PROPAGATION D*UNE ONDE PLANE — INTERFÉRENCES

les expressions

Ç= AoCOs^YC-t + VO+ç)

TJ = Bo COS ^y {Z + yt) + 9^^

trouvées (52) pour les déplacements suivant le plan de Tonde d'une molécule animée d'un mouvement transversal deviennent :

Ç = Aa COS

7| m Bq COS (to) -j- 6).

L'équation de la courbe décrite par la molécule s'obtiendra en éliminante) entre ces deux équations. On tire de ces équations

COS ta = T, sin (0 = — ~ -77-7 4- T- cotg 6.

Ao' Bo sm e ^ Ao ^

En élevant au carré et additionnant, on a

r.+(4- cotg ô — ^ ^ ^ V = \.

C'est Téquation d'une ellipse ; cette ellipse se réduit aune droite quand 6 est égal à zéro ou à tt, comme on peut le voir facilement en éliminant coso) entre les valeurs de l et de r^ qui ne contiennent plus -0. Lorsque la trajectoire de la molécule vibrante est une ellipse, la lumière est dite polarisée elliptiquement; si la trajectoire est une droite, la polarisation est dite rectiligne.

Dans Tétude expérimentale de roptiquc,il n*est pas possible de déterminer directement la direction des vibrations de

LA LUMIKBB. 5

Téther qui propage de la lumière polarisée rectilignement ; ce qu'on peut observer c'est que les phénomènes dépendent delà position d'un certain plan appelé plan de polarisation. Par raison de symétrie, la direction des vibrations doit être, soit dans le plan de polarisation, soit perpendiculaire à ce plan. Fresnel admet qu'elle lui est perpendiculaire, d'autres savants ont préféré l'hypothèse contraire ; nous y reviendrons longuement dans la suite du cours.

55. Remarque sur les constantes introduites dans les valeurs du déplacement. - Dans la résolution des équations d'un mouvement transversal (50) les quantités Aq,

Bo» ^0» *» P> Y» ?> ^» ^> ^^^ é^^ considérées comme des constantes. En réalité, les sept premières de ces neuf quantités prennent une infinité de valeurs dans une seconde ; mais comme elles varient beaucoup plus lentement que ^, yi, !I, on peut les considérer comme constantes pendant la durée d'un certain nombre de vibrations (50,000 environ, dont la durée esta peu près un dix-milliardième de seconde). Y, vitesse de propagation de la lumière, est une constante absolue dans un milieu homogène ; il en est de même de X dans une lumière monochromatique. On pourrait considérer X comme variant d'une manière quelconque dans la lumière blanche, ou bien admettre que la lumière blanche est formée par la superposition d'un grand nombre de lumières m4)nochromatiques. Mais, comme dans la suite du cours nous n'envisagerons jamais, que la lumière homogène, nous pourrons, dans nos

calculs, regarder X comme une constante. Si Ton voulait en-

suite avoir la valeur des déplacements d'une molécule dans le cas de la lumière blanche, on n'aurait qu'à faire la somme

PROPAGATION d'uNE ONDE PLANÉ — INTERFÉRENCES 67

d*un grand nombre de déplacements pour chacun tlesquels X serait une constante.

56. Intensité lumineuse. — On définit l'intensilé d'une vibration lumineuse comme une quantité proportionnelle à la force vive de la molécule en mouvement. Cette force vive étant une fonction du temps qui varie très rapidement, il est naturel d'admettre que Tintensité mesurable, celle qui impressionne nos sens, est proportionnelle à la valeur moyenne de cette fonction.

La force vive de la molécule en mouvement est à un certain moment

Nous avons vu (54) que, dans le cas de la propagation de la lumière par ondes réelles, le seul cas qu'il y ait lieu de considérer dans Tétude expérimentale, on avait, pour les composantes du déplacement de la molécule,

I = Ao cos fo T'i = Bo C08 (o) + ®)

où u>=Y(-r + VO + <p-

En différentiant ^ etv^ nous aurons, en regardant Aq, Bq et 9 comme constantes,

^ = — Ao — sm o), ^ = — Bo — sm (w + 6).

Comme sin a? = — cos (aj-f- 5)1 nous voyons que ^ cl "^

sont égaux, au facteur près -^, à Ç et 7| où l'on augmente

«de -. Or, d'après rexpression deo), augmenter celte quantité

68 , THÉORIE HATHËMATIQUR DE LA LUUIËRB

de ^ revient à augmenter le temps de — ou j ; par conséquent les valeurs de 37 et de -^ au temps ( sont proportionuelles aux valeurs de Ç et de tj au temps t -\- j. La force vive il'iinË molécule au temps l Rera, par suite, proportionnelle b la somme des carrés des valeurs de ( et de i] au temps ' + ;• Si on change t an t-^-z^^ valeur moyenne de la Torce vive ne change pas; elle sera donc proportionnelle k la valeur m'iyenne de Ç^ -f- V- H ^n riSsulle que nous pouvons prendre pour valeur de l'intensité lumineuse une quantité proportionnelle à la valeur moyenne de S" + t,'.

57. [nterférencdde lalumlère non polarisée. — Soit I' un pointde l'espace où arrive la lumière provenant d'une source située Ii une distancez; nous aurons (52), pour les composantes du déplacement de la molécule d'éther placée onP,

;-A„cos[Ç(^+Vi)-|-?]. n = B,cos[Ç{T + Vi) + î,]-

Ces expressions deviennent

(1) î = Ao cos «>, -^ = Bo cos (b) + fl),

en posant

Supposons maintenant que le poin t P reçoive en même temps de la lumière de même longueur d'onde provenant soitd'une

PROPAGATION d'uNE ONDE PLANE — INTERFÉRENCES ^9

seconde source, soil de la première source par un chemin différent, et que cette lumière ait parcouru une distance y, nous aurons pour les composantes du déplacement suivant les mêmes axes

(2) ç = Aicos[^(^'+V/)+?'], •n = Bicos[Ç(y+VO+?{]

Introduisons une nouvelle quantité •]/ qu'on appelle différence de marche des rayons lumineux au point P et qui est définie par la relation

ait

Posons : 4* "I" ?' — ? = «»

nous aurons pour les équations (2)

; = Ao cos (o) + 0> T^ = ^0 cos (to> -f- 6 + c^).

Le déplacement de la molécule P, résultant des deux mouvements auxquels elle est soumise, aura pour composantes

(3) Ç = Ao cos 0) + Ao cos (w + 0)

7| = Bo cos ((0 + 6) + Bo cos (to) + 6 -f- e<).

58. Pour avoir Tintensitc lumineuse au point P, nous allons chercher la valeur moyenne de Ç* -]- 7|^. On a

Ç« = AJ COS*a> + Ai^cos* (o) -f e) + 2AoAi COSco COS(<i) -]- 6)

V = BJ cos^ ((o + e) + B^» cos^ (<t) + ô + t^) -f 2BoBicos(a) + 0)cos((o-|-6-f-eJ.

70 THÉORIE MATHÉMATIOUG DE U LOHIËRB

Fendant la durée d'une vibration A„, f et 9' et, par suite t, peuvent être considérés comme des constantes ; la prend toutes les valeurs comprises entre et 2ir. On aura donc, pour la valeur moyenne de ^^ pendant la durée d'une vibration, une quantité proportionnelle i l'intégrale de 5* prise entre et in. Convenons de représenter la valeur moyenne d'une quantité par cette quantité placée entre crochets ; nous aurons

C08» u. rfù. =^

rAi*cos»(<u-i-e}~l = 2;;A;' / cos*(o.-|-() dù.= -^

I 2A(Aico8iDCOs(w-j-0 I— j-2AjAi / cosiucos((i>-|-t) (^ = ^A„Ai / [cos(2<.-f

w -|- •) + ces t] rfiii

et par conséquent

4i + ^' -j- A„Ai coa e.

Nous aurions, pour la valeur moyenne de V pendant la durée d'une vibration.

= ^ + ^' + Mi»o«>r

PROPAGATION D'uNE ONDE PLANE — INTERFÉRENCES 71

Cherchons maintenant la valeur moyenne de ces quantités pendant Tunité de temps, une seconde. A^, Aq, Bq, Bq, doivent alors être considérés comme des variables ; il en est de même de ^ et de op', et comme ces quantités prennent une infînité de valeurs pendant Tunité de temps, la quantité e prendra aussi, en général, une infinité de valeurs pendant le même intervalle. Par conséquent, cos e passera par toutes les valeurs comprises Qptre — 1 et-f-i ; sa valeur moyenne pendant Tanité de temps sera nulle, et, par suite, la valeur moyenne de^^ pen-

[A* A'^ -^ -| ^ I. Pour les

mêmes raisons, la valeur moyenne devi^ pendant une seconde

sera

^ -[""o" r Donc, sauf dans certains cas exceplion-

nels, l'intensité au point P ne dépendra pas de la position de ce point et se réduira à la somme arithmétique des intensités dues à chacun des deux rayons composants.

59. Appelons fo^^?o ^^^ valeurs de op et de ^' dans le voisinage des sources, pendant que nous continuerons à désigner par les lettres ^ et (p' les valeurs de ces mêmes angles au point P. Ces quatre quantités 9, 9', cpo et fo seront fonctions du temps, et on aura

Si les deux rayons ne proviennent pas de la même source, il n'y a aucune raison pour que <po soit égal à(po ®t ç à <p'. Les deux angles 9 et 9' varieront indépendamment l'un de Taulre. Leur différence 9 — 9', et par conséquent «pourront prendre toutes les valeurs possibles, de telle façon que la valeur moyenne décos t sera nulle. Les deux rayons n'interféreront pas.

7â THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Si les deux rayons proviennent de la même source, on aura

Si ^ n'est pas assez petit pour que — t: — soit inférieur à un

dix-milliardiëme de seconde, il n*y a pas de raison pour que ff' soit égal à ^ et, par conséquent, pour les raisons qui viennent d'être développées dans le cas précédent, les rayons n'interféreront pas.

Si en6n les deux rayons proviennent de la môme source et que leur différence de marche ^ soit assez petite pour que

— ;rf — soit inférieur à un dix-milliardième de seconde, on

aura

par conséquent

Quant à ff^ et fl ils pourront aussi être considérés comme égaux, et nous aurons t^ = <j/. La valeur moyenne de 5^ -{-ti^ contiendra, en y remplaçant e et e^ par leur valeur ^, la valeur moyenne de

A^Aq cos ^ -|- BjjBo cos f\f.

La différence de marche ^ est une constante pour le point considéré P, mais la valeur de cette quantité varie quand on s'éloigne du point P; Tintensité lumineuse ne sera donc pas la même au point P et en un point voisin, et nous aurons des franges d'interférence.