CHAPITRE VIII
HYPOTHÈSES DE KIRCOHOFF
115. Revenons au problème général de la diffraction. Nous avons démontré précédemment (98-101) le principe de Huyghens et donné l'application qu'en avait faite Frcsnel. Nous avons trouvé
J \dn^ ^ dn) 47r
pour un point extérieur à une surface S, cette Tétant nulle
pour un point intérieur (pour la signification des notations, se reporter au § 98).
Pour déterminer \ il faut donc connaître les valeurs de Ç'
et de -7- aux différents points de S.
Fresnel choisit pour S une surface d'onde sphérique, par-
HYPOTHÈSES DE KIRCHHOFF
rfï'
tielleroent occupée par l'écran. Il admet que Ç' ^^"T" ^^^^
nuls sur Técran et ont même valeur, sur les portions éclairées que si l'écran n'existait pas.
Ces hypothèses ont été [contestées à différentes reprises : en particulier par Poisson. Poisson prétendait qu'on devait aussi observer des franges à l'intérieur de la sphère S, la présence de l'écran altérant le mouvement à l'intérieur comme à l'extérieur de S'. Nous avons dit déjà que cette conclusion n'est pas légitime (94).
On a cru quelquefois observer des franges à l'intérieur de S, c'est-à-dire en-deçà de l'écran. Mais Fresnel avait bien vu que ce n'était qu'une illusion due à la loupe avec laquelle on examine les phénomènes.
Cet emploi de la loupe est d'ailleurs parfaitement permis. Que suffit-il en effet de faire pour le légitimer? il suffit de montrer que la loupe ne produit, entre les rayons qui la traversent, aucune différence de marche nouvelle.
Fig. 23.
Or, soit FAA'F' {fig. 23), un rayon réfracté. Le temps t que met la lumière pour parcourir ce chemin est un minimum par rapport au temps qu'elle mettrait à parcourir un chemin infiniment voisin FBB'F', ce temps t est fonction de deux variables, par exemple, les distances des points B et B' à l'axe FF'. Puisque
18i PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA DIFFRACTION
T est minimum; pour FAA'F', aux points A. et A'.
dt = o.
Nous avons une série de chemins
FA, a; F', FA^AiF' FA^A^P'
qui tous sont conformes à la loi de la réfraction ; on a donc en p£LSsant de Tun à Tautre:
dt = o et T = const.
Par conséquent, la dififérence de phase des rayons est la même en Pet en F', et Tintensité sera aussi la môme en ces deux points: ce qui autorise Tusage de la lentille. Seulement, si on rapproche de plus en plus la lentille de l'écran, le foyer F finira par se trouver en-deçà de Técran ; on aura encore des phénomènes d'interférence en F' ; mais on ne peut en conclure qu'il y en ait en F. Tous les rayons issus de F mettent, il est vrai, le même temps pour venir en F'; mais une partie d'entre eux est interceptée par l'écran, et les conditions d'interférence ne sont plus les mêmes en F et en F.
Il nous reste maintenant à rendre compte de cette circonstance que les franges n'existent pas en-deçà de Técran.
Kirchhoff a voulu l'expliquer à l'aide des hypothèses suivantes :
116. Hypothèses de Kirchhoff. — Il suppose que l'écran est un corps absolument noir, c'est-à-dire qui ne laisse passer ni ne réfléchit aucune lumière.
Ce corps diffère donc des métaux qui absorbent la lumière transmise sous une très faible épaisseur, mais réfléchissent une notable portion de la lumière qu'ils reçoivent.
HYPOTHÈSES DE KIRCHHOFF
Pour les métaux nous pouvons, d'après la théorie de Gauchy, écrire les conditions aux limites; pour un corps absolument noir, il est impossible d'écrire ces conditions sans faire de nouvelle hypothèse.
Nous admettrons que l'écran a une forme telle qu'un rayon issu do [fig, 24) ne rencontre sa surface q n'en deux points ou ne la rencontre pas; il faudra distinguer les points de l'écran qui sont visibles du point 0, et ceux qui ne le sont pas :
les deux régions seront séparées par une courbe qui sera le contour apparent de l'écran vu de 0.
Kirchhoff suppose qu'au point M, vu du point 0, les valeurs
de \ et de -^ sont les mêmes que si l'écran n'existait pas :
Fig. 24.
* dn dn
En un point M', qui n'est pas vu de 0, Kirchhoff suppose que :
Appliquons le principe de Huyghens. Considérons quatre surfaces, une sphère s décrite de comme centre, la portion A. de la surface S non située sur l'écran, B portion de
la surface de Técran regardant 0, G surface opposée de
récran {fig. 25).
c^- Soit 5| la valeur de \ en un
point (07, y, z) extérieur à S.
Appelons respectivement, s, A, B, G les valeurs de Finlégrale.
jKdn"^^ ^' dn) '^
Fig. 25.
étendues aux surfaces 5, A, B, G.
Appliquons le principe de Huyghensà tout Tespace extérieur à 5, et à la surface totale de l'écran (B + C).
