AF

cPFn , 2 c/F„ di"^ r dr

Appliquons celte formule à r" :

Ar;, = n (n — 4) r«-2 |. gnr'*-» = n (n + 1) r«-^ Remplaçons Ar'* par sa valeur dans (2) :

= X„n (n + 1) r^-» -f- r'»AX„

AX^ n(n + i)

Tirons de cette équation la valeur de AX„ et portons-la dans AÇ, il vient :

L'équation (1) peut alors se mettre sous la forme : IK\ V Y f'^f " l 2 «^f , p /a « in + Ih l

ONDES SPHÉRIQUKS 211

Le premier membre doit être nul identiquement, ce qui exige que le terme général soit nul. La fonction F^ doit donc vérifier Téquation différentielle :

La seule solution de cette équation qui reste finie pour

r = o est un polynôme entier en cos ar, sin a r, et--

Posons :

4arii

Cette expression est une fonction de r ; c'est un polynôme entier en eV-<«'-^ ^-v-<ar et-t par suite en cos ar, sin ar et -i

r c'est la solution cherchée.

On vérifie d'ailleurs aisément que Ton a :

^==\JùK.M)-

Donc

A^ ne dépendant que du temps et

Les fonctions sphériques contiennent, comme cas particuliers, les polynômes de Legendre.

^" ^^ ~" [d cos ^Y 2«n!

Pour déterminer A^,, on pourrait procéder comme dans le cas précédent.

Lorsque r est très grand, le premier terme de R^, conte-

nant -» est seul sensible et la valeur asymptotique de Ru

s exprime par :

n . sm ar

Rw = ± pour n pair ;

-^ , cos ar

R„ = ± pour n impair.

Pour r très grand nous aurons donc :

ri = ^A2« (— 1)" sin arXg,, + ^A2« + i (— 1)" cosarXg^ + j,

ce que je puis écrire :

rÇ =: B sin ar -j- G cos ar avec

B ^= ^^2" { — *l ^2"» ^ ^^ y i^jn-rj ( — ^J^2n + r

Mais en un point très éloigné du foyer nous pouvons regarder la lumière observée comme constituée par la superposition d'un faisceau convergent et d'un faisceau divergent.

Soit alors :

rl=fi (<^»^) cos(ar + p^)

Téqualion du faisceau convergent. La fonction f^ (w, ô) peut être regardée comme une des données de la question. Soit :

ri ~ /a ((o, 0) cos (ar — pt)^