Considérons maintenant un plan parallèle au plan
ou» -[- Py -|- Y-r = 0.
Pour tous les points de ce plan le polynôme P a la même valeur à chaque instant ; par conséquent, les déplacements de tous ces points seront les* mêmes au 'même instant. Conformément à la définition donnée (40), ce plan est le plan de Tonde.
Examinons d'abord le cas où le plan
OLX -{- py -^ ^z =
est réel. Nous pouvons le prendre pour plan des xy et son équation se réduit à
Nous devons donc avoir a =r |3 =r o et 8^ == V^y^ ; d'où
V Vt •
PROPAGATION d'UNE ONDE PLANE — INTERFÉRENCES 61
Le produit Vt qui se trouve au dénominateur de Texpression de Y se représente par X et 8*appelle la longueur d'onde : c'est le chemin parcouru par la lumière pendant une période du mouvement vibratoire.
En remplaçant, dans P, les quantités a, p, y, S par leurs valeurs, on obtient :
P^^^^ + yt).
P est donc une fonction périodique par rapport k z et h t ; pour z la période e&t X. La valeur de l qui satisfait à la première des équations du mouvement devient alors
Ç — Ae >« . ■
Le coefficient A peut ^tre imaginaire ; si A^ est s(m module et ^ son argument, on peut Técrirc
A = Aq&?
et la valeur de l devient :
La partie réelle de cette expression donne le déplacement sui< vant Taxe des x ; elle u pour valeur
On aura, pour le déplac^ement suivant l'axe des y,
T, = Bo cos (^ [z + yi) + '^^.
63 THÉORIE UATHÉHATiQUE DE LA LUMIÈRE
Supposons maintenant le plan hj) -j- ^y ■\- fj = o imaginaire. L'équation de ce plan pourra se mettre sous la forme P -f- iQ := 0, les plans P = et Q = éUnl les plans bissecteurs du plan imaginaire et de non conjugué. Prenons P ^ pour plan des i/z,Q =0 pour plan des œy; l'équation du plan de l'onde devient
, ^ -j- itz = 0.
f La condition 8 = donne, dans ce cas,
1 1 A<x -f. eu = 0.
relation qui montre que le rapport jr est imaginaire. A cause de la périodicité du mouvement lumineux on a
et la condition S» = V (i' -f- p' -|- f) donne
Il en résulte que c doit élre plus grand que x. La solution de la première équation du mouvement est
En en prenant la partie réelle, on obtient, pour le déplacement l suivant l'axe des x.
l — A(|e" cos liz + 'f -\ I.
On aurait deux expressions analogues pour les composantes 7) et ï du déplacement suivant les deux autres axes.
PROPAGATION d'uNE ONDE PLANE — INTERFÉRENCES 63
53. Rayons èvanescents. — La forme que nous venons de trouver pour l ne diffère de celle que nous avons précédemment trouvée dans le cas de Tonde réelle que par un facteur e^'. Si a est négatif, ce facteur décroît très rapidement quand a? croît; dans le voisinage du plana? r=:01e mouvement sera sensible, mais dès qu'on s'écarte un peu de ce plan, Tam-
plitude est très petite. Comme a est à peu près de Tordre de -r,
le mouvement deviendra insensible dès qu'on sera à une distance comparable à une longueur d'onde. Un pareil mouvement peut se rencontrer dans la réflexion totale. Quand l'angle du rayon incident avec la normale à la surface de séparation est plus grand que l'angle limite, la valeur du sinus de Tangle de réfraction, donnée par la formule
sm i
sinr
est imaginaire ; la direction du rayon réfracté est imaginaire, et le plan de Tonde réfractée, perpendiculaire au rayon, est aussi imaginaire. Dans le milieu le moins réfringent, nous aurons donc un mouvement devenant rapidement insensible. Une expérience, due à Fresnel, tend à prouver Texistence des rayons èvanescents. En mettant une lame de verre à une très petite distance d'une surface sur laquelle s*opérait une réflexion totale, il a obtenu des franges obscures et lumineuses.
Dans Tétude des mouvements longitudinaux, Cauchy a trouvé des mouvements èvanescents, mais leur existence n'a pu être conflrmée par l'expérience. Supposons que les déplacements l et 7j, qui sont les mêmes pour tous les points d'une
onde plane, soient nuls, et cherchons à satisfaire à Téquation qui donne C»
en posant Ç == Ce(ï- + ^').
En calculant les dérivées secondes de cette expression par rapport à ^ et à /, et en portant leurs valeurs dans Téquation du
mouvement, on obtient la condition
La quantité o étant purement imaginaire par suite de la périodicité du mouvement vibratoire, son jcarré est négatif. Gauchy s'étant placé dans Thypothèse (x + v> o, on a Vî< o ; par conséquent y eet réel et Texponentielle qui satisfait à Téquation du mouvement est
Sa partie réelle est
j — C^t'T- cos as;.
Si nous supposQns Y<o l'amplitude du mouvement vibratoire décroîtra très rapidement quand on s*éloignera du pian z=:o dans le sens des z positifs ; nous aurons donc un rayon évanescent.
54. Trajectoire des molécules d^èther dans les mouvements transversaux. — Si nous posbns
Y (>y + VO + ? — <^» îp, — ç — 9,
