TT

d'une double couche, les valeurs de U et de :?- en ces deux

points infiniment voisins devront différer de quantités égales

respectivement à 4itX| et — 4^X3.

Or au premier point on a

On aura donc au second

DIFFRACTION 113

83. Équations de la diifraotion. — Soit une source lumineuse que nous supposerons réduite à un point dont les déplacements sont des fonctions périodiques du temps. Ce point deviendra le centre d'une série d'ondes sphériques dont chaque point sera animé d'un mouvement périodique. Les composantes du déplacement d*un de ces points seront les parties réelles d'expressions de la forme

Çi, 7^4, Ci, satisfaisant aux équations différentielles

Aï, + %% = o, (2) Al,, + ^% = o.

AC, + :l% = ,

Les ondes sont sphériques, d'où il résulte, non que l^ y\^ C4 sont fonctions de r seulement, (ce qui est incompatible avec la condition de transversalité) mais que ces quantités varient beaucoup plus lentement quand on se déplace sur la surface d'une sphère S ayant son centre en que si l'on se déplace normalement à cette sphère.

Nous poserons donc

^2* 1^12» ^2 variant beaucoup plus lentement que le facteur e'*^'*«

Là LumàaK. 8

La dérivée de e'*'" est égale à iW*** ; comme a = ^ est

une quantité très grande; cette dérivée est elle-même très grande. Au contraire, nous supposerons que les dérivées de

I2 ' "^a ^^ ^2 ^^^^ d^s quantités finies.

Soient /, m, n les cosinus directeurs de la normale à la sphère S; nous avons besoin de

dn dx dy ^ dz

Nous trouvons :

dn^ dr^ **^2^ ^^ rfr ! •

Le second terme est très petit par rapport au premier parce que a est très grand ; on a donc approanmativement

et de même ,

Supposons maintenant qu'une portion d'une sphère S ayant pour centre le point lumineux soit occupée par un écran. L'intensité lumineuse en un point de Téther intérieur à la sphère, sera très sensiblement le même que si l'écran n'existait pas. Il en sera de même pour les points de la sphère extérieurs à l'écran. Pour les points de l'écran, Tintensité doit être très sensiblement nulle.

DIFFRACTION 115

84. Voici, donc les conditions que nous aurons à remplir : A Textérieur de la sphère S les trois coniposantes du déplacement seront les parties réelles des exponentielles

Ço«-'"^S -no^'-^S Co^-'""^'.

et les fonctions l^, t^^, Co devront satisfaire aux quatre conditions suivantes.

A. On devra avoir en dehors de S

A?o + ^% = Atio + *% = ACo + ^\ = o.

B. En tous les points de S qui n'appartiennent pas à l'écran on doit avoir très sensiblement

— rfru dy\,

^•-^^' dn -dn ■~**^<-

C. En tous les points de l'écran, on doit avoir très sensiblement.

^0 - >lo - ^0 - ^^ - ^^ - ^^ - "•

D. La condition de transversalité

^^^ dx^ dy ^^ " "'

doit être remplie.

11 est impossible de satisfaire exactement aux conditions

B et G ; on n'y peut satisfaire que très tensiblemetil , c'est-àdire à des quantités près de l'ordre de la longueur d'onde X, Nous avons vu plus haut que si une fonction ^ satisfait & l'équation \l^ -j- a.\ = o k l'extérieur d'une surface S, si aux divers points de cette surface elle se réduit à — 4itX,

pendant que -r'se réduit à 4iiX, , on aura à l'extérieur de S

(3) So = / Xa ^(iV — ~\ cos^dm + / X, ^ d<i>,

tandis qu'à l'intérieur de S, le second membre de (3) se réduira à 0.

Ici notre surface S se réduit à une sphère de centre ; Sb et

-T-" sont très sensiblement nuls pour les points de l'écran ;

pour les points extérieure à l'écran, ^ est h peu près égal à £«

et -T^ à iv.\, si l'on considère la normale à S comme dirigée

vers l'extérieur, et à — ta^,, si on regarde cette normale dirigée vers l'intérieur, ainsi qu'on doit le faire dans l'application de la formule(15) du n" 81.

Si donc nous prenonB

X, = idX, = 0, pour les points de l'écran de S et

pour les points extérieurs à l'écran, le second membre de (3) différera très peu de l^ à l'extérieur de S et très peu de à l'Intérieur de S.

DIFFRACTION H7

Nous arrivons donc à la conclusion siiivante.

