Simplification des expressions l^ -r^^ Co* Nous avons
vu que, si le point Q est à une distance finie des bords d'un
écran, Téclairement du point P est le même que dans la théorie des ombres, et en second lieu que Téclairement est
modifié si le point Q est à une distance de Técran de Tordre de V^X. L'éclairement d'un point ne dépend donc guère que des portions de la sphère qui sont voisines du point Q. Ce point est appelé le pâle du point P. Nous allons profiter de cette remarque pour simplifier les valeurs de l^ t^q Co données par les intégrales (4).
Prenons la première de ces intégrales.
/• I • I cosA
( tOL -f- tOLCOSt]/ ^j.
Puisque les parties de cette intégrale qui ne sont pas négli-
DIFFRACTION 131
geables sont celles qui correspondent aux points très voisins
du pôle Q du point éclairé P, nous n'étendrons l'intégrale qu'à ces points, et nous pourrons considérer X, et ^ comme des constantes. Comme en outre <x est une quantité très grande et que r doit être fini pour que les phénomènes de diffraction soient observables, nous pouvons dans la quantité
placée sous le signe d'intégration négliger le terme — - par
rapport aux deux autres termes ta et tacos<{/. En faisant cette
simplification et en mettant les termes considérés comme
constants en dehors de Tintégraie, nous avons
Ço = X^ia (1 -f cos ^)
On sait' d'ailleurs (84) que
par conséquent, en remplaçant, dans l'expression de (q, X, et cos t|> par les valeurs de ces quantités au pôle Q, nous aurons
La distance rdu point P aux points de la sphère qui avoisinent le pôle Q diO'ère très peu de la distance PQ = 6, et, par suite, peut être mise en dehors de l'intégrale puisque cette intégrale n'est étendue qu'aux points voisins de Q. La valeur de (q deviendra
Çn = -s^¥ 1 e^^'dio.
et enfin, par une dernière transformation,
94. Cherchons la valeur de cette dernière intégrale. Nous avons dans le triangle MOP (fig.9)^
r^ = {a + bY -f a» — 2a (a + b) cos6 ;
et comme nous n'avons à considérer que des points voisins du pôle Q pour lesquels est très petit, nous pouvons remplacer
cos ô par les deux premiers termes i — T ^® ^^ développement ; nous aurons
r» = {a^bY + a> - 2a(a + b) {i -|), '
ou r» = (a + ô — A )^ + a (a + ô) 6» = ô» + a (a 4- 6) 6^
En désignant par s Tare de grand cercle QM compris entre un point M de la sphère et le pôle Q, nous aurons,
et en portant cette valeur de 6 dans l'expression de H, il viendra
r« = ô» + «iii,».
On tire de lè,
DIFFRACTION 133
Mais r différant très peu de b, on peut remplacer r -\- b par 26, de sorte que Ton a
Cette valeur de r — b portée dans Texpression de Ç^, donne
L'intégrale ne devant être étendue qu'aux portions de la sphère avoisinant le point Q, on peut considérer .ces portions comme situées dans le plan tangent à la sphère en Q. Prenons dans ce plan deux axes de coordonnées rectangulaires se coupant en Q. Dans ce système les coordonnées du point M seront les distances / et l' de ce point aux axes. Pour simplifier Texpression de i^, nous définirons la position du point M par deux paramètres u et v tes que
7 4 / ^^^ ,i 4 / ab\
On a alors.
et
ab\
cUù = dl,df = dudv
2 (a + by
En portant ces valeurs de s^ et de c^co dans l'expression de Ç^, nous aurons après simplifications,
et comme nous avons posé a =r ^ » nous obtenons en remplaçant a par cette valeur
95. Intensité lumineuse en un point. — D*après ce que nous avons dit au n^ 76, la composante suivant l'axe des x du déplacement d'un point P situé en dehors de la sphère S, est
Ç = partie réelle de Ç© ^"'^^'t
où Iq est remplacée par Texpression (il) que nous venons de trouver. Nous aurions pour les deux autres composantes les quantités
Yj = partie réelle de -no^""'*^', Ç = partie réelle de Ço^""'*^',
y^Q et Co 86 déduisant de Iq en remplaçant dans l'expression (il) l^ par tii ou C^ • L'intensité lumineuse au point P sera donc proportionnelle à
or, on a,
^= partie réelle de (- iaVÇoe-'^y + «-'«^^ ^\
et deux expressions analogues pour -^ et -j-. Par conséquent rintensité est proportionnelle à la somme des carrés des
DIFFRACTION 135
modules des trois quaDtités analogues à
(-.■.vs.+f)
Mais dans la valeur (II) de l^ la seule quantité qui dépende du temps est ;p de sorte que Tintensité est égale à la somme des carrés des modules de trois quantités dont la première est
et dont les deux autres se déduisent de celle-ci en remplaçant Ç, par Tj, et Ç<.
Les phénomènes de diffraction s*observant dans un plan, nous avons à considérer l'intensité relative de points situés dans un même plan. Ces points étant toujours voisins entre eux et à une certaine distance de Técran, nous pouvons admettre que les distances b de chacun d*eux à la sphère qui contient Tpcran sont les mômes. Il en résulte que, dans cha* cun des termes (1) dont la somme des carrés est propor-
tionnelle à Tintensité, le facteur ^, — r-n est le même pour
ces points, si toutefois on ne considère que la lumière homogène. En outre, comme ces points sont vus au même instant et que les valeurs de l^ •r^^ d varient peu quand on passe d'un point
de la sphère S à un point voisin, le facteur ( — taVS^ "h "3/)
aura sensiblement la même valeur. L'intensité relative de la lumière aux différents points observés sera donc proportronnelle , au même instant, au carré du module de
l'intégrale,
(^) j e^ 'dudv,
qui se trouve en facteur dans le terme (I) et les deux qui 8*en déduisent. Il nous suffira donc pour avoir Tintensité lumi- 'neuse aux divers points du plan où se font les observationn, d'étudier les variations du module de cette intégrale.
96. Expression de Fintégrale (2) dans le cas d*une fente à bords parallèles. — Nous supposerons que Tun des axes auxquels correspondent les paramètres u et v est parallèle aux bords de la fente ; ce sera Taxe des u, par exemple. Si on se reporte à la relation
, / ab\
qui lie le paramètre u à la distance S d'un point du plan des
uo à Taxe des v, on voit que u est de l'ordre de "7^. La fente
ayant une longueur, sinon illimitée, du moins très grande par rapport aux quantités de l'ordre de V^X, les valeurs de u seront toujours très grandes pour les points qui sont observés. Par conséquent, on peut dans l'intégrale (2) regarder les limites de u comme infinies. Nous désignerons par v, et v, les limites de v qui ont en général des valeurs finies, la lar* geur de la fente étant petite. Nous pouvons mettre cette intégrale dont les limites sont des constantes sous la forme
e^ du I e ^ dv,
DIFFRACTION « 137
La première de ces intégrales a pour valeur I -\- 1 dont le module est 2 ; de sorte que nous n*avons à nous occuper que de la seconde qui devient, lorsqu'on y remplace Texponentielle par les fonctions trigonométriques,
e ^ dvzrz^l COS-5- at? 4" * / 8in — â" "^•
