PC

QG,

114, Trois cas sont à distinguer:

Prebobr cas. — Les points sont dans l'ordre OPC^Cj (fig. 20) (1) ; autrement dit, pour aller de Q en P, le rayon ne rencontre aucune ligne focale, alors:

Deuxième cas. — Des points sont dans Tordre QC^PCs (fig, 20) (2) ; le rayon allant de Q en P rencontre une seule ligne focale.

w = — fjL^ n = 4^ V*.

Troisième cas. — Les points sont dans Tordre QG^CaP [fig. 29) (3), le rayon rencontre deux lignes focales:

m = — [JL^ w = — V*.

Dans ce dernier, rentre le cas particulier où, C^ et Cj étant confondus, le rayon passe par un foyer.

Transformons Tintégrale en réunissant ces trois cas dans la même formule, nous aurons:

Gomme nous Tavons dit déjà, les portions de la surface voisine de Q ont seules une influence; sans changer la valeur de l nous pouvons donc prendre comme limites — oo et + oo.

L'intégrale se décomposera alors en un produit de deux autres :

La valeur de ces intégrales est connue. On sait en effet que :

fe^*'*dx = y/| (1 + \/=T).

En posant x = [i.\(ix', on trouve aisément :

J-oD V 2(x |x

OU en changeant V — i en — V — ^ :

ou en réunissant ces deux résultats

Jjf,--V.^^ = y|;{iq.V— i)

et de même

/^V'"vVrfy = -y£(i:;.vCl)

Substituons dans l :

Si le rayon ne traverse aucune ligne focale il faut prendre m = -|- (A*, n = -}" ^^î 6^ P^^ conséquent

(i ^ y/—i) (l - yj—i)

Si le rayon rencontre une seule ligne focale,

m = — fjL* n = -|- ^'

Enfin si le rayon rencontre deux lignes focales ou un foyer:

m = — fjL^ n = — y*

Les valeurs de ^ sont les mêmes dans les trois cas aux fac-

teurs près i, V — ^1 — * î il faut donc dans le second cas : retrancher à la différence de marche - et dans le troisième,

retrancher s