En remplaçant, dans l'équation (i) du mouvement
par sa valeur tirée de cette dernière relation, et àE par sa valeur (3), Téquation sera satisfaite. Par conséquent
5= / '^-^'^'^'^ dio
^ r nx\y\z^
est une solution particulière de Téquation^ du mouvement. Ce ne peut être encore Tintégrale générale, puisqu'elle ne contient qu'une fonction arbitraire.
Cherchons les valeurs initiales de ^ et de -^. Quand t tend
vers zéro, le rayon de la sphère r tend vers zéro, et la valeur de F {x\ y\, z) tend vers P (a?, y, z\ Si x\ y\ z* diflèrent peu de Xy y y x^ l'intégrale
j¥[x\y\z')dft
aura une valeur voisine de
F{x,y,z)fd9 = 47cF(a?,y,^).
Il en résulte que la valeur de l donnée par l'expression (4) diffère peu de
r . 47cF(a?, y, z),
A la limite, quand r est égal à zéro, S est donc nul. Par conséquent la valeur initiale de l est nulle.
H THÉORIE HATHÉKATtQUE DE LA LUMIÈRE
La relalioti (6) nouB donne, pour — .
Y / Fcfe+M il
Le second terme du second membre peut être négligé quand le rayon r est infiniment petit. En efTet, l'intégrale qu'il contient, devant être étendue à tous les éléments de la sphère, sera un infînimentpetitdu troisième ordre; son quotient parr sera du second ordceetseranégligeable vis-à-vis du premier terme dont la valeur est & la limite 4nVP. Nous aurons donc
Gomme la fonction F est quelconque, la vitesse initiale du déplacement est arbitraire.
73. Pour avoir l'intégraU générale de l'équation du mouvement, il nous faut trouver une seconde solution particulière dont la valeur initiale puisse être prise arbitrairement. Nous allons montrer que
ealîsfait & ces condilions.
D'abord, c'est une solution de l'équation du mouvement. Ed eiTet. on a
rfC ~ V rfC ~ V <(1 ' <«"
, ,„ di a.i'' 4î5, ■'' là^l'' Aï
" ' ■"<ic''VrflT"rfy''Vrfl+rf»''V<ft-Va' '■
Par conséquent pour que Téquation du mouvement soit satisfaite, il faut que Ton ait
ydtdfi~ V rff ^'
d d*l ,,, d .di'd? = '^'dc^^' .
Cette égalité sera satisfaite puisqu*on Tobtient en diflerentiant par rapport à t Téquation (1) à laquelle l satisfait identiquement,
Pour avoir la valeur initiale de V il suffit de chercher ce que devient ia relation (6) quand on y fait ^ = o. D'après ce que nous avons dit précédemment dans la recherche de la va-
<R leur initiale de rr-, on aura
(10) (l% = àn¥{a,,y,z).
On peut donc prendre une valeur quelconque pour la valeur initiale du déplacement, puisque la fonction F est arbitraire.
La valeur initiale de — se déduira de la relation (8). On a
dV par conséquent la valeur initiale de la vitesse -^ est nulle*
74» La somme des deux solutions particulières l et l' que nous venons de trouver sera la solution la plus générale de Téquation du mouvement. Cette solution est
en désignant par F^ la fonction arbitraire qui entre dans la seconde solution particulière.
Cherchons l'expression de cette solution quand on se donne les valeurs initiales du déplacement et de la vitesse :
La valeur initiale de l'expression générale de l se réduit à la valeur initiale de la seconde solution particulière ; par conséquent, la relation (iO) nous donne
La vitesse initiale de la seconde solution particulière étant nulle, nous aurons d*après la relation (9}
^ = 4irVF.
En remplaçant, dans l'expression générale de S, les fonctions F et F4 par leurs valeurs tirées de ces dernières relations, nous obtiendrons
^=IS+l.t-h
ou
("' 5=sr/t(l+H^)-
75. Justification du principe de Huyghens. — L'expression précédente montre que la valeur, au temps t, du déplacement d*un point d'une sphère de rayon V/ dépend à la fois des valeurs du déplacement et de la vitesse du centre de
PRINCIPE DE HUYfîHENS 97
la sphère à rorigine des temps. Noas allons tirer de là lajustification du principe de Huyghens, soit dans le cas d*une onde isolée, soit dans le cas d'une série d*ondes périodiques.
Supposons, comme le faisait Huyghens, qu'on ébranle les molécules d'une sphère de rayon infiniment petit. Cet ébranlement se propagera par ondes sphériques et à un certain moment les molécules ébranlées seront situées dans une couche S comprise entre deux sphères de rayons r^ et r^-f* e. Le dépla(;ement d*une molécule sera donné par la formule
F(r — VQ
que nous ayons trouvée (68) dans le cas de la propagation par ondes sphériques. Gomme il n'y a de mouvement que dans la .couche sphérique, l et par suite F, devront être nuls pour tout point pris en dehors de cette couche. Cette fonction F, nulle pour Tq et pour r^ -{- e, doit passer par un maximum ou un minimum pour une valeur de r comprise entre r^ et r^ -{- s ; par conséquent, sa dérivée par rapport àr n'a pas le même signe pour tous les points de la couche. Or, la vitesse d'une molécule a pour valeur :
dt ^ r
elle doit donc changer de signe pour une valeur de r telle que
An bout du temps t -f- ^^ il n*y aura de mouvement qu'à rintérieur d'une couche sphérique S' limitée par deux sphères
LA LITMIBKB. 7
concentriques de rayons r^ -f- ^^ et r^, -f- ^ + V^'- D'autre part, si nous voulons avoir la valeur de S à Tépoque t'\'tei en un point P quelconque de l'espace, nous pouvons regarder les diverses molécules de S comme des centres d'ébranlement. Cette valeur de \ nous sera donnée par la formule (li) du n^-74.
ij.£ j.^
^ r'^ dr)'
L'intégrale doit être étendue à tous les éléments cUù d'une sphère de centre Pet de rayon r' = V^, ou plutôt à tous ceux de ces éléments qui appartiennent à la couche infiniment mince S ; «p désigne la valeur du déplacement du centre de gravité de rfo» à l'époque f ; et ^ représente la valeur de la vitesse de ce même point à ce même instant.
Il s'agit d'expliquer comment l'expression deE ainsi trouvée est nulle toutes les fois que le point P n'appartient pas à la couche S'. On s'en rendra compte en observant que la vitesse initiale ^ ne conserve pas toujours le même signe ainsi que nous venons de le voir. L'intégrale a donc des éléments positifs et négatifs et Ton conçoit qu'elle puisse être nulle.
Il nous sufQra d*avoir montré qu'il n'y a là aucune anomalie réelle ; le calcul montrerait que l'intégrale s'annule effectivement pour tous les points de l'espace situés en dehors de S'.
