En posant
les équations (40) des mouvements longitudinaux donnent, pour le mouvement suivant la normale au plan de l'onde,
L'intégrale générale de cette équation est
On peut donc considérer un mouvement longitudinal comme résultant de la superposition de deux mouvements se propage» ni avec les vitesses -f- V, et — V,.
PROPAGATION d'uNE ONDE PLANE — INTERFÉRENCES 53
44. Quand la pression extérieure est nulle dans Tétat d*équilibre et que lea forces qui s'exercent entre les molécules sont centrales, les vitesses V et V, dépendent Tune de Tautre. On a vu en effet (27) que, dans ces conditions, X, (x et v sont liées par les relations
En éliminant X, on obtient
et en portant cette valeur de v dans les expressions de V et V| , on arrive à la relation
Dans tous les autres cas les vitesses Y et Y, sont indépendantes.
45. Hypothèses sur les propriétés de l'éther. — L'expérience montre que les vibrations de Téther sont toujours transversales. Pour tenir compte de ce fait expérimental on peut faire plusieurs hypothèses.
Première hypothèse. On peut admettre que Téther est susceptible de propager les vibrations transversales et les vibrations longitudinales, mais que ces dernières n'impressionnent ni la rétine, ni les papiers photographiques, ni les instruments employés dans la chaleur rayonnante. Cette hypothèse est contredite par les expériences de Fresnelsur la réflexion et la réfraction de la lumière ; ces expériences montrent en effet que la force vive du ravon incident se retrouve tout entière dans les rayons réfléchi et réfracté transversaux.
m ' THÉORIE NATHÉHAT[QUE DE LA LUMIÈRE
46. Svconde fiypothéxe. On peut supposer que l'on aV, ^0, c'est-à-dire, d'apri^s la valeur de cette quantité, que l'on a
Kn nousrepnrlanl(34] àréqualiondifTérentieile
nous voyons que cette hypothèse exige que l'on ait -j^ ^0.
Si, !i l'origine des temps, la (onction H et sa dérivée — sont
niilk>s, la fonction 6 est identiquement nulle comme nous l'avons déjà montré (84); dans le cas contraire, la condition
-— - ^ donne, pour la forme de 8 .
rit* "^
Si (T est différent de zéro, la fonction croîtra au-delà de loiitt! limite avec le temps. Or © représente l'accroissement df l'unité de volume du milieu (31) ; par conséquent un volume d'éther, aussi petit qu'on voudra, à l'origine des temps, pourra, au bout d'un temps suffisamment long, devenir plus gnind que toute quantité donnée. C'est là une conséquence ^in^uliére de l'hypothèse ; cependant, il ne faut pas y attacher trop d'importance car si l'augmentation de volume du miliiiu élastique devenait trop grande, les quantités l, i), Ç ne pourraient plus élre considérées comme très petites et nous tiorlirions des conditions dans lesquelles nous nous sommes placés au commencement de celte étude (2). Celle hypothèse permet d'expliquer tous les phénomènes connus en Optique;
PROPAGATION D*UNE ONDE PLANE — INTERFÉREPtCES 55
de plus elle conduit aux mêmes équations que celles qui résultent de la théorie électro-magnétique de la lumière ; c*est cette hypothèse que nous adopterons de préférence.
47. Troisième hypothèse. Elle consiste à admettre que la vitesse de propagation V, des mouvements longitudinaux est imaginaire, c'est-à-dire que Ton a
Cette .hypothèse rend mieux compte que la première de la réflexion et de la réfraction de la lumière ; mais elle conduit à admettre que la position d'équilibre du milieu élastique n'est pas toujours stable. Si l'équilibre est stable, le second terme U^ du développement de la fonction U par rapport aux l doit être négatif ou nul. Or, nous avons trouvé (13) :
Uj=:U;+yWarf'
et, dans le cas des corps isotropes, on a (24) :
Wj = XK -I- aH -f vB2.
Si nous considérons le cas particulier où toutes les dérivées partielles Ci, 7|i..,. sont nulles à l'exception de Ci, que nous supposerons égale à Tunité, les fonctions isotropes H, K, 0^, dont nous avons trouvé les valeurs, deviennent :
On a donc
W, = jx -I- V ;
c'est-à-dire que W^ est une quantité positive. L'intégrale qui entre dans l'expression de Uj est positive, et par conséquent l'équilibre est instable ; mais , dans Tignorance où nous sommes de la véritable nature de Téther, nous ne devons attacher qu'une importance secondaire aux objections tirées de la théorie de l'élasticité.
