CHAPITRE III

61. Le principe de Huyghens sur lequel repose la théorie de la diffraction a été Tobjet de nombreuses objections. Afin de lever ces objections et de donner une justification aussi complète que possible de cet important principe, nous serons obligés de nous étendre longuement sur ce sujet. Exposons d*abord les idées de Huyghens. Supposons que,

toutes les molécules d*éther étant au repos, on donne un ébranlement à celles qui sont contenues à Tintérieur d'une sphère A {fig, 4) de très petit rayon, puis qu*on abandonne Téther à lui-même. L*ébranlement donné aux molécules de A se propagera dans Téther ; Huyghens admet qu*il se produit une onde sphérique, etqu*au bout S' d'un temps /, les seules molécules

Fig. 4. en mouvement occupent une cou-

che infiniment mince située à la surface d'une sphère S de rayon V/et concentrique à A. Cette hypothèse revient à admettre la possibilité de la propagation d'une onde isolée et, bien qu*expérimentalement la réalisation de ce fait n*ait

jamais lieu, on peut faire usage de cette abstraction dans la théorie. S*il en est ainsi, les seules molécules en mouvement au bout du temps t -{-f seront situées dans une couche sphérique S' concentrique à S et de rayon V(/-[- ty Le principe de Huyghens consiste à admettre que le mouvement de Téther en tout point de cette onde S e^i la résultante des mouvements qu'enverraient isolément tous les éléments de la même onde considérée dans une position antérieure S.

Si ce principe est vrai, on doit pouvoir en déduire que les molécules en mouvement au temps t -^ t' sont tou'es situées à rintérieur de la couche S'. Or, Tonde partielle, provenant de la propagation du mouvement qui animait au temps t un

élément B de Tonde S, sera une sphère de centre B et de rayon Y(' ; cette onde s est donc tangente à Tonde S'. Il en sera de

même pour toutes les ondes partielles, et Ton peut regarder Tonde S' comme Tenveloppe des ondes partielles provenant des différents points de S. Il est donc évident qu*il ne pourra pas y avoir de mouvement au delà de Tonde S'. Mais rien ne prouve a priori qu'il n*y en aura pas en deçà. Au premier abord, il semble môme difficile qu^il en soit ainsi, car, les mouvements des molécules de la sphère d'ébranlement paraissant être de même sens, ils devraient donner naissance à des mouvements de même sens qui ne peuvent se détruire. Huyghens expliquait cette anomalie en admettant que, la couche S étant infiniment mince, les mouvements provenant de Tébranlement des divers éléments de celte surface devaient être infiniment petits et qu'ils ne pouvaient être appréciables que sur la surface S' où un grand nombre de ces mouvements se , composent. Cette explication ne résiste pas à une analyse rigoureuse.

78 THÊOAEB IfATHËIIAT[QDE DE U LUMIÈRE

62. Preanel, dans sa théorie de la diffraction, modiSe le principe de Huyghens en considérant, non plus une onde isolée, mais une succession d'ondes provenant de mouvementé vibratoires. Voici d'ailleurs comment il énonce ce principe : hes vibrations (Tune onde lumineuse dans chacun de sespomU peuvent être regardées comme la somme des mouvements èlémentaires qu'y enverraient au même instant, en agissant isolément, toutes les parties de cette onde considérée dans une quelconque de ses positions antérieures. A cet énoncé il ajoute, en note (1) : « Je considère toujours la succession « d'une infinité d'ondulations ou une vibration générale du K fluide. Ce n'est que dans ce sens qu'on peut dire que deux a ondes lumineuses se détruisent lorsqu'elles sont & une demî- M ondulatiou l'une de l'autre. Les formules d'interférence que H je viens de donner ne sont point applicables au cas d'une « ondulation isolée, qui d'ailleurs n'est pas celui de la K nature .» — En considérant ainsi des ondes successives, les mouvements des molécules de S sont tantôt dans un sens, tantôt dans un autre, et on peut concevoir qu'au temps t-{-^, les molécules qui sont en dehors de la surface s' ne soient pas en mouvement. Cette explication est loin d'être à l'abri de tout reproche, comme nous allons le voir dans le paragraphe suivant. D'ailleurs la théorie de la propagation d'une onde isolée, propagation mathématiquement possible, laisse subsister une difllculté qu'il est nécessaire d'expliquer.

