Supposons maintenant que l (*) soit de la forme
Ïq étant une fonction de [x.y^z). En posant a = ^> Téquation fondamentale (première forme) devient :
(1) AÇ + a^Ç = o.
Considérons la fonction :
Cette expression représente le potentiel d'une masse attirante ayant une densité f [x\y\z') et la loi d'attraction étant
telle que le potentiel de la masse unité soit *
ï satisfait, à l'équation (1) et, comme cette équation ne dépend que de a^, il en sera de même de :
5 = l 'y^^'^'^'^^^'^^' dT'.
(*) Inulile de rappeler que, pour Tinterprétatiou physique des expressions imaginaires qui entrent dans ces équations, on n'en doit conserver, conformément aux conventions faites plus haut, que la partie réelle.
iM) PRINCIPE DE HUYGHENS
La somme
vérifie aussi l'équation : elle renferme deux fonctions arbitraires; il semble donc qu'elle doive convenir à la question. Mais il n'en est rien, comme nous allons le montrer.
Soit, en effet, une source de lumière homogène ; prenons pour origine du temps l'instant où commence le mouvement. Ce mouvement étant périodique, pour t > o, f sera de la forme :
pour ^ < o, on a /* =r o.
Supposons que t soit assez grand et r assez petit pour que
^ — - > o, où en d'autres termes, que le régime soit établi, alors :
a doit avoir le signe — ; c'est donc seulement la première intégrale qui convient à la question. C'est pour cette raison
que la solution ^ ne convient pas à la question,
ainsi qu'on l'a expliqué plus haut.
Nous étudierons donc en particulier le cas où la loi d'attraction est telle que le potentiel de la masse 1 placée au point
[x y y\ z") soit à une distance r égale à
g-V/-4ar
98, Principe de Huyghens. ~ Enpoursuivantrétudedes analogies que présentent les fonctions 5 avec le potentiel newtonien, nous pourrons en déduire, ainsi que Ta fait pour la première fois Kirchhofî, le principe de Huyghens comme une généralisation d'une conséquence du théorème de Green.
Rappelons d'abord Ténoncé de ce théorème.
Considérons un certain volume T limité par une surface fermée S : soient rfr un élément du volume T, dia un élément delà surface S; r est la distance du point {x\ y\z') au centre de gravité (x, y, z) de l'élément diù de la surface qui limite le volume. Les intégrales doubles doivent être étendues à tous les éléments c/o) de cette surface ; les intégrales triples, à tous les éléments d-z de T.
Deux cas sont à distinguer :
1« Le point [x\ y\ z) est extérieur au volume T ;
2® Le point [x\ y\ z) est intérieur au volume.
Je conviens enfin de désigner par Ç' la valeur de \ au point (a?', y\ z'). On a, d'après le théorème de Green :
si les fonctions ^ et cp sont finies et continues ainsi que leurs dérivées à l'intérieur du volume T.
Supposons maintenant que, ^jouissant encore de toutes ces propriétés, <p devienne infini en un point [x\ y\ z') de l'intérieur du volume, mais de manière que lim cpr = 1 pour r=-.o. L'énoncé du théorème doit alors être modifié et il faut écrire :
V étant la valeur de Ç pour r = o.
Ui
PRINCIPE DE HUYGHBNS
Pour appliquer ce théorème au cas qui nous occupe, supposons que l vérifie Téquation :
et que :
AÇ + a«Ç = o
r étant la distance des deux points {x\ y', z^ et (a?, y, z)^ on aura bien :
lim (pr = 1 pour r = o.
Nous aurons encore :
Aop -j- a^cp = o.
Multiplions (1) par <p, la seconde par — Ç et ajoutons :
<pAÇ — ÇAîp = 0.
Dans la formule de Green, Tintégrale du second membre disparaîtra donc, et il restera :
dn ^ dnj
— 47cÇ'
0, si le point (a?', y', z') est extérieur ; — 4?:^', si le point est intérieur au volume T.
Nous pouvons d'ailleurs écrire, en permutant les accents :
/(fS-^i)"»-
— 47rÇ
Ç' sera la valeur de Ç au point {x\ y\ z) centre de gravité de diù'y c'est-à-dire en un point delà surface limite S ; (p' dépendant de r est fonction à la fois de a?, y, z et x\ y\ y.
99. Le théorème s'applique-t-il encore quand le volume considéré T est la portion de l'espace extérieure à une certaine surface S ?
Soit S' une sphère dont le rayon R soit très grand et puisse être regardé comme un infiniment grand du premier ordre.
On pourra alors appliquer le théorème au volume T compris entre la surface S et la sphère S', puisque ce volume ne s'étend pas à l'infini. On aura donc :
la première intégrale est étendue à la surface S et la seconde à la sphère S'. Pour que le théorème s'applique à la région de l'espace extérieure à S, il suffit que
quand R croifei indéfiniment.
Il est clair d'abord que ©' et -^ sont des infiniment petits
du premier ordre, et que Ton a en négligeant les infiniment petits du deuxième ordre :
^ ~ r" rfn ~ " *^ R
D'autre part nous avons vu à la fin du n° 97 que, si Ç repré-
senle la projection sur Taxe des x du déplacement d'une molécule d'éther, on aura :
^ ^ A]^\jA£l£^
dx représente un élément de volume occupé par les sources lumineuses x\y\ z' sont les coordonnées de cet élément; ^ est une fonction de a/, y\ z' et r' la distance de œ^ y^ z k
x\ y y z\ Si le point a?, y, z est sur la sphère S', et que le
rayon de celle sphère soit très grand, — différera très peu de
- et il viendra, aux infiniment petits près du deuxième
ordre :
? = ^/^^eV^ />/ - nCT «r^^' . ^ ^ Î3 r^gVCT pt^y/-i OLr^r,
dr' Car— est égal à 1 à des infiniment petits prés. La quantité sous le signe / est donc du troisième ordre, et comme la
surface de la sphère est très grande, du deuxième ordre, Tintégrale tend vers o. Le théorème est donc vrai; mais, pour qu'il en soit ainsi, il ne suffit pas que Ç s'annule à Vinfini, il faut eucore quil soit de la forme (3).
Il en résulte que, si on donne les valeurs de Ç et de -r-
^ dn
en tous les points de la surface limite S, la formule donne la
valeur de \ en un point quelconque du volume T. Mais, en
général, il ne sera possible de se donner arbitrairement que
l'un des systèmes de valeurs, soit S, soit — ? parce que ces
fonctions sont liées par une relation, exprimant que Tintégrale est nulle en un point extérieur.
D'ailleurs il est en général impossible de calculer — quand
on donne Ç'.