48. Quatrième hypothèse. On peut admettre que le» molécules de l'éther ne sont pas libres, qu'elles sont soumises à des liaisons telles que l'on ait 0=0. Cette condition revient à supposer que l'éther est incompressible. Cette hypothèse de l'incompressibilité de Téther est, pour ainsi dire, inverse delà seconde hypothèse, qui conduit à admettre que peut devenir aussi grand qu'on lèvent, en d'autres termes que la résistance de l'éther à la compression est nulle . Fresnel a adopté tantôt Tune, tantôt l'autre de ces hypothèses ; dans ses calculs il suppose, souvent implicitement, tantôt que cette résistance à la compression est nulle, tantôt qu'elle est infinie.
49. Equations du mouvement dans l'éther. — Admettons que l'on a {i -|~^ = o» et posons
y étant la vitesse de propagation de la lumière. Nous aurons
2p. := — pV«, 2v = pV* ;
en portant ces valeurs de ix et de v dans les équations (38) du mouvement dans les corps isotropes, nous obtiendrons
PROPAGATION d'uNE ONDE PLANE — INTERFÉRENCES 57
Ces équations peuvent se mettre sous une autre forme en posant
diï dl^ fH^ dl dl dn
dz dy dx dz dy dx
On a en effet :
dx dx^ dy^ "" dz^ dx^ dxdy dxdz
dy^ dxdy dz^ dxdz '
,- dH (ho do
OU M 7- - -j T •
dx dy dz
En transformant de la même manière les quantités
dS ,^ d^
qui entrent dans les deux dernières équations du mouvement, on obtient :
d^ di^
-- \dy dz}' di^ ~" \dz '^ dx)'
dl'^ ^ \dx dy)'
50. Résolution des équations des mouvements transversaux. — Les équations des mouvements transversaux s*obtiennent en faisant 8 = dans les équations (1) ; elles sont
Nous allons chercher à satisfaire à ces équations en posant
A, B, G, étant des constantes et P un polynôme du premier degré et homogène par rapport aux variables a;, y, z, /,
p = ïo; -1- py -{- Y^- + U.
Nous aurons, en difTérentiant ^, y), K,
i-^^"- s-cr*^- ;^=c^'«^-
Par conséquent
En remplaçant, dans les équations (2), A^, Ayi, AC et les dérivées secondes de Ç, -ri, 2;, par rapport au temps, par leurs valeurs, on obtient :
PROPAGATION D'uNE ONDE PLANE — INTERFÉRENCES 59
Puisque les mouvements sont transversaux, (=)=0,c*est-à-dire
Aa +Bp + Cy = 0.
Telles sont les deux conditions que doivent remplir les coefflcients a, p, y, S pourque les expressions de l^ tj, Ç satisfassent aux équations du mouvement.
51. Si les quantités A, B, G, x, p, y, B sont réelles, il en sera de même de l, r^j ^ ; mais si une de ces quantités est imaginaire, l, yj, C l6 seront aussi. Gomme les équations du mouvement sont linéaires par rapport aux dérivées du second ordre de l, t), ^, la partie réelle et la partie imaginaire d*une solution imaginaire devront séparément satisfaire aux équations du mouvement ; on aura donc deux solutions.
Dans l'étude de la lumière on ne rencontre que des solutions imaginaires ; en effet les mouvements lumineux sont toujours des mouvements vibratoires, c*est-à-dire périodiques par rapport au temps. Par suite, les quantités l, t^, Ç doivent être périodiques par rapport au temps ; si on les met sous la forme d'exponentielles, comm** nous venons de le faire, é^ doit prendre la même valeur pour des valeurs de l différant d'une même quantité, t ; il faut donc que Ton ait
d où 8 = — .
S est donc imaginaire ; son carré sera négatif, et la relation
S» = Y^{oL^ + p^ + Y^)
montre que la somme a* -|- p* -f y' doit être négative, ce qui exige que Tune au moins des quantités a, p,Y soit imaginaire.
'Lorsque nous aurons obtenu la solution imaginaire d'une équation, nous en prendrons la partie réelle qui doit répondre aux faits expérimentaux. La partie réelle d'une exponentielle pouvant s'exprimer à Tâide d'un cosinus, nous pourrions trouver directement les solutions réelles des équations différentielles que nous rencontrerons en cherchant à y satisfaire par des valeurs de l, t^, C contenant un cosinus en facteur. Dans certaines questions, nous adopterons cette dernière marche, dans d'autres, au contraire, nous nous servirons d'exponentielles imaginaires dont nous prendrons la partie réelle pour solution de la question.