D'autre part :
^ J \dn^ ^ dn) 4ir
au voisinage de 0, on peut admettre que \ ne dépend pas de la présence ou de l'absence d'écran, le long de la surface B. Le long de G, on a:
Donc:
\ = ^ = o dn
Ç=5-hB.
Appliquons le principe à \^ pour l'espace extérieur à la surface S et à la surface de l'écran :
HYPOTHÈSES DE KIRCHHOFF 187
D'où:
Par conséquent, pour calculer Ç, il faut étendre l'intégration à la portion de S non recouverte par Técran en conservant
les valeurs Ç* et-r^*
an
Que faut- il penser de ces hypothèses de Kirchhoff? Sontelles plausibles ou même compatibles ?
Remarquons qu'il faut satisfaire à une condition : c'est que l'intégrale étendue à une surface fermée soit nulle, si le point (a?, y^ z) est intérieur à cette surface. Considérons donc un point intérieur à l'écran, l'intégrale a pour valeur
puisqu'il n'y a pas de source lumineuse extérieure aux surfaces S, B, C.
Aux divers points de B :
^ ""^^ dn'^dn
Aux divers points de G :
dn
Enfin sur s :
dn dn
d'après Kirchhoff. Il faut donc que :
Raisonnons de même sur l^ et intégrons le long des mêmes surfaces :
Par conséquent:
Il faudrait donc que G fût nul pour une portion de surface quelconque, quel que soit l^ et quelle que soit la forme de l'écran. Gela ne pourrait avoir lieu que si Ç^ était identiquement nul.
Gependanl, si ces conditions ne sont pas rigoureusement compatibles, elles le sont au moins d*une manière approximative, quand on néglige les quantités de Tordre de la longueur d'onde. En se donnant alors deux des conditions, par exemple,
^ "^ ^^ dn~ dn
les deux autres s'en déduiraient d'une façon approximative.
117. Nous ne connaissons pas suffisamment les propriétés des corps noirs pour pouvoir les mettre en équation. Il y a toutefois des cas où il serait possible d'écrire complètement les équations du problème de la diffraction.
Supposons, par exemple, que l'écran soit formé par un prisme de verre ; soit ABC une section droite de ce prisme que nous prendrons comme plan de la figure {/îg, 26). Faisons tomber sur ce prisme un faisceau de rayons parallèles, perpendiculaires à son arête. Une partie HK du faisceau ne subit ni réflexion ni réfraction ; une autre partie MN est réfractée, enfin la partie PQ est réfléchie. Si la théorie géo-
HYPOTHÈSES DE KIRCHHOFF
métriques des ombres était exacte, ces faisceaux seraient limités par des plans perpendiculaires au plan de la figure et ayant respectivement pour traces FK, BH, BN, ... DQ. En réalité, il n'en est pas ainsi et il se produit des franges de diffraction sur le bord de ces faisceaux.
FIg. 26.
Supposons que les rayons incidents soient polarisés dans le plan de la figure ; prenons Tarôte du prisme comme axe des a?, la force électrique sera parallèle à cet axe : soit Ç. Les conditions à remplir sont, dans l'air :
^ = va Aï
et dans le verre :
[L^ va A?
V et V| étant respectivement les vitesses de la lumière dans Tair et dans le verre.
Comme conditions aux limiles, sur les faces du prisme, l
et — devront être continus.
an
Si les rayons n'étaient pas polarisés dans un plan perpendiculaire à Taréte du prisme, ou s'ils n'étaient pas parallèles à ce plan, si le corps avait une forme différente de celle d'un prisme, le problème serait beaucoup plus compliqué. Il faudrait faire intervenir les lois de la réflexion vitreuse, et on ne pourrait plus séparer les trois composantes ^, t), C ; il faudrait ainsi trois équations, chacune contenant ces trois composantes.
Si l'écran est formé d'un métal, on peut encore écrire les conditions aux limites; il est impossible de séparer les trois composantes, et la mise en équations est fort compliquée.
118. La mise en équations devient relativement simple dans le cas particulier où le métal est regardé comme un conducteur parfait. Il suffit alors d'exprimer que la force électrique est normale au conducteur, formant écran. C'est le cas des oscillations hertziennes, vis-à-vis desquelles tous les métaux se comportent comme des conducteurs parfaits ; mais cela ne serait plus vrai pour les vibrations lumineuses, comme nous l'avons vu au n° 73.
Enfin les équations de condition deviennent encore plus simples, si on suppose que Técran ait la forme d'un cylindre dont les génératrices soient parallèles à Ox. La première composante Ç doit vérifier l'équation :
De plus, l doit être fini sauf au voisinage de la source qui est ici l'excitateur. Au voisinage de l'écran, Ç doit être
HYPOTHÈSES DE KiRGHHOFF 191
nul; car ^, parallèle à Oa?et, par conséquent, à Taxe du cylindre est une composante tangentielle et la force doit être normale à Técran.
Néanmoins la résolution du problème présente de grandes difûcultés, parce que la longueur d*onde X n*est plus de Tordre des quantités négligeables.
