Si nous avions choisi pour ^ la forme suivante
, d F (V/ + r) — F (V^ — r) dx r
Ç vérifierait encore l'équation fondamentale, serait fini et continu ainsi que ses dérivées môme pour r = o. Pour
yt<r^
168 PRINCIPE DE HDYGHENS
on a
dx r
l'onde est convergente.
Pour
, d FjWt'-r) dx r
l'onde est divergente.
l change encore de signe quand Tonde change de nature en passant par un foyer.
Nous serions conduits aux mêmes conclusions en prenant
pour $ une dérivée d'ordre quelconque, prise un nombre
quelconque de fois par rapport à chacune des variables (a?,y,^),
de 5 ou même une combmaison
linéaire de ces dérivées. Ces conclusions s'appliquent aussi à une onde sphérique quelconque qui, ainsi que nous l'avons vu au N° 90, peut toujours se mettre sous cette forme ; î, ti et Ç égalées à des combinaisons linéaires des dérivées de fonctions de r et de t,
110. Passage des ondes par une ligne focale. ^ Nous allons d'abord considérer un cas particulier simple, celui des ondes cylindriques.
Soit p la distance du point (a?, y, z) à Taxe des œ
9^ = y^ + ^^• Si on a
l'onde sera cylindrique; les surfaces d'onde seront des cylindres ayant Ox pour axe.
Par un calcul facile on trouve
dt' \rfp» ^ p dp)
ou
j d*l rf»5 d|
y*dt* Prfp» rfp °'
Je dis que
A (^p + \t) dz
est rintégrale de celte équation.
L'intégrale générale devrait contenir deux fonctions arbitraires; mais celle que nous avons donnée est la plus générale parmi les intégrales de l'équation qui restent flnies pour p = o. Vérifions que \ est bien une solution de l'équation (1) :
d^ I ' r*F^dz dp'
dp ~ J yji ^2
Substituons dans l'équation (1) ; il faut que
Or
cette expression s'annule aux deux limites — 1 et + i« — Gomme nous supposons le mouvement périodique, nous
allons donner à la fonction arbilraire F une forme particulière. p ayant toujours la même signification et a étant égal à
^ = T^> nous poserons :
F {zp -f- V^) = cos {oLzp -\- ttV/) = cos (oLSTp -f-pO- Alors l deviendra :
r / COS (oLgp -|- pt) dz
/ cos dzodz
— ' ^ - cos pt —
/sin oLzp.dz .
, ^ — sin pt.
La seconde intégrale est nulle, car la seconde fonction sous
le signe / est impaire, et les limites sont égales et de signe
contraire.
Il reste donc
ç / cos dZp ,
1=1 ^ az cos pt,
d'où
Substituons dans l'équation (1)
Nous retombons sur l'équation qui définit la fonction de Bessel, donc :
5= Jo(ap);
c'est la seule parmi les intégrales de cette équation linéaire qui se réduise à i pour p = o. D'autre part :
/ dz
Par conséquent:
Ç ziz Jq (ap) TT cosp^
Cherchons une valeur approchée de J^, (p) quand p devient très grand :
. / COS^p . / C08 (Z9)
puisque la fonction sous le signe / est paire. En posant :
Je gV^'^P
dz
nous pouvons écrire :
3 Jo (p) = P ï'éelie de ^
172 PRn^CîPE DE HUYGHENS
Prenons une nouvelle variable u définie par la condition :
^p = p — u , du
dz =:
Pour
z ■= Oy u =r çi et pour z =^ i^ u = o.
Substituons dans l'expression de (p.
nA^V"
eV^P r eV^^<»rfu
Si nous supposons que p soit très grand, — sera négligeable
vis-à-vis de l'unité et nous pourrons prendre « comme limite supérieure.
Celte dernière intégrale est connue : elle se ramène facilement d'ailleurs aux intégrales de Fresnel ; sa valeur est
et :
ij»(p)=\/Ï cos(p-|) et Jo (p) = y/| C08 (p - 1) Par conséquent :
\ = ir COsp< y/ A cos («p - J)
111. Supposons d'abord que Tonde soit convergente et devienne divergente. Elle part d'un point Mq situé à une distance p^de l'axe des a?, traverse cet axe et aboutit au point M^, situé à une distance p, — elle a donc parcouru un chemin p^^. + p< — Admettons pour simplifler que les points M^ et M^ correspondent à des maxima du cosinus : la phase y sera nulle ; il faut donc que :
ap — T = 2Kt:,
ce qui donne :
*Po — 4 = 2Ko7r
ap^ — ^ = 2K^7c
ou en remplaçant a par -t"®^ divisant par^:
Pu — g — KqX
Po+Pi = (Ko + K,)X + -^
Le chemin parcouru est donc égal non pas à un nombre entier de longueurs d*onde, mais à un nombre entier de longueurs d'onde augmenté de r*
Le passage par la ligne focale nécessite donc dans le calcul des phases une correction de -•
