P - <p,) dt
Gomme <p — (p^ reste uni, nous pouvons diiïérencier sous le signe / et écrire :
^ ^ dt^ dt^ "~J \dfi di^ ) '^^
AÇ — AÇ, = r(A(p — A(p<) di\
Or:
Acp
y^di^
D'où:
Ajoutons membre à membre (1) et (3) d'une part, (2) et (4)
de l'aalre :
dfl~j dl
di*
A5 = f, r § d-:' - Ar.r {x', y\ z\ t) .
relation qui est la généralisation de Téquation de Poisson et qui peut s'écrire encore :
94. La même généralisation peut se faire dans le cas d'une surface attirante.
Soit c?(i)' Télément de surface ayant pour coordonnées
En dehors de la surface attirante, Ç satisfait à Téquation fondamentale et est continu ainsi que ses dérivées. Sur la
surface môme, le potentiel newtonien est continu quand on
dW traverse la surface, mais non sa dérivée 3- •
an
En deux points infiniment voisins situés sur une môme normale, mais, de part et d'autre de la surface, les valeurs de
— diffèrent de 47:8, 8 étant la densité superficielle.
Posons :
^ :.jm-^i£ii) ,^> = J,.^<,
ÉTUDE SUR r/ÉQUATION FONDAMENTALE 133
5, sera le polenliel newlonien de la surface supposée recouverte d'une masse attirante ayant pour densilé / (a? , y\ z\ i)
\ — \^ =f{^ - ^i) du>\
^ — (p^ demeure fini pour r = o : par conséquent ; — 5^ est continu ainsi que ses dérivées, puisque Ç — Ç^ et Ç^ sont continus ; il en est de même de leur somme Ç.
D'autre part
cr^ d(i^l,) cil,
dn dn •" dn
Or — ^— ^ est continu ; mais -r-^ est discontinu et, quand
on franchit la surface, subit unsautbrusquede47r/*(a7',3/',<3^, i)\
il en sera donc de même de -7—
dn
Cette remarque a une grande importance au sujet de l'application du principe de Huygens, et donne tort à Poisson dans sa controverse avec Fresnel. Poisson voulait en effet que les équations appliquées au cas d'un poinl extérieur fussent aussi valables pour un point intérieur, exigence qui ne peut se justifier. Poisson aurait dû d'autant moins tomber dans cette erreur que lui-môme avait montré que le potentiel d'une sphère n'est pas représenté par la môme fonction en dehors et en dedans de la sphère.
On sait que les fonctions qui vérifient l'équation de Laplace AÇ = o jouissent des propriétés suivantes (principe de Dirichlet) :
Étant donnée une surface fermée, si une fonction s'annule sur toute la surface et satisfait en tout point extérieur à.
134 PRINCrPK DE HUYGHENS
Téquation de Laplace, cette fonction est identiquement nulle.
Si la fonction doit prendre sur la surface des valeurs données ^0, il y aura une fonction et une seule satisfaisant à Cette condition.
Cette propriété ne peut être étendue aux solutions de l'équation :
^ + a^AÇ = o.
sinoiT* En effet, prenons par exemple la fonction . Cette fonction vérifie l'équation, elle s'annule sur la sphère r = - et cependant n'est pas nulle identiquement.
Pour que le principe de Dirichlet pût se généraliser, il faudrait que a^ fût négatif.
