Envisageons maintenant Téquation
Considérons un volume limité par une surface fermée, sur laquelle on ait constamment Ç = o ; supposons que pour < = o,
Ç = o et -T- =: o, la fonction \ étant une solution de l'équation : Ç sera identiquement nul.
En effet, prenons l'expression :
w=l/[(l)"+v. Kl)' +(!)"+ (1)1]..,
la somme étant étendue à tous les éléments du volume.
dt " \dt di» '^ Zj dxdt dx) '*''■
étcde'^sor l'équation fondamentale 135
D'après le théorème de Green,
j2jd^d^t'^'=J-dtd'n '^'^ -J dt ^^'^'-
Mais sur la surface Ç = o et ~ = o : donc la première intégrale est nulle et il reste seulement
dt
-Jt (H - -'0 -"■
la parenthèse est nulle identiquement ; donc W = C*.
Pour < = 0, W est nul par hypothèse.
Par conséquent W est identiquement nul. Comme le coefficient de rfr dans cHiV est une somme de carrés, il faut que chacun de ces carrés soit nul : c'est-à-dire que
dt dx dy dz '
autrement dit que \ soit identiquement nul.
Supposons maintenant qu'on donne les valeurs que prennent
Ç et ^ en chaque point du volume pour t = o\ soient par
exemple Ç = a, — .= p, a et p étant des fonctions des coordonnées (a?, y, z] , el la valeur de \ sur la surface limite : Ç = y Y sera une fonction de (a?, y, z, t) ; supposons de plus qu*à rintérieur du volume Ç vérifie Téquation :
f étant une fonction donnée.
136 Plil3(CIPe DE HrTGHCCS
Le problème est déterminé et il existe une seule foDctioD l rempli^ant ces diverses conditions.
Admettons en effet qu'il y en ait deux, ; et S|, de soKe que pour l = o
sur la surface :
et que :
^-V»AÇ, =4,cVV(a;,y,^,<).
11 est facile de voir alors que la fonction \ — \^ jouit des
propriétés suivantes :
Pour / = 0, Ç — Ci est nul ainsi que sa dérivée — ^—7:^ — ^'
at
Sur toute la surface
et enfin
55^iy=ii^ = v^A [i - 1,)
Cette fonction est donc identiquement nulle et Ç == Ç|.
Il est probable, sans qu'on ait pu encore le démontrer, qu'il existe toujours une solution.
Si nous considérions le volume extérieur à la surface fermée, en ajoutant la condition que ; soit nul à Tinfîni, le théorème serait vrai encore pour ce volume entier.
Il peut donc être étendu à tout l'espace et énoncé comme il suit :
ÉTUDE DE l'équation FONDAMENTALE 137
TnÉORÈME. — Si une fonction l vérifie Téqualion :
que pour < = o, on ait en tout point de l'espace
et que Ç s'annule à Tinfini, cette fonction Ç est entièrement déterminée.
