Représentation graphique de l'intégrale
Les deux intégrales du second membre sont connues sous le nom d'intégrales de Fresnel ; nous allons les étudier. Pour simplifier les calculs, nous supposerons nulle la limite inférieure de ces intégrales ; il sera facile ensuite de passer au cas général où les limites sont quelconques en faisant la somme algébrique de deux intégrales dont une des limites est 0.
Posons donc
cos — av, sm -Y dv.
et construisons la courbe lieu des points de coordonnées a; et y. Elle passe par Torigine des coordonnées, car on a a: = y = o pour « = o. Si on change t? en — r, l'élément des intégrales ne change pas, mais la limite supérieure change
de signe et a? et ^ changent à la fois de signe ; l^origine est donc un centre de symétrie de la courbe. Prenons les différentielles de x et de y, nous avons
dx = cos — av, dy = sin -3- »^-
En élevant au carré et additionnant, nous obtenons
dx^ -f" dy^ = ^^ = rf«'' ; donc
ds = dv,
ds étant un élément d*arc de la courbe. En intégrant les deux membres de cette égalité et en prenant pour constante d*intégration, ce qui revient à compter les arcs à partirde Torigine puisque a; = y = o pour v = 0, on a
dy Le rapport de -^ donne la tangente de Tangle formé par
Taxe des x et la tangente à la courbe au point a?, y ; en désignant par a cet angle on a
Le rayon de courbure en un point est donné par
ds dv
dv. TZVdv TCO '
à l'origine, c'esl-à-dire pour t; = 0, le rayon de courbure est
DIFFRACTION
infini et comme a est nul en même temps que v l*axe des x est une tangente dUnflexion au point {flg,ii).
Pour construire la courbe nous ferons varier v de o à l'in- Qni ; l'angle a de la tangente à la courbe avec Taxe ox augmentera au delà de toute limite ; le rayon de courbure tendra vers o. Nous aurons donc une courbe en forme de colimaçon avec un point asymptotique. Cherchons les coor- P*«- **•
données de ce point A. Pour cela cherchons la valeur de Tintégrale
dv.
On sait que Ton a
Si nous posons
lit , 2 '
nous avons,
— tir
dx
= dv)^:
lit
Par conséquent, nous aurons pour l'intégrale cherchée.
or
I e ' rfo = a; + iy,
donc, pour » = t». noua avons
Telles sont les coordonnées du point asymptotique A. On obtiendra la partie de la courbe correspondant à des valeurs négatives de r par symétrie.
98. Pour mieux définir la courbe nous pouvons chei^ cher la manière dont varie la distance AM du point asymptotique A a un point quelconque M de la partie de la courbe qui correspond aux valeurs positives de v.
Soit ola valeur du paramètre qui corresponde ce point, ses coordonnées seront
= I cos -â" ""i y = / *'
Transportons l'origine des axes de coordonnées au point M ; l'abscisse du point asymptotique A par rapport à ces nou-
DIFFRACTION 141
veaux axes sera égale à son abscisse par rapport aux anciens axes diminuée de l'abscisse du point M, c*est -à-dire
I cos — dv — I cos — at? =1 cos — dv.
L'ordonnée du point A par rapport aux nouveaux axes s'obtiendra de la même manière et on aura,
sm -^- dv.
Les coordonnées du point asymptotique par rapport aux axes passant par M seront donc données par la partie réelle et la partie imaginaire de l'intégrale
e» dv.
Nous all<Ai8 chercher une autre expression de J. Pour cela, nous nous servirons encore de l'intégrale
e-^^dz = 2^^
Si nous posons
s ==vw
OÙ V est supposé positif, nous aurons, .
Le produit de cette intégrale par l'intégrale (5) donnera
e ^ * / vdvdtv == 21 Vw.
Intégrons Tintégrale double du premier membre par rapport à V, nous aurons
ou
L'intégrale double devient donc
I 2t<?^ — tTc / 2t<? — lit 2
Nous en déduisons une nouvelle expression de J qui nous montre que les coordonnées du point A par rapport aux axes menés par M parallèlement aux axes ox et oy sont les parties
DIFFRACTION 143
réelle et imaginaire de
Vît
99. Si maintenant nous faisons tourner les axes autour du point M d'un angle égal ^ ô ^^> c'est-à-dire d'après la relation (4), d'un angle égal à celui que fait la tangente à la courbe en H avec l'axe ox, nous aurons un nouveau système d'axes formé par la tangente et la normale à la courbe au point M. Désignons par x' et y les coordonnées d'un point dans ce nouveau système, et par x^ et t/^ les coordonnées du même point dans le système d*axes parallèles kox et oy et passant par M. Nous aurons les formules de transformation
nv^ . . wr*
x' = a?4 cos— + y^ sin-^»
y =y^ cos-^- — «?< sin-g--
En multipliant la seconde par i et additionnant le résultat avec la première nous obtenons
Trt?* , . X . Trr*
ou
^' + *y = (^4 + »><) cos -g {ix^ — yj sin
^ -h »y = (^4 + *yi) (^cos-^- — i s*" "2";
ou enfin
Cette dernière relation nous montre que l'imaginaire x'-\- iy' dans le nouveau système d'axes est égale à sa valeur a?| -j-^Vi
dans l'ancien, multipliée par le facteur e > . Or, pour le point asymptotique A, on a
^k + ^Vk = Jt par suite on aura
x' -\- iy' = Je * »
et Tégalité (6) nous montre que
(7) x' + iy'= I ^jr^^ -rfir.
— lit)
En multipliant les deux termes de la fraction placée sous le signe d'intégration par la quantité imaginaire conjuguée du dénominateur, nous obtenons
V^ (4lO^ + TT»)
La distance du point  à la normale en M qui est la partie réelle de cette intégrale, aura pour expression
dw ;
V^ (4m?* + ic«)
et la distance à la tangente qui en est la partie imaginaire
DIFFRACTION . 145
sera
Les éléments de chacune de ces deux demières intégrales sont positifs et décroissent quand v varie de o à oo . Par conséquent les distances du point A à la normale et à la tangente en M sont toujours positives et décroissantes. Il en résulte que la distance AM va toujours en décroissant En effet, s*il en était autrement, cette distance présenterait un maximum ou un minimum. Au point correspondant à ce maximum ou à ce minimum, AM serait normal à la courbe et la distance du point A à la normale serait nulle, ce qui ne peut être diaprés ce qui précède.
On peut voir que pour les points de la courbe voisins du point A, la droite AM est sensiblement normale à la courbe. Pour ces points v est très grand et l'exponentielle «-»•«>• est très petite à moins que w ne soit petit ; on pourra donc dans rintégrale (7) négliger les éléments qui ne correspondent pas à une petite valeur de to. Mais si u> est petit, le dénominateur 2«?*— lit se réduit sensiblement à — itt, de sorte que la valