Supposons que ces dernières conditions soient remplies

Nous pourrons prendre seulement les portions de l'écran voisines de Q qui ont seules de l'influence, réduire la sphère à son plan tangent et le cercle M^Mj à une droite; enfin, puisqu'on ne s'éloigne pas de Q, considérer X comme une constante, par exemple X = 1.

Menons QH perpendiculaire sur le bord de l'écran (fig. 18).

Posons :

Fig. 18.

QH=:S

MH =^x

MQH = (p

cp =:arc tg^-

PRINCIPE DE HLYGHENS 159

Gomme, dès qu'on s'écarte tant soit peu de Q, les portions situées au-delà n'ont pour ainsi dire plus d'influence, il reviendra au même de conserver les limites précédentes ou bien, ce qui sera plus commode, de prendre comme limites

X = — ooeta? = -|-oo , ou cp = — ^et<p = -|--« Nous aurons ainsi à calculer

Soit r^ = PH

r := V rj 4" ^^«

Gomme x est très petit, nous pouvons développer le second membre, en nous bornant aux deux premiers termes :

^' = ^0 + clT '

2ro

d'ailleurs :

x' + 52 En substituant dans notre intégrale, elle prend la forme

^ »+oo

•0 je ^

- la o ^dx

c'est l'intégrale de Fresnel. On a vu (1" volume, n*> 93) comment on peut lui donner sa forme habituelle ; niais ce n'est pas celle-là que je veux lui donner ici.

Par une transformation convenable, on retrouve la formule donnée par M. Gilbert.

Remarquons en efl'et que la ^onction sous le signe / étant

PRINCIPE DE HDYGHENS

paire :

ce qui ramène à calculer

a; décrivant Taxe OA des quantités réelles.

Menons une droite OB inclinée à 45° sur OA et du point

avec un rayon très grand, décrivons l'arc de cercle AB [fig.

19). Comme à Tintérieur du secteur OAB, Tintégrale ne présente aucun point singulier, il est indifférent de prendre le chemin direct OA ou le chemin OBA. Mais le long de BA, Tintégralc est d'autant plus petite que le rayon OA est plus grand, il n'y a donc pas de différence entre les Jeux chemins OA et OB.

Posons :

FijT. 19.

ou :

œ =-. V- \/~iy \/^

y sera réel quand on ira de en B, Tinlégrale s'écrira :

2r, ^ dy

Posons enfin :

1rs

nous trouvons :

-•-«y2 ^__yfiri^dy

c'est la forme donnée par M. Gilbert aux notations près.

Pour que l'intégrale Foit sensible, il faut que 8 soit très petit. En effet, p étant en facteur, il est nécessaire que p soit fini, ce qui exige que 2r^ et aS^ soient du même ordre de

grandeur. 8^ doit donc être du même ordre que -^ ou querpX;

QL

8 sera de Tordre de Vr^-

Gomme r^ est de Tordre de nos unités habituelles, on voit que la largeur des franges sera comparable à la racine carrée de la longueur d'onde.

Si Tq devient du même ordre de grandeur que S, 8^ est de

Tordre dé - et 8 de Tordre de - ou de X; les franges deviennent

donc de plus en plus Gnes quand on s'approche de Técran.

106. Principe de Huyghens appliqué aux ondes réfléchies ou réfractées. — Dans l'étude que nous venons défaire du principe de Huyghens, nous avons supposé que la

LUMISBB. II. — 11

if- .

162 PRI?fCiP£ DE HUYGHENS

lumière partie de la source arrivait au point P sans avoir subi ni réûexion ni réfraction.

Le principe peut être étendu aux cas où les ondes se sont réfléchies ou réfractées. Mais dans les applications, il faut substituer à Texponenlielle e" **'', l'exponentielle er^^"^^ où t représente le temps que met la lumière pour aller de la source au point P, en tenant compte des milieux réfringents.

La démonstration peut se faire comme précédemment, mais elle est plus compliquée, parce qu'il est impossible de séparer alors les trois composantes Ç, tj, Ç. — Nous admettrons donc le résultat sans répéter la démonstration (la démonstration est analogue à celle que nous avons donnée dans la Théorie de f Elasticité, n° 50).

M. Gouy, dans un récent travail, a montré que dans le calcul

de la quantité r, il était nécessaire d'introduire une correction relative aux li- __ gnes focales. Rappelons ce que sont les lignes focales.

(i) Soient S la surface de

Tonde, M un point de celte surface ; la normale à S au c c, p point M sera un rayon lu-

(3) mineux. Soient C^ et G^ les

Kig. 20. centres de courbure princi-

paux situés sur cette normale {/ïg. 20); considérons les points infiniment voisins de M et le faisceau des normales menées par chacun d'eux. Ce

faisceau forme un pinceau de rayons lumineux extrêmement délié. Un plan perpendiculaire à C|Gj détermine dans ce faisceau une section qui, en général, sera infiniment petite. Si ce plan passe par C, ou par C^, celte section se réduit à une ligue infiniment petite qui s^appelle ligne focale. Si les points C| et C3 sont confondus, la section se réduit à un point qui est un foyer.

La correction à faire est la suivante :

A la différence de phase S résultant de la différence de

marche A, il faut retrancher - si Tun des rayons interférenls

a passé par une ligne focale ; il faut retrancher tu s'il a passé par un foyer.

M. Gouy a donné une démonstration expérimentale en répétant Texpérience des miroirs de Fresnel avec un miroir plan et un miroir concave, les franges observées au-delà du centre de courbure du miroir présentent une frange centrale noire.

Il a également donné de ce fait une démonstration analytique que je vais reproduire avec d'assez grandes modifications.

1. Ondes sphériques, — Considérons une certaine fonction F (r) assujettie aux conditions suivantes F (r) est nulle pour toute valeur de œ sauf celles comprises entre deux limites déterminées Tq et r^ de plus P. (r^) = F (r^) = o.

Supposons qu'une fonction l de r et de ^ soit solution de l'équation fondamentale

que pour t = o elle se réduise à

el par suile soit nulle pour toute valeur de r non comprise entre r^ et r^ ; que pour < =o on ail

enfin que ^, fini et continu dans tout Tespace ainsi que ses dérivées, s'annuleàTinfini — cette fonction \ sera entièrement déterminée, ainsi que nous l'avons vu au n° 95. Si cette fonction existe, il n'y en a qu'une seule. Or la fonction

satisfait à l'équation fondamentale — elle reste finie et continue ainsi que ses dérivées dans tout l'espace ; il ne pourrait y avoir doute que pour l'origine, c'est-à-dire pour r = o.

Mais pour r = o les deux termes du numérateur se détruisent; donc le numérateur et le dénominateur s'annulent simultanément et par conséquent \ reste fini au voisinage de l'origine et peut même, si r est assez petit, être développé suivant les puissances croissantes de r et aussi de (o?, y^z). En effet le numérateur change de signe quand on changer en — r : donc son développement par la formule de Mac-Laurin ne contient que des puissances impaires de r. Comme il faut diviser par r, le quotient Ç ne renfermera que des puissances paires — il sera donc développé suivant les puissances de r^ et par conséquent suivant les puissances de cc^ '\- y^ -\- 2^.

Pour ^ = 0,

Mais F (r) étant nul pour toute valeur de r non comprise entre les valeurs positives r^ et r^ est a fortiori nul pour les valeurs négatives de r : donc F ( — r) = o et

De même

et comme F' { — r) ^ o

La fonction (1) satisfait donc à toutes les conditions de problème. Or, nous avons vu que ce problème ne peut comporter qu'une seule solution ; donc la fonction (4) est la solution unique du problème proposé.