68. ControTorse de Fresnel avec Poisson. — Que l'on considère une onde isolée ou une série d'ondes successives, le principe de Huyghens conduit & admettre qu'outre l'onde S'

(I) Œut)ret dtFresntl, 1. I, p. M3,

il 5*en produit une autre S" qui est l'enveloppe intérieure des ondes élémentaires s. C*est une des objections que fait Poisson à Fresnel, dans une lettre (i) dont nous extrayons le passage suivant : « Je vous ferai aussi remarquer que, dans le « raisonnement qui vous a conduit à la formule de la page 287 « de votre Mémoire sur la diffraction (2), rien n'exprime que « le point P {fig, 5) soit situé au delà de Tonde AMF, et que, « s'il était situé en deçà de cette onde, le même raisonnement te appliqué mot à mot vous conduirait à une formule sem- « blable pour exprimer la « vitesse qu'il reçoit, avec « cette seule différence qu'au « lieu de a -\- bf cette for- « mule contiendrait a — b, « qui serait alors la distance « CP. 11 suivrait donc de « vos principes que Tonde « AMF. même quand elle « est complète, devrait pro- « duire du mouvement en , « deçà et au delà de sa po-

Fig. 5.

« sition, conclusion qui suffirait pour montrer qu'il y a un « vice quelconque dans votre manière d'envisager la question. « Kt,en effet, la production d'une nouvelle onde en avant de

(1) Œuvreê de Frtsnel^ t. II, p. 209.

(2) C'est la formule

qui doaae la vitesse du déplacement au point P et que Presnel a trouvée en •'appuyant sur le principe deHuyghens {Œuvreê de Fre$nel, t. I, p. 3i6). a désigne la distance CM, 6 la distance MP.

« celle que vous considérez, et la non-communication du « mouvement en arrière, n^ont lieu qu'à raison d'un rapport « déterminé qui subsiste, dans Tonde donnée, entre les « condensations et les vitesses propres des molécules fluides, « et nullement à raison de Tinterférence des ondes élémen- « taires parties de tous ses points à des instants diffé- « rents. »

64. Dans sa réponse à cette lettre, Fresnel, après avoir répondu à d'autres objections de Poisson, arrive enfln à la véritable explication de Tanomalie qui avait si longtemps arrêté les géomètres. Il y a, dit-il, deux choses à considérer dans le mouvement d'une molécule : la vitesse dont elie est animée, et son écartement de sa position d'équilibre ; il en résulte deux systèmes d'ondes dérivées.

Mais, avant de citer ce passage de Fresnel, nous devons donner quelques explications au sujet de ce qu'il apx:elie la loi du cosinus. A l'époque où avait lieu celte controverse. 3^ ^ Fresnel avait déjà fait sa

grande découverte de la transversalité, des vibrations. Mais Poisson et les géomètres de son temps se refusaient à l'admettre.

Aussi Fresnel, désireux de diminuer la divergence de ses vues avec celles de Poisson, et convaincu que sa théorie de la difTraction était également applicable à toutes les hypothèses, raisonne-t-il constamment comme si les vibrations étaient longitudinales.

C'est ainsi qu'il arrive, par un raisonnement qui ne serait d'ailleurs pas à l'abri de tout reproche, à celte conséquence

que le mouvement envoyé par un point B [fig. 6) de Tonde S à un point D de Tonde S' est proportionnel au cosinus de Tangle DBC formé par la direction DB avec la normale à Tonde S. Ce raisonnement n'est en aucune façon applicable au cas des mouvements transversaux.

Heureusement la loi du cosinus nejoue aucun rôle essentiel dans la théorie de Fresnel, et ne doit être considérée que comme un incident de sa controverse. Lesobjections auxquelles cette loi peut donner lieu ne portent aucune atteinte à la théorie elle-même.

65* Citons maintenant le. passage le plus important de la lettre de Fresnel [Œuvres complètes, t. II, p. 227).

« Vous objecterez peut-être encore au raisonnement que

u je viens de faire pour le cas d*un petit ébranlement, qu'il

« établirait Texistence de rayons d*une égale intensité

« en sens opposé, lors même que Tébranlement initial ferait

« partie d'une onde dérivée ; mais je répondrai, comme je

« Tai déjà fait, que ce n*est point une conséquence du prin-

« cipe sur lequel je m appuie. En effet, j'arrive à cette

« loi du cosinus, en considérant séparément Tonde produite

« par les vitesses imprimées aux molécules comprises dans

« le centre d'ébranlement, et celle qui résulte de leurs simples

« déplacements, puis en les ajoutant ensemble : or, quand

« ces deux ondes poussent le fluide dans le même sens, elles

<i se fortifient mutuellement pes leur superposition ; et si les

« intensités des divers points de la surface suivent la loi du

« cosinus dans Tune et dans l'autre, cette même loi aura en-

u core lieu dans Tonde résultant de leur réunion. Si elles

« tendent à pousser les molécules du fluide en sens opposés, « les vitesses absolues qu'elles apportent se retranchent et

LA LUMlàllB. 6

Si THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

<i peuvent même se détruire mutuellement, dans le cas ofi « elles sont égales ; c'est ce qui a lieu pour les ondes rétro - « grades, lorsque le centre d'ébranlement a la constitution « particulière des ondes dérivée». Que l'on considère, par « exempte, un élémentd'une pareille onde au moment où ses a molécules sont poussées en avant, c'est-A-dire dans le sens te de la propagation de l'onde dérivée : on sait qu'alors ce '< mouvement en avant est accompagné d'une condensntion, u c'est-à-dire d'un rapprochement des molécules ; si tes moci lécules n'étaient que déplacées et d'ailleurs sans vitesse au

mémeinstant, il résulterait de leurrapprochement une force K expansive qui pousserait le Ouîde en arrière comme en « avant, et produirait ainsi une onde Rétrograde semblable & « celle qu'elle exciterait en avant, mais dans laquelle les ri- « tesses absolues seraient de signe contraire ; si, d'un autre

1 cAté, les molécules se trouvaient dans leurs positions d'équi- « libre au moment où l'on considère l'ébranlement, et rece- H raient seulement à cet instant les vitesses qui les poussent 1 en avant, il en résulterait encore une onde en arrière, K comme une onde en avant, puisque ces molécules seraient n suivies par celles qui sont derrière, et ainsi de proche en « proche ; l'onde rétrograde serait encore de même intensité « que l'onde qui se propagerait en avant, et elle déplacerait u les molécules du Quîde dans le même sens ; mais l'onde ré- H trograde résultant de ta simple condensation les pousse en M sens contraire. Ces deux mouvements se retrancheront donc « l'un de l'autre dans les ondes rétrogrades dues à la conden- « sation et aux vitesses des molécules, tandis qu'ils s'ajoule- « ront dans les deux ondes qui se propagent en avant ; si donc a ces deux causes tendent à produire des effets égaux.

« comme cela a lieu dans le cas particulier des ondes déri- « vées, les ondes rétrogrades s'effaceront mutuellement, et <c les vibrations ne pourront se propager que dans le sens de « la marche de Tonde dérivée. »

C'était bien là la véritable explication du principe de Huyghens ; nous allons le montrer avec plus de rigueur dans ce qui va suivre.

66. Intégration des équations des mouvements transversaux dans le cas des ondes sphériques. — Reprenons les équations des mouvements transversaux

que nous avons déjà résolues dans le cas des ondes planes (50), et proposons-nous d'en trouver les intégrales dans le cas des ondes sphériques.

Dans les ondes de cette nature les déplacements et les vitesses d'un point M [fig» 7) doivent avoir les mêmes valeurs pour tous les points situés à une même distance r du centre 3es ondes ; donc Ç, Tj, Ç, et leurs dérivées ne dépendront que de r et du temps L En pre- *' ^* nant pour origine des coordonnées le

centre des ondes sphériques et appelant Xy y, z^ les coordonnées du point H, nous aurons

Posons Ç = -,

u étant une fonction quelconque de r et de ^, et cherchons

quelle doit être la forme de cette fonction pour satisfaire aux équations du mouvement.

La quantité A^ est une fonction linéaire et homogène de u et de ses deux premières dérivées par rapport à r ; nous pouvons récrire

67. La valeur des coefficients A, B, G pourrait s'obtenir en calculant les dérivées secondes de 5 par rapport k x, y, z et les additionnant, mais il est plus simple de les déterminer en faisant des hypothc^sos particulières sur la fonction u.

Supposons d'abord que Ton ait w = 1 ; on aura l =— .

C'est la forme do la fonction potentielle dans l'attraction de deux points suivant la loi de Newton. On doit donc avoir A^ = o, et comme l'expression de Ai se réduit à A dans ce cas particulier, A doit être nul.

