CHAPITRE IX
123. Ondes cylindriques. — Soit une onde cylindrique, ayant pour axe Ox; si les vibrations sont parallèles à Ox,
et la condition de transversalité devient
Ç ne dépend donc que de y, z, t.
Posons
y 1= p cos u> z = p sin 0),
$ deviendra une fonction de p, w, t.
L'équation
2u0 DIFFRACTION DES ONDES CONVERGENTES
à laquelle doit satisfaire $, prend en fonction de p, o>, la forme :
£ est une fonction périodique de w et peut être développé suivant la formule de Fourier :
Ç HZ A^j -j- X^ cos o) -j- Xj cos 2(0 -|- • • • + ^/t cos no) -f- 1^4 sin (0 + 1^2 sin 2a) -j- ... -j- [/„ sin ww.
Xq, X^ ... X;,, (jLq, (jL| ... fJL;, étant des fonctions de p. Substituons à l cette valeur dans (2).
T-j = V — W^X„ cos Wo) -f" 7j — ^V» s^" ^**^-
Le premier membre de (2) doit être identiquement nul : les coefficients de cos na> et de sin ntxi doivent être nuls identiquement :
Xrt satisfait donc à Téquation différentielle :
Faisons a = i X„ = w.
... d^u i du . ( . n\
\n doit rester fini pour p = 0. Les seules solutions de Téquation (4) qui restent finies pour p = sont de la forme
u = AJ„ (p),
A étant une constante et J„ (p) la fonction de Bessel :
, , , (l)T. (I)' , (I)' il
"^^^'^ n\ L i.(n+l) 1.2.(n4-l)(n-ti2) i.2.3.(n+l)(n
Pour avoir X^ il suffit de changer p en ap
De même:
K = A«J„ (ap),
[Ln = B„J;, (ap).
Substituons ces valeurs de X„a de fA„ dans Ç, il vient ;
ç zzz AqJq (ap) -f- J^ (ap) (A, cos o) -]- B^ sin w) -j-J,(ap)(A2COs2(o-}-BaSin2(o)+...-j-J/»(ap)(A«cosna)+B„sinw(o)
124. Nous allons appliquer cette formule à Tétude des phénomènes qui se passent au voisinage d'une ligne focale.
Flg. 29.
Soient un miroir en forme de cylindre parabolique {/ig. 29), ASB la parabole de base ; nous supposerons que les extrémités A et B sont également distantes de S : le plan mené par
Taxe SF de la parabole parallèlement aux génératrices du cylindre sera un plan de symétrie.
Une onde plane tombe sur ce cylindre : les plans d'onde
sont perpendiculaires à Taxe SP. D'après la théorie géométrique de la réflexion, les rayons réfléchis passent par le foyer F et les ondes réfléchies passent par la ligne focale, menée en F parallèlement aux génératrices du cylindre. Les rayons formeraient donc un faisceau limité par les plans parallèles aux génératrices, dont les traces sur le plan de la flgure sont AFA' et BFB'.
Prenons la ligne focale comme axe des x\ comme plan des xy le plan contenant cet axe et Taxe SP de la parabole : ce sera le plan de symétrie. Posons ensuite :
y z=: p COS (O
^ = p sin (o.
Supposons que la vibration soit parallèle à Ox ; nous pourrons écrire :
$ = /*(p, (o) COS pt + f^ (p, o)) sin pi,
\ doit vérifier Téquation
AE + a^Ç = 0.
Nous avons trouvé que Ç devait alors être de la forme (^) :
l = AqJ^j (ap) -f- A|J| fap) COR (0 -f- ^ih (*p) ^^^ ^^ H"
+ B^J^ (ap) sin o) -|- BjJ^ (ap) sin 2(o -|-
Aq, A^, , Bq, B^, ne dépendent pas de p et de w, mais
(1) Pour plus (le dotaila sur les propriétt^s de ces équations et des fonctions Jn ip), voir Tisserand, Traité de mécanique céleste.
sont fonctions de t,
A„ = \n cos pt -j- A J sin pt B„ = B,J cos pt -|- B;J sin p^
Le plan des œy étant un plan de syméiric, l ne change pas quand on remplace w par — (o, les termes qui contiennent les sinus doivent donc être nuls, et l'expression de $ se réduire à :
l = ^KK (*p) C08 nui = ^A2nhn (ap) COS 2/1(0 + 2j^a'» + <^2« f < (»P) cos (2n4-i) o).
Si p devient très grand, nous pourrons calculer une valeur asymptotique de Ç. Nous avons donné déjà (85) une formule asymptotique pour J^^ (p) :
(p) = y/A cos (p - J)
■jrp
D'autre part, les fonctions J sont liées par la relation de récurrence :
nJ«(p)=|[J»-i(p)H-J«+i (p)]
ou
quand p devient très grand, le second membre tend vers et approximativement :
J/i-l (p)+ Jn + i (p) =0
d'où:
hn (P) = (- Ij^Jo
Pour calculer J^, nous ferons usage de la relation
d*où nous tirerons :
^' = Vip ''" (p - 1)
En effet différencions :
rfp
Le second terme contenant p en dénominateur est négligeable, et il reste
D'une manière générale, nous aurons quel que soit n :
j'.(?)=\/|cos(p-î4-«i)-
Posons pour abréger :
J, (ocp) = H (^; + « I)
et pour p très grand, nous aurons :
1= ^HAa„ (— i)'» cos •}/ cos 2rnù + 2HAa„ + , (— l)" sin ^ cos (2n + 1) a>,
ce que j'écrirai :
(1) S = HB cos tj; + HG sin ^
avec
B = ^Ajn (— 1)« cos 2nu)
G = 2^2»+, (— 1)'* cos (2n + 4) o).
Remarquons que les coefficienls A;, et par conséquent Bel G dépendent du temps. B ne contient que des multiples pairs de (i> et ne change pas quand on remplace a> par tu — cd.
Au contraire G, qui ne renTerme que des multiples impairs de M, change de signe quand cd se change en :r — w.
125. Cette expression donne la valeur de l quand on s'écarlc beaucoup du foyer. Mais à une grande dislance du foyer, il n'y aura pas de diffraction sensible ; nous pourrons donc
admettre que l'amplitude qui est en raison inverse de Vp, est égale à H à l'intérieur du faisceau et à o à l'extérieur. Il convient d'observer de plus que l'onde est convergente en-deçà du foyer et divergente au-delà.
Soit p la demi-ouverture SFA du miroir.
Pour les valeurs de o) comprises entre et -|- P» Tonde est
convcrgenle, d'où :
Ç = H cos f ap — 7 +pO = H cos(y + pt)
Pour (o compris entre + P et tc — P, on est en dehors du faisceau et il n'y a pas de lunnière :
Pour (o compris entre tt — p et w, Tonde est divergente et
l = H cos {^ — pi)
En comparant celte expression de Ç à l'expression (1) et identifiant les coefficients de cos »]/ et de sin «f'i nous trouverons :
( B = cos pi
[ C =r sm pi
\ Il = o
SB = cosp^ C := sin pi
Ces fonctions B et C sont donc définies entre ô et tc et par conséquent entre — t: et + ^f- H sulfit pour étendre la définilion à ce second intervalle de changer <i> en tc — «,06 qui modifie le signe de C sans changer celui de B.
La formule de Fourier permet alors de calculer les coefficients A ; on trouve :
sin 2nB 4
ONDKS CYLINDRIQUES ^07
126. Revenons à présent à la valeur exacte de Ç : dans le plan des xz, qui est le plan mené par la ligne focale perpendiculairement à Taxe SF, Texpression asymptotique de \ serait nulle.
Pour ce plan focal, (o = ^ et par suite :
Donc:
cos (2n -f" i) w = cos2na> = (— i)'*
Pour achever le Ciilcul nous allons nous servir de l'expression de Jjy, (ap), sous forme d'intégrale définie suivant les sinus et cosinus des multiples de cp. On sait que :
gVCTap «09 -j^ |. 2 \/irîj^ sin <p + 2J3 cos 2^ + 2 V'^^Jj sin3(p
= Jo + 22J2«cos2n^ + 2Virï2j2«+,sin(2n + i)^
En développant eV^-<«p»'°? par la formule de Pourier et comparant, il vient :
air
,2lC
27rJ2„ = TeV^*?^'"? cos2n(pc/(p •^
Substituons ces valeurs dans TexpressioR de E :