S'il existe des fonctions Çq, tjq, Coi satisraisant approximativement aux conditions A, B, G, D, ces fonctions seront très sensiblement représentées par les intégrales

/e'*** / cos 4/\ X,*> — (i<t -h «■* C08 ^ jr^y

Zjrfco ( «* + «OtCOS ^ — J- h

étendues à tous les éléments dm de la sphère S. Dans ces formules,

Xj = Ya = Z, = o si Félément diû appartient à l'écran , et on a

^>-""W ^»-"47r' ^^^-"iir

si l'élément dia n'appartient pas à Técran.

85. Il nous reste à faire voir qu^il existe effectivement des fonctions satisfaisant à ces conditions ; nous avons donc à montrer que les expressions (4) remplissent à très peu près les conditions A, B, G, D.

1* La condition A est certainement remplie d*après ce que nous avons dit au n* 82.

2* D'après ce que nous avons vu dans ce même paragraphe» les conditions B et G seraient remplies exactement si les in-

ii8 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

tégrales (4) étaient exactement nulles à Tintérieur de S. Elles seront donc sensiblement remplies si ces intégrales sont sensiblement nulles à Tintérieur de S.

Nous avons donc à démontrer d^abord que les intégrales ^4) sont sensiblement nulles h Tintérieur de S et pour cela à donner une méthode pour calculer approximativement ces intégrales. G^est ce que nous ferons dans le paragraphe suivant.

Noui; établirons ensuite que si Iq, y)q, Cq ^ont définis par les formules (4) on a très sensiblement

^^^dx^ dy^dz^^' Rem^LTquons en passant que les intégrales (4) représentent à rintérieur et à l'extérieur de S deux fonctions différentes qui ne sont pas la continuation analytique Tune de Fautre. Gela tient à la discontinuité du potentiel d'une simple ou d'une double couche. Aussi les intégrales de Fresnel qui rendent compte des phénomènes optiques qui se passent à Textérieur de la sphère S, ne représentent pas les phénomènes qui se passent à l'intérieur de cette sphère. G'est là l'explication des anomalies signalées par Poisson.

86. Calcul des intégrales (4). Nous allons chercher à calculer approximativement la première intégrale (4) que nous écrirons

(5) Ço =

en posant pour abréger

(6) X = X,[.-«(l + cos4,)-^]

DIFFRACTION 119

Changeons de coordonnées. S [fig^ 9) étant la sphère dont une portion est occupée par un écran ti P le point éclairé x^ y y z^ la position d*un point sera déterminée dans le nou-

veau système de coordonnées, par l'angle (p que fait le plan passant par ce point et la droite OP avec un plan fixe mené

FIg. 9.

par OP, par Tangle 9 de la droite qui joint le point au point avec OP, et enfin par le rayon vecteur R mené du point 0. Dans ce système un élément de la surface de la sphère S de rayon a, a pour expression

rfo) = a^ sin 0d9d(f.

On peut donner à cette expression une autre forme. En désignant par b la distance QP du point P à la sphère, on a dans le triangle MO? :

H = (a + by -f. a> — 2a (a + b)cosO; en difiTérentiant, on obtient

rdr = a (a -{- b) sin Bd9, Et, si on remplace dans day le produit sin OdB par sa valeur

dans cette dernière expression, il vient :

ù vdv a

^^ = — } — r"I\ ^9 = — TT rdrdm.

En portant cette valeur de dta dans l'expression (3) de Iq , nous obtenons.

"+vi'

l'intégration étant prise entre b ei2a-^b pour r, et entre Oet an pour (p.

Toutefois nous n'étendrons l'intégration qu'à la partie delà sphère S non occupée par Técran ; cela ne changera rien au résultat puisque sur Fécran, la fonction X est nulle. Nous aurons ainsi l'avantage que dans tout le champ d'intégration, la fonction X sera continue et que ses dérivées seront finies, ce qui est nécessaire pour ce qui va suivre. Dans ces conditions les limites de l'intégration par rapporta r ne seront pas forcément ô et 2a 4" *• Nous les appellerons r^ et r^.

Intégrons d'abord par rapport à r. En appliquant la règle de l'intégration par parties ^t en désignant par r^ et r^ les limites de la variable, nous aurons

et, si nous intégrons par parties Tintégrale du second membre nous obtiendrons ^

Xe"rdr = \-:^\+^\^e'-r\--^ / ^ ^''àr.

DIFFRACTION 121

a étant une quantité infiniment grande nous pouvons en généraly dans le calcul approximatif que nous nous sommes proposé; négliger les termes du second membre qui contiennent en facteur une puissance de a inférieure à — i. Nous avons dors

et la valeur de^o^^"^^^ P^^ l'intégrale (7) est approximativement

'»' ^=ït^/[^];/'-

87. Dans la figure 9, le point P se trouve en dehors de la sphère S ; mais il est évident que si nous avions pris le point P à Tintérieur de la sphère, nous serions arrivés à la même expression de l^ en considérant dans ce cas la distance b du point à la sphère comme négative.

Nous allons montrer à Taide de l'expression (8) que la va leur de ^ est sensiblement nulle en un point intérieur à la sphère.

Voyons en effet ce que représentent les limites supérieure et inférieure r^ et r,. Plusieurs cas peuvent se présenter ; nous n*en envisagerons que trois :

i* Il n*y a pas d'écran. On a alors

si le point P est extérieur à la sphère, et

si le point P est intérieur à la sphère.

2° Il y a un écran ; le point Q, pôle du point P, n'est pas sur récran, mais le point diamétralement opposé appartient à récran.

Alors r^=: b ; et la limite supérieure r^ , qui est en général une fonction de cp, est la valeur de r qui correspond au* bord de récran.

3M1 y a un écran ; le point Q appartient à Técran et le point diamétralement opposé n*en fait pas partie.

Alors Tj := 2a it: 6 et a^ est la valeur de r qui correspond au bord de Técran.

Appelons J l'intégrale

prise le long du bord de l'écran, et soient X' et X'^ les valeurs

Xe'*** de — : — au point Q et au point diamétralement opposé.

Nous aurons :

dans le premier cas Iq = . . (27rX" — 27tX'), dans le second L = — t—t (J — 27rX'),

dans le troisième Iq — — ^j-j (27rX" — J).

Nous verrons plus loin que J est généralement négligeable.

DIFFRACTION 1^23

Il nous reste à calculer X' et X'^, Nous avons X = X, (ta-f- tacos^ ^j.

Le dernier terme — ^est négligeable devant ta parce que <x

est très grand. Il reste donc

X = fxXj (1 +cos<f) = — ?^ (i 4-C08<f)

puisque en dehors de l'écran X^ est égal à — t^ '

Au point Q on a :

si le point P est extérieur àS <j; = o X'=r — -t gicib^ •

si le point P est intérieur à S ^ =: t: X' = o.

Au point diamétralement opposé on a, dans tous les cas ^ = 7c et X'' = 0.

Par conséquent, si le point P est intérieur à S,rintégrale(8) sera généralement négligeable.

88. Si le point P est extérieur à S ; on a dans les trois cas envisagés plus haut :

Dans le premier cas l^ = l^ e'«*

Dans le second cas L = Ç. e'«* — r-v.

Dans le troisième cas ^o = ^'

Donc si le point Q n'appartient pas à l'écran, c'est-à-dire si P n'est pas dans l'ombre géométrique, l'intensité est la même que s'il n'y avait pas d'écran. Si au contraire P est dans

Tombre géométrique, l'intensité est nulle. En d'autres termes les phénomènes sont les mêmes que dans la théorie géométrique des ombres. Il n'y aura donc de phénomènes de diffraction que si l'intégrale J n'est pas négligeable.

Nous sommes donc amenés à : 1^ Démontrer que l'intégrale J est généralement négligeable.

2^ Chercher quels sont les cas d'exception où elle cesse de l'être.

Nous avons à évaluer l'intégrale

étendue à tout le contour de l'écran.

Pour cela nous décomposerons ce contour en un certain nombre d'arcs partiels qui seront de deux sortes

i** Sur les arcs de la première sorte la dérivée -^ sera finie;

2** Sur les arcs delà deuxième sorte, cette dérivée sera assez grande pour ne pas être négligeable devant a.

D'ailleurs rien ne nous empêche de supposer que la subdivision du contour en arcs partiels ait été faite de telle sorte que le long d'un de ces arcs r soit ou constamment croissant ou constamment décroissant.

89. Évaluons d'abord l'intégrale prise le long d'un arc de la première sorte.

Si nous prenons comme variable d'intégration r, notre in* tégrale s'écrira :

la €17'

DIFFRACTION 125

En intégrant par parties, on a :

a' rfr '^ «2 / dr dr

Or X est du même ordre que <x ; si donc ^ est une l^uantité

finie chacun des termes de cette dernière somme est de Tordre

de - , c'e8t-à->dire négligeable. Ainsi l'intégrale prise le long

d*un arc de la première sorte est négligeable. L'intégrale

prise le long d'un arc delà seconde sorte sera aussi négligeable

en général, parce que la différence 91 — (p^ des limites d'inté-

gration sera du même ordre de grandeur que - .

Pour que l'intégrale J ait une valeur finie, il faut donc que ?i — ?o ^^^^ finie, c'est-à-dire qu'un au moins des arcs de la seconde sorte soit vu du point Q sous un angle fini ; ce qui peut arriver dans deux cas :

i* Si cet arc est lui-même fini ; on a alors tout le long de

cet arc -i^=:oo, — = 0, r=: const. ; c'est-à-dire, que l'arc

en question doit dififérer très peu d'un arc de cercle ayant son pôle en Q.