Prenons u = r ; nous aurons^ = i, et par suite Ai = o. D^autrepart, nous avons

du cPm

dr "" *' rfr« "" " '

par conséquent, comme A est nul d'après ce qui précède.

Le coefficient Bdoit donc aussi être nul.

Pour trouver le coefficient G, faisons u = H ; la dérivée seconde de cette fonction par rapport à r sera égale à 6ret la valeur de Ai se réduira à

Ai = 6Gr.

PRINCIPE DE HIIY6HENS 85

Hais si ti = r*, nous avons Ç = H =zx^ -{-y^-^-z^, ei le calcul donne pour A$

£n égalant ces deux valeurs de A^, nous avons pour valeur de G

r L'expression de Ai dans le cas général est donc :

Portant cette valeur dans la première des équations du mouvement et remplaçant -j-j par sa valeur — -jj- , nous aurons une équation qui déterminera u ; celte équation est

i dhi ^i (Pu r dt^^ r dr^ '

d^u -,, dhi

En intégrant, on aura

u = P(r — V<) 4- P,{r 4- yi).

d'où

I ^ F(r - V<) F.(r + yt)

68. Les fonctions? etF^ étant quelconques, nous pouvons supposer que l'une d'elles, F,, se réduise à o; nous aurons alors

^ F(r — Vt) "- r '

m THÊORtB HATHÉHATIQUP. DE LA LUMEÈRK

expression qui satisfait aux équations du mouvement. Par riiTi»<équent, dans le cas général, ^ peut être considéré comme I , ]i'il('p1acement résultant de deux mouvements se propageant

pnr ondex sphériques, à partir du centre 0, l'un avec une

vilPHHe V, l'autre avec une vitesse — V. Le facteur -

qui entre dans l'cxpreesiim de l montre que le mouvement t^'nU'uibliL quand on s'éloigne du centre d'ébranlement. J Li-B deuxdernières équations des mouvements IransverBaux

^ nouit donneraient pour ^i et C des expressions analogues & celle

» que nous venons de trouver pour Ç.

4 66. Quand on se donne les valeurs initiales des composantes

. îles vitesse», le mouvement est complètement déterminé et on

. ' peut trouver lesfonclions F et F,. Supposons qu'au temps ;=o

\ nous ayons

Kn faisant t = o dans l'expression iel, et en égalant A la va- • leur donm^* f (r), nous obtenons la relation

1,.t dorivi^' (to ; par rap|H)rt au temps est

ïii "'

-vt.

vî^

Vfl.

wWm

)M>ur

nSluit A

ft

vt--:'^

kI^

On a donc la relation

Les relations (1) et (2) détermineront les fonctions F et F4.

Une solution particulière des équations des mouvements transversaux qui est intéressante en joptique est celle où Ton a

Le valeur de l est alors

^-/a(r-.Vi) ç =

Sa dérivée seconde par rapport à^a pour valeur a'V^S. Gomme l satisfait aux équations du mouvement, on doit avoir

ou enfin AÇ -f- d^l = o.

70. Intégrales générales des équations des mcuTements transversaux.. — Considérons la première de ces équations que nous écrirons sous la forme

Nous aurons l'infégrale générale de cette équation si nous trouvons une fonction l de x, y,z eit qui y satisfasse identiquement et qui se réduise, pour ^= o, à une fonction arbitraire

de 07, y et z, pendant que sa dérivée -yp se réduit aussi, pour

^ = o, à une autre fonction arbitraire de a;, y et z.

L'intégrale générale contient donc deux fonctions arbitraires.

Voyons d'abord à quoi nous conduit l'application du principe de Huyghens. Supposons qu'à l'origine des temps toutes les molécules de l'éther soient ébranlées de telle façon que l'ébranlement initial au point x\ y\ z' soit égal à F {x\y\z'). Au bout du temps t^ le point x\ \f^ z* aura envoyé un ébran-

F lement égal à - à tous les points x^ y, z situés k une distance

r = Y^du point â?\ y\ y, et n'en aura envoyé aucun à tous les

points situés à une distance plus grande ou plus petite.

