CHAPITRE IV
DIFFRACTION
76. Équations des mouvements transversaux dans le cas de déplacements périodiques. — Supposons que les composantes ^,7|,C du déplacement soient des fonctions périodiques du temps ; la valeur de la composante l peut alors s'écrire
l = Acos — r 1- Bsm — 7—
A et B étant des fonctions de x, y, z seulement. En remarquant que cos^ est la partie réelle de Texponentielle e~'' et sin-r la partie réelle de — w-'*, on peut considérer Ç comme la partie réelle de Texponentielle
(A — Et) e ^ , ou
5o« * • Or, les équations des mouvements transversaux étant
linéaires par rapport aux dérivées secondes de l, y[, C» si une exponentielle de cette forme satisfait à ces équations, la partie réelle et la partie imaginaire y satisferont séparément. Nous pourrons donc, comme nous Tavons déjà dit (51), chercher les solutions de la forme
et ensuite prendre pour valeur de la composante du déplacement la partie réelle de cette solution i
Pour simplifier, posons i
nous aurons La dérivée seconde de l par rapport à t sera,
cU*
— a«VV~'*^S
\q ne dépendant pas du temps puisque les fonctions A et B n'en dépendent pas. La dérivée seconde par rapport à x est
^^ -JL g-l«V£.
par conséquent on aura
Pour que la première équation des mouvements transversaux, <
DIFFRACTION iOl
8oit salisfaite, il faut donc que l'on ait
c'est-à-dire
(1) Aïo + 7.\ =
Les deux autres équations du mouvement nous donneraient deux nouvelles équations de condition,
(2) Attio + a«7io = o,
(3) ACo + a'îo = o.
En outre, les mouvements étant transversaux, nous devons avoir
et comme,
£[L-î[ke-'«vr *l-î^g-/av/ ^^^e^iayt dx dx * dy dy * dz dz *
la condition de transversalité devient,
w f+'if+i'=»-
'Telles sont les quatre conditions que doivent remplir Çq, t^q, Co* pour que S, 7|, C satisfassent aux équations des mouvements transversaux.
77. Intégration de la première des équations de condition. — Dans la recherche des intégrales des équations des mouvements transversaux dans le cas des ondes sphériques,
nous avons trouvé (69) pour solution particulière de l'équation
A$ + an = 0,
l'expression
Par conséquent.
sera une solution particulière de l'équation de condition (1), r étant la distance du point x^y^ z h l'origine. Cette quantité sera encore solution de la même équation quand r désignera la distance du point œ,y,z k un point fixe quelconque, car Féquation différentielle conserve la même forme quand on prend pour origine le point fixe.
Soient maintenant P^, Pj, P3.... P» un certain nombre de points fixes dont les distances au point M de coordonnées x, y, z, sont r,, Tj, Tj,.... r„ ; la somme
5o = ^4 -zr + ^2 "z — r ^z — — r • • • + ^n — —
satisfera à Téquation (i). Si on supposait a = o, Çq se rédui-
rait à une somme de termes tels que* — *-, c'est-à-dire que l^
serait le potentiel au point M, supposé attiré suivant la loi de Newton par des points P4, P2}-.* P»» de masses m^, m^... m»- Cette analogie va nous permettre de trouver facilement plusieurs solutions particulières de l'équation (1).
DIFFRACTION 103
Considérons en effet une matière attirante répandue d'une manière quelconque dans l'espace, mais de telle façon que l'attraction, au lieu d'être régie par la loi de Newton, soit rereprésentée par la fonction
dr\r )'
r désignant la distance du point attiré au point attirant. D'à* près ce qui précède, on voit que le potentiel dû à l'attraction de cette matière satisfera à l'équation (i).
78» Dans la théorie du potentiel, on considère non seulement l'attraction de points isolés, mais encore l'attraction de volumes et de surfaces. En supposant que les points P^, P^,... Pa forment un volume on aura pour \^
L'intégrale est étendue à tous les éléments ^t du volume attirant, et X est une fonction quelconque des coordonnées de l'élément oTr. Celte fonction X représente la densité de la matière attirante.
Il est clair que pour tout point pris en dehors du volume attirant, \^ satisfera à l'équation (I). L'analogie avec la théorie ordinaire du potentiel suffit pour nous avertir qu'il n'en sera plus de même pour un point appartenant au volume attirant. Démontrons qu'on aura en un point P de ce volume :
(6) AÇo + a?$o + ^'^X = o,
X désigne ici la valeur que prend au point P la densité de la
i04 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
matière attirante. Il est aisé de reconnaître qae si Ton fait a = o, on retombe sur Téqaatipn de Poisson.
Pour démontrer cette équation, décrivons du point P comme centre une très petite sphère s, et décomposons le volume attirant en deuK volumes partiels, à savoir la sphère s et le volume T situé en dehors de cette sphère. Posons ensuite
où
ïi = I X — dx (intégrale étendue au volume T),
Çj = / - rft (intégrale étendue à s),
X ( ) dx (intégrale étendue à s).
Le point P étant en dehors du volume T, on aura
AÇ^ -I- 0L% = o.
D'ailleurs, l'équation de Poisson nous donne
AÇj + 47rX = o.
Le rayon de la sphère s étant très petit, on aura à des infiniment petits près
D'autre part, si nous considérons l'intégrale qui définit la fonction Ç3, nous voyons que la fonction sous le signe / ne
DIFFRACTION 105
devient pas infinie pour r = o ; nous en conlurons que A^3 est du même ordre de grandeur que la sphère s ; on a donc
AÇj = o, Mo = Aï, + AÇ„
d'où
79. Envisageons maintenant une surface attirante. Le potentiel dû à l'attraction de cette surface sera représenté par l'intégrale
(7) Ç„= 1 X^rfo,,
étendue à tous les éléments cUo de la surface attirante ; X désigne une fonction quelconque des coordonnées de l'élément diù, et r est la distance de cet élément au point attiré œ, y, z. Nous trouverons encore ici la plus grande analogie avec la théorie du potentiel newtonien et en effet si nous posons
la première intégrale est le potentiel ordinaire, la seconde est telle que la fonction sous le signe / ne devient jamais infinie ; c'est donc une fonction continue ainsi que toutes ses dérivées.
D*après la théorie du potentiel newtonien, \^ est aussi une fonction continue, il en est donc de même de Ïq. Mais il n*en est pas de même de ses dérivées.
JfÇ -TÇ ^TK
En effet -r^, -^j -r^ sont les composantes de la force attractive suivant les trois axes ; nous désignerons de même suivant rusage,parla notation -j-^, la projection de cette même force sur la normale k Télément dia. On aura donc
dn dx dy ^^ dz ^
/, m et n désignant les cosinus directeurs de cette normale. Nous savons que -r^ est une fonction discontinue et que si
Ton considère deux points infiniment voisins situés de part et
d*autre de Félément efu), les valeurs de cette fonction en ces
d^ deux points différeront d'une quantité égale à 4icX. Or -^
jr jç jp
est continu. Donc -r^ =z-^ -X- -^ sera discontinu et subira
dn dn ' dn
un saut brusque égal à47cX quand on franchira la surface
attirante.
80. Il nous reste à étendre au cas qui nous occupe la théorie de la double couche attirante dont le rôle est si grand dans Tétude du potentiel newtonien.
Considérons deux surfaces parallèles infiniment voisines, telles que les normales aux deux surfaces soient les mêmes, et que la distance infiniment petite de ces deux surfaces, comptée sur Tune des normales communes, soit constante.
Imaginons que de la matière attirante soit répandue sur ces deux surfaces, de telle façon que les densités sur deux éléments correspondants des deux surfaces soient égales et de signe contraire.
DIFFRACTION
En considérant le potentiel dû à Tattraction d*una pareille double couche, nous allons trouver de nouvelles solutions particulières de Féquation (i).
Désignons par e la distance qui sépare les deux couches , par X^ et — X^ les valeurs de la densité aux centres de gravité P et P' {fig. 8) de deux éléments correspondants cUûj et posons
tar
Nous aurons pour le potentiel dû à l'attraction de ces, deux éléments sur un point M situé en dehors de ^
la couche, et dont la distance à l'un des éléments de surface est r, '
X^rfwP (r) — X^rftoF (r -f^ dr) .
= — X^dis>drF\r). p
Pour avoir la valeur de dr nous abaisserons du centre P d*un des éléments une perpendiculaire PQ sur la droite MP' ; la Fig. 8.
distance P'Q sera, à un infiniment petit du second ordre près, égale à dr ; nous aurons donc
c?r = e cos ^f
^ désignant l'angle de la droite MP' avec la droite PP' qui est normale à chacune des couches. En portant cette valeur dans (8) nous obtenons pour le potentiel total,
Eo = rX,«d<oC0S(J<F'(r).
Gomme la fonction X| est quelconque, on pourra, sans diminuer la généralité de la solution particulière (9) remplacer X^e par une seule lettre X^ désignant une fonction quelconque de œ^ y^ z. En outre, puisqu'on a posé
on aura pour la dérivée,
Par conséquent l'expression (9) de Ç^ peut s'écrire
(10) ïo= / Xj— -lia — -ïcos^rfû).
Posons encore :
t I A, cos iL .
. / X^coi
Xj C08 ^ ^ TT + ;:i J *«>•
Nous voyons que \^ représente le potentiel newtonien d'une double couche. Quant à la seconde intégrale \^ (comme la
fonction sous le signe Tne devient pas infinie) elle sera continue ainsi que toutes ses dérivées.
La théorie du potentiel newtonien nous apprend que -r*
DIFFRACTION 109
est continu, mais que l^ est une fonction discontinue. Donc
-rr^ est continu et Iq sera une fonction discontinue qui subira
un saut brusque égal à 4irX2 quand on franchira la surface attirante.
81. La combinaison des intégrales (7) et (10) nous donne la solution la plus générale de Téquation (1).
En effet si X^ et X^ sont deux fonctions quelconques des coordonnées d*un élément rio d'une surface quelconque ; si r est la longueur de la droite qui joint Télément dia au point ^> Vf ^ ; et que ^ désigne Tangle que fait cette droite avec la normale à Télément dta^ Texpression.
(11) ç, = / X, Ç rfo, + / Xjcos^ ^(t* -^)
dis}
satisfera à réquation(l). Il nous reste à montrer que c*en est là l'intégrale générale.
Soit U une fonction quelconque finie et continue ainsi que toutes ses dérivées et satisfaisant à Téquation (1) en dehors d'une certaine surface S.
Soit V le potentiel dû à un certain volume attirant dont une partie pourra se trouver en dehors de la surface S. On aura
(12) AV + a^V = o,
en dehors du volume attirant, et en un point de ce volume
(13) AV + Qt»V-f^ 4itp = 0,
p étant la densité de la matière attirante.
iiO THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
Le théorème de Green nous donne :
(**) / {Ux--vS)'*-= / (UAV-VAD)rfT,
dn
\dio=z j (UAV —
la première intégrale étant étendue à tous les éléments cUo de la surface S et la seconde à tous les éléments de'volume dt de l'espace extérieur à cette surface. Dans le calcul des dérivées
-r- et^- on considère la normale à l'élément dto comme diridn dn
gée vers l'intérieur de la surface S.
Gomme U satisfait à l'équation (l) et Y aux équations (12)
et (13) l'intégrale du second membre de (14) se réduira à
47C / UpC?T,
l'intégration devant être étendue au volume attirant qui engendre le potentiel Y ou plutôt à la portion de ce volume qui est extérieure à S. , Supposons maintenant que le volume attirant qui engendre
Y se réduise à une sphère de rayon 1res petit ayant pour centre le point Xq, i/qj Zq, et que la densité p soit telle que la masse attirante totale soit égale à 1. Alors, en appelant r^ la distance d'un élément day de S au point œ^, y^, Zq, la valeur de
Y au centre de gravité de cet élément se réduira à :
tiarr
et celle de -r- à :
dn
-fCOS^ — (..-;:.),
DIFFRACTION 111
^ désignant toujours l'angle de la normale extérieure à Télément cUù avec la droite qui joint cet élément au point
^0» Vo» ^0*
L*inté'grale / Upc?T se réduira à U^ (U,, étant la valeur de U
au point x^^ ^o» ^o)y ^^ ^^ point est extérieur à S, Cette intégrale est nulle dans le cas contraire, car elle s*étend à la portion du volume attirant extérieur à S, et si le point Xq, j/q, Zq est intérieur à S, il en est de môme du volume attirant tout entier. On a donc simplement :
-4.„.=y(„^-vf).„.
Si, supprimant les indices, nous appelons x, y, z le point que nous avons appelé x^, yo, Zf^\ r sa distance à Télément da>, et U la valeur de la fonction U en ce point ; il vient simplement :
" = -J ^ t('* - t) »"« + '*- +y Tn
On voit ainsi que U, qui est une fonction quelconque satisfaisant à Téquation (i),est égale à Texpression (11^ pourvu qu'on
prenne pour la fonction arbitraire X^ la valeur de j-^ sur
l'élément dUù et pour la fonction arbitraire X^ la valeur
de T" sur ce même élément.
82. L'équation (15) est vraie |si le point a?, y, z est extérieur à S. Dans le cas contraire le second membre de cette équation
(15) se réduit à 0, car nous venons de voir que, si le point
^0' yo> ^0 ®st intérieur à S, l'intégrale jV^dr est nulle.
Sidansrexpression(ll),les fonctions arbitrairesX^etXjSont quelconques, cette expression représentera toujours à Textérieur de S une fonction U qui satisfera à Téquation (1) ; mais
il n'arrivera pas en général que U se réduira à — 47tXj et -r-
à 471X4 quand le point oc, y, z se rapprochera indéfiniment d'un élément d^a de S.
Pour qu'il en soit ainsi, il faut, d'après ce que nous venons de voir, que l'expression (H) soit nulle toutes les fois que le point a?, y, z est intérieur à S.
Cette condition est suffisante. En effet, si elle est remplie, en un point infiniment voisin de S, mais intérieur à cette surface, les valeurs de l'expression (il) et de ses dérivées seront nulles.
Considérons maintenant un point infiniment voisin du premier, mais extérieur à S. D'après ce que nous avons dit plus haut de la discontinuité du potentiel d'une simple couche ou