119. On pourrait s'attendre à trouver dans ce cas des phénomènes de diffraction très intenses et absolument différents de ceux que ferait prévoir la théorie géométrique des ombres ; mais il n'en est pas ainsi. Gela tient d'abord au défaut de précision des expériences : ensuite ce résultat paraîtra moins surprenant si on compare ces phénomènes à un phénomène d'électrostatique de la façon suivante.
Plus a est grand, plus on se rapproche de la théorie géométrique des ombres. Supposons que a devienne très petit et même, en passant tout de suite à la limite, qu'il devienne nul, alors
AÇ=:o.
Cette équation est celle de Laplace.
D'autre part, l est fini et continu, sauf au voisinage de la source. Nous pouvons bien imaginer dans le champ des corps électrisés, distribués de manière telle que leur potentiel se comporte dans leur voisinage comme l au voisinage de la source. Au voisinage de l'écran, Ç = o. Il en sera de môme de ce potentiel, si l'écran est en communication avec le sol.
Or, dans ce cas limite, les expériences d'électrostatique montrent que Técran donne derrière lui une sorte d'ombre électrique, et c'est dans ces conditions que nous sommes le plus éloignés de la théorie géométrique des ombres.
120. Le problème de la diffraction est donc susceptible d'être posé de bien des manières ; mais, quelle que soit la façon dont on se le donne, quelle que soit la nature de Técran, les phénomènes observés sont les mômes, Il y a, il est vrai, une différence qui est évidente.
Soient une source de lumière, S récran(/î^. 27). Parmi les rayons émanés de 0, les uns se propagent sans obstacle, les autres sont arrêtés par Técran ; ils seront absorbés, si l'écran est un corps absolument noir; ils seront réfléchis, si l'écran est formé d'un métal.
Fig. 27.
Nous aurons donc seulement un faisceau transmis dans le premier cas, et au contraire nous aurons un faisceau transmis et un faisceau réfléchi dans le secord ras. Mais les franges de diffraction qui se produisent sur les bords du faisceau transmis sont les mêmes dans les deux cas, bien que les équations du problème soient très différentes.
Comment cela se fait-il ?
Soient un point P [x, y, z), Q le point de l'écran S le plus rapproché de P {fig. 28;; représentons le bord de l'écran en
HYPOTHÈSES DK KIRCHHOFF 193
EE', et soit M le point de ce bord le plus rapproché de Q. Posons :
MQ = 8 PQ = ro-
Pour que les phénomènes soient sensibles il faut que(iOo.) :
VroX
soit fini : autrement dit que 8 soit de Tordre de V^o^» c!est Tordre de la largeur des franges.
En général r^ est une quantité finie si nous considérons X
comme étant du deuxième ordre, 8 étant de Tordre de V^, sera du premier ordre : la largpur des franges est donc très petite du premier ordre.
Si le point P se rapproche de Q, de façon à devenir extrêmement voisin de Técran, r^ devient de Tordre de 8. Il faut
que i/r soit fini, ce qui exige que 8 soit de* Tordre de X,
c'est-à-dire du deuxième ordre ; par conséquent au voisinage de Técran, la largeur des franges est très petite du deuxième ordre. Rigoureusement, comme Tépaisseur e de l'écran n'est pas infiniment pelite, il faudrait dire que celte largeur est de
Tordre de \ëx. Ces conclusions sont conformes aux observations, lesquelles montrent en effet que les franges deviennent de plus en plus fines à mesure qu'on se rapproche de Técran. Or, pour trouver la valeur de l au point P, nous avons appliqué la formule
en supposant que sur la parlie éclairée de S, Ç et -7^ aient les
mômes valeurs l^ et -7-* que si Técran n'existait pas, et que
di sur récran Ç = -7- = o ; en d'autres termes nous avons fait
an
le calcul comme si la théorie géoméirique des ombres était applicable au voisinage immédiat de l'écran, ce qui n'est pas rigoureusement exact; il existe en effet sur le bord même de l'écran des franges très fines comme nous venons de le voir, et sur une sorte de ruban mince dont la largeur est très petite du deuxième ordre, tout le long de l'écran, nos hypothèses ne sont plus vraies.
Cette circonstance influera nécessairement sur les phénomènes qui se passent en P ; ce sera comme si la surface éclairée, au lieu d'être nettement limitée, présentait un bord en quelque sorte estompé, ce qui peut nous faire commettre sur la position de l'écran une erreur e. Il résulte de ce que nous avons dit dans le paragraphe précédent que cette erreur peut produire sur les maxima et minima en P un déplacement qui sera très petit du deuxième ordre, mais ce déplacement sera très petit relativement à la largeur des franges en P, cette largeur étant du premier ordre, et nous observerons en P les mémos phénomènes que si la théorie géométrique était applicable sur l'écran.
Au point Q au voisinage de l'écran, nous observerons donc des franges dont la largeur sera très petite du second ordre et dont la position dépendra des données particulières du problème, entre autres de la nature et de l'épaisseur de l'écran.
En P, au contraire, à distance finie de l'écran, les franges auront une largeur plus grande, qui sera très petite du premier ordre, les franges précédentes n'auront pas d'influence