Donc, d'après le principe de Huyghens, le pointa?, y, z aura

F reçu à l'instant t un ébranlement — de tous les points x ^ y , z'

de la sphère qui a pour centre a?, y, z et pour rayon r r^ V/, et n'en aura reçu d'aucun autre point de l'espace. Faisons donc

(4) ç=/LË^lA£^^,

l'intégrale étant étendue à tous les éléments 6?a> de la sphère de centre a;, y, z et de rayon r z=iyt; eJL x\ y\ z' désignant les coordonnées de l'élément cUû. La valeur de l'intégrale dépendra évidemment du centre et du rayon de cette sphère, et par conséquent \ sera fonction de o?, y, z et t. Nous devons donc, pour justifier le principe de Huyghens, démontrer que la valeur (â) de \ satisfait à l'équation (1).

Calculons -r • Pour cela donnons à oo un accroissement dx

en conservante y, à ^,àt, et par conséquent à rieurs valeurs cela revient à donner à la sphère une translation dx parallèle à Taxe des x. Il en résultera pour x' un accroissement dx, tandis que y\ z\ diùeir conserveront la même valeur. L*accrois-

sèment de P (a?', y', z) sera -r-, dx^ et on aura

dx'

rfS

/ £[P dx — I dx' r '

Gomme Taccroissement de x' est le même pour tous les éléments de rintégrale, on peut mettre dx en facteur, et en divisant les deux membres de Tégalité par cette quantité, on ob« tiendra

dx / dx^ r '

En dérivant une seconde fois par rapport à x, on aura, pour la dérivée seconde,

dx^

/ cPF dta dx'^ r'

Le même raisonnement conduirait aux expressions

d^ dy

dz^

> "" / rfy'« r '

/d^F d^ dz'^ r'

90 THËORFE UATHÉNATIQUE DE U LCHIËRE

pour les dérivées secondée de l par rapport hy elhx. Ed Tai-

sanl la somme de ces dérivées secondes, on aura

(3) A£ =/ûi' («'y'^')

71. Cherobons maintenant la dérivée seconde de l'intégrale (9) par rapport au temps. Si nous donnons au tempB t un accroissement dt sans faire varier w,y, x, le centre de la sphère nechangera pas, mais son rayon subira an accroissement :

rfr= V(tt.

L'élément de surface i^i deviendra rft»'. On peut faire disparaître dm de l'intégrale en introduisant l'angle solide dts sous lequel cet élément est vu du centre de la spbère ; on a

rfu» =: r*rfo, d'où

— = rrfff.

Far conséquent, l'intégrale devient

(4) î=/F(xy ,><;.,

et comme r est le même pour tous les éléments de l'intégrale, un peut écrire

m accroissement dr, l'ac ; sera

dï = rfr /Prfa ^rd.Jvdi,

Si donc rsubit un accroissement dr, l'accroissement t^ qui en résultera pour l sera

PRINCIPE DB HUYGHBNS 9t

OU

di=z dr I Fd9 -|- rdr j — du.

Pour calculer la valeur de la seconde intégrale qui entre dans cette expression, remarquons que, le rayon r étant normal à Télément de surface cfa>, on a, diaprés le théorème de Green,

jfr *- = A^*.

d'z étant un élément de volume, et Tintégrale du second membre étant étendue à toute l%sphère. En introduisant dans cette dernière égalité Tangle solide du qui correspond à c/a>, elle devient

Nous pouvons donc remplacer la valeur trouvée précédemment pour dk par la suivante :

d\=dr l Frf(T4-— / AFrfr ;

= dr lYdn^^ l

ou, en divisant par dr = ydt^

îi=/'*+jA^*-

En diflTérentiant cette dernière expression par rapport à r,

MBaL

nous obtenons l'égalité

1 cPl CdF , 1 r^„. , i d c ^^,

qui, si nous tenons compte de la relation (5), se réduit à

T'dÂ=?dr- J ^^'''-

Le second membre de cette relation est, au facteur prè&— ?

la valeur de Tintégrale

Cl^Ydx.

étendue aux éléments de volume d'une couche comprise entre les sphères de rayons r et r -{- dr. Considérons un de ces éléments limité par ces deux sphères et par un cône ayant pour sommet le centre commun des deux sphères et pour base Télément din de la surface de la première sphère. Le volume de cet élément sera, en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au troisième, dtù dr. Par conséquent l'intégrale précédente devient

f^Vdiûdr, ou dr i^¥d(û,

intégrale étendue à tous les éléments de la sphère de rayon r.

Oa obtient alors, pour la relation (7),