L'application du principe de Huygens nous conduira

à la même conclusion :

^ Soient S une surface quel-

conque ; P, un point extérieur; PQ, une normale à S; M, le centre de gravité d'un ■p élément c/w' de S, ayant pour coordonnées (œ\ y\ z") {/ig, 22). En conservant les notations que nous avons adoptées, nous aurons pour la première composante l de la vibration au point P :

Fig. 22.

-V-<*'-rfa>'

\/— la

Çfxe-^^'^'dz

^^''dz

Si le point Q n'est pas^très voisin du bord de l'écran, les portions de l'intégrale relatives aux éléments rfw' voisins du point Q exercent seules une influence sensible sur la valeur

de l'intégrale. (Dans le cas où du point P on peut mener plusieurs normales à la surface S, il faudrait prendre les éléments dfii voisins du pied de chacune de ces normales.) Par conséquent la valeur de Tintégrale ne changera pas si on étend la sommation à une portion quelconque de la surface S entourant le point Q, et elle sera encore la même si la sommation est étendue à la surface S tout entière. Nous avons

vu d'ailleurs que l'intégrale Ta g- *^*'*c?r est en général

négligeable.

Pour traiter d'abord un cas particulier simple, supposons que, au voisinage du point Q, la surface S soit une portion de sphère concave du côté de P et que nous étendions l'intégrale à cette calotte sphérique. Soit G le centre de la sphère.

Deux cas peuvent se présenter :

i" Le point P se trouve entre Q et C, alors de tous les points de la calotte sphérique, Q est le plus rapproché de P ; les limites d'intégration sont r^ = PQ et r^ ;

2° Le point P est au-delà de C, alors Q est le point de la calotte le plus éloigné de P ; les limites d'intégration sont r^ et Vq = PQ, r^ étant la plus courte distance de P à lA courbe L qui limite la calotte.

Dans les deux cas, nous savons que (§ 102) :

R étant le rayon de la sphère et a la distance PC. Xq la valeur de X au point Q. Or, en ce point Q, l'angle que nous avons appelé ^ est nul et cos^j; =: 1, donc :

et :

Pour évaluer Ç, comme nous avons vu que j ce-^^*^'' était

négligeable, il suffit de substituer les limites dans le terme intégré. Pour la limite qui correspond au bord L, on a a = o, pour celle qui correspond au point Q, <y a la valeur (2). Seulement dans le cas où les points sont dans l'ordre QPC, celte dernière limite est la limite inférieure; quand les points sont dans Tordre QCP, c'est la limite supérieure. Par conséquent, il faut changer le signe quand on passe d'un cas à l'autre et écrire :

(QPC) ?=:5ç^g-v/rTar.

(QCP) Ç^5ç^^-V^^«r.

Tout se passe donc comme si l changeait de signe parle passage de l'onde à travers un foyer; il y a une perte de

phase de tc correspondant à un retard de -•

118. Des raisonnements analogues s'appliquent à une surface S quelconque, sans faire d'hypothèse sur la forme de celle surface au voisinage du point Q.

Toujours avec les mêmes notations nous aurons au point P :

;__la A- Xô-v/ <«r^a>'

V~la f- 4:t J

Prenons un autre système de coordonnées avec le point P

comme origine; Taxe des z sera QP et les plans des xz et des yz seront les sections principales de la surface au point Q. Un point M de la surface aura pour coordonnées (a?, y, z)\ (nous supprimons les accents, ce qui n'a pas d'inconvénient puisque nous avons pris P comme origine). Ce point est le centre de gravité d'un élément d^ù faisant avec le plan des xy un angle que nous appellerons (p. Par conséquent :

, dxdy

cCto =

COSÇ

ç z= — ;; 1 axay.

Nous savons qu'il suffît d'étendre l'intégration aux éléments voisins de Q. M sera donc toujours très voisin de Q.

L'expression sous / se compose de deux facteurs :

1° qui ne varie pas rapidement et a sensiblement la

rcos(p ^ r MT

même valeur en M et en Q ; 2© ^-yl-KcLr qui varie au contraire très rapidement car sa

dérivée — \l — lxe~v^-**'' est très grande puisque a est très grand.

Nous pourrons donc prendre dans l'évaluation de la somme

le facteur avec la valeur qu'il a en Q.

rcosç '

Au point Q :

donc :

r cos 9 Vq LUMiàaB. II." — 12

178 PUlNCIPfi DE HUYGHENS

Quant au second facteur ^-v-^*^, il faut calculer sa valeur au point M, c'est-à-dire la valeur de r en ce point. Or C^ etC^ étant les centres de courbure principaux de la surface S au point Q, le point M étant très voisin de Q, on démontre que :

en posant :

PC. PCa

"^ " 2QP.QG^ "^ "" 2QP.QC2

Les segments étant pris avec leur signe ; nous conviendrons donc de regarder PC comme positif si le point G est à droite de P, comme négatif si le point G est à gauche.

Gelte expression de r n'«st qu'une valeur approchée, obtenue en regardant x Qiy comme des infiniment petits du premier ordre et négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au second.

L'expression de Ç prendra donc la forme :

Posons, pour mettre les signes en évidence :

I m I et I n I représenlanl les valeurs absolues de m et de n.

V 4QpIqc,.qc,

OU en posant :

V Iqc,.