇ = o
admet comme solutions :
et par conséquent :
'* nii
Quelles que soient les constantes w/, î est alors le potentiel des masses m^^ /Wo... m^ situées aux points {x^, y^^ z^) ...
V^/i» Vif» ^n)'
Nous voyons que Tanalogie est complète.
Nous pouvons dire en eiïet qu'aux points fixes se trouvent des masses attirantes, la loi d'attraction étant telle que le potentiel soit représenté par :
92. Dans Télude du potentiel newionien, on passe du potentiel d'une masse attirante isolée à celui d'un volume attirant et d'une surface attirante ; ces potentiels vérifient encore l'équation de Laplace.
Nous allons procéder de même :
Soient [x^y,z) les coordonnées du point mobile, [x\ y*, z')
ÉTUDE DE l'équation FONDAMENTALE 129
celles du point attirant, r leur distance :
r*=[x- œf + (y jO» -j- (â- - z']
Soit dt' l'élément de volume attirant dont le centre de gravité est au point [x', y', z"). Considérons l'expression :
la somme étant étendue à tous les éléments du volume attirant.
L'élément rfr' est multiplié par une fonction de (t — =j)?
cette fonction variant d'ailleurs d'un élément à l'autre, puisqu'elle dépend de [x\ y\ z\ Posons pour abréger :
il vient :
^ vériGera la relation
En effet cp dépend des coordonnées x\ y\ z' et (a?, y, z) et aussi de t ; mais, si pour un moment nous laissons les coordonnées [x\ y\ z') constantes, cp sera seulement une fonction
de ( ^ — — j divisée par r. Si le point (a;, y, z] est extérieur au LUMjàHB. n. — 9
130 PRINCIPE Dt; ilUYGHENS
volume attirant, (p reste uni et nous aurons
puisque nous pourrons différencier sous le signe y . De même : et par conséquent :
Donc \ satisfait à Téquation fondamentale en dehors du volume attirant, tout comme le potentiel newtonien satisfait à Téquation de Laplace.
93. A rintérieur du volume attirant le potentiel ne vérifie plus Téquation de Laplace, mais celle de Poisson.
Pour savoir ce que devient ~| •••> etc., à l'intérieur du volume attirant, nous ne pouvons plus différencier sous le signe /, parce que (p devient infini pour r = o.
Posons :
La diflérence <p — cp^ ne.deviendra plus infinie pour r = o, puisque le numérateur s'annule en même temps que le dénominateur.
