ONDES SPHÉRIQUES

Prenons le foyer comme origine des coordonnées polaires

définies par :

00 =. rsinôcusd)

y r= rsin Osino)

z = rcos 0.

Nous voulons trouver une fonction l de r, 0. «o qui vérifie l'équation :

(1) A5 + an = o

A cet effet il est nécessaire de donner la définition des fonctions sphériques et quelques-unes de leurs propriétés.

On appelle fonction sphérique d'ordre n une fonction X;, de 6 et de w, qui multipliée par r'* donne un polynôme P„ homogène de degré n en x^ y, z et satisfaisant à Téqualion

AP„ = o

Une fonction quelconque l de (r, 0, cd) peut se mettre sous la forme :

F„ dépendant seulement de r.

Ecrivons que l vérifie l'équation (i) :

dœ^~'2j dx^ — Zl^" dx^ '^ 2j dx dx'^2J " dx^

Le second terme est nul, en efl'et :

dFn oodFn ,

— p- =: ;— » etc.

dx r dr d\n dFn , d\,, d¥n , dXn dF„ 1 dF \ d\„ , d\„ , r^,,"]

dx dx dy dy dz dz r dr [ dx dy ^ dz \

Mais d'après le théorème des fonctions homogènes le facteur entre [ ] est nul : car X^ est une fonction homogène de degré o de (a?, y, z\ puisque et cd sont de degré o en [z y x) et que X„ ne dépend pas de r.

Donc :