2* Si cet arc passe très près du point Q, c'est-à-dire si ce point est très voisin du bord de l'écran.

iî6 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Toutes les fois qu'il n*ea sera pas ainsi, Tintégrale J sera négligeable et nous n'aurons pas d'autres phénomènes que ceux prévus par la théorie géométrique des ombres.

90. Cherchons donc dans quels cas -^ est infini. Nous avons trouvé au n* 86

^ ^ rfr~a{a + ô)sinôrf0'

Cette égalité nous montre que -^ pourra devenir infini dans

deux cas : i** si sin ô est très petit; 2** si 3^ est infini.

Considérons le premier cas. L*angle 9 étant très petit, un arc du contour de l'écran est très voisin du point Q et l'on

peut confondre la portion de la sphère ^y^ qui contient cet arc avec un plan passant par Q. En outre cet arc étant infiniilli^c^ ment petit, on peut le considérer comme

M ^ un élément d'une droite AB {fig, 40). La

^^«- *^' I distance du MQ point Q à l'élément d arc

M est a9, a étant le rayon de la sphère sur laquelle se trouve

la portion considérée du contour de l'écran. En appelant

al la plus courte distance QC du point Q à la droite AB, et

(p l'angle de QM et QC, nous avons

a6 cos (p = a5

ôcosç = S.

DIFFRACTION 127

Langle (p que nous considérons ici ne difiere d'ailleurs que par une constante de l'angle désigné précédemment par la même lettre ; leurs différentielles auront donc la même valeur. En différentiant les deux membres de l'égalité précédente, nous trouvons

-r- C08 9 — 6 sin ç =0,

nouvelle égalité qui nous montre que -j- est du même ordre

que ô, et par suite, que 8. Psw conséquent -^ est de l'ordre de r et -^, donné par la relation (10) est de l'ordre de p.

Si le point P est à une distance finie r de la sphère, ^. est

de l'ordre de rj et si l'on veut que cette dérivée soit du même

ordre que r il faut que $ soit de l'ordre de V^X . Si au

contraire le point P est à une distance de la sphère de Tordre de X, il faudra que o soit du même ordre que X

pour que -j^ soit un infiniment ^rand de l'ordre de -.

La droite qui joint le point P à la source lumineuse devra donc rencontrer la sphère à une distance du contour de l'écran de Tordre de X pour qu'il y ait en P un éclairement anormal ; la région dans laquelle doit se trouver le point P est alors trop petite pour être observable. On ne pourra observer d'anomalies dans Téclairement de P que lorsqu'il sera une distance Bnie de la sphère.

Ainsi, sur une sphère concentrique à S, et de rayon a -f- ^»

b étant fini, la région occupée par les franges de diffraction est de même ordre de grandeur que V^X. Sur la sphère S ellemême, cette région est du môme ordre de grandeur que X.

91. Examinons le second cas dans lequel -^ est une quantité infiniment grande: -^ étant infini, -r- doit être infiniment petit. Si donc -r—r est une quantité finie, il faudra, pour que

3* soit de Tordre de r> que t- soit de Tordre de X. dr X ^ c/qp

Il faut en d'autres termes qpe ô soit une constante aux quantités près de Tordre de X, c'est-à-dire qu*en négligeant les quantités de cet ordre, un arc fini du contour de l'écran puisse ôtre regardé comme un arc de cercle ayant son centre en Q ; la distance du point Q au centre de courbure moyen de cet arc doit donc être de Tordre de X ; il résulte de là que les points éclairés d'une manière anormale sont tous contenus à Tintérieur d'un cercle dont le rayon est de Tordre de X et que les phénomènes sont inobservables.

11 faut donc pour que Tobservation soit possible que sin G et par conséquent le rayon de cet arc de cercle soit très petit.

Si est une quantité de Tordre de V^X il suffira que -r-

et par suite la distance du point Q au centre de Tare de cercle soit aussi du même ordre.

La région de l'espace dans laquelle le point P doit être situé pour présenter des phénomènes anormaux est alors suffisamment grande pour qu*on puisse observer ces phénomènes.

Remarquons que si le point P est situé sur la sphère, son

DIPPRÀCnON 129

éclairement sera déterminé par la théorie géométriqae des

ombres, ou du moins, Tobservation sera impuissante à déceler

une différence entre Téclairement ainsi déterminé et Téclai-

rement réel.

On aura, en effet, quand le point P tend vers le point Q

sin i

= - , car, dans le triangle MOP, on a

sin Q sin OMP

et à la limite l'angle OMP est droit. Puisque est fini ilarri-

yera encore, d'après ce que nous venons de voir, que les

phénomènes ne seront pas observables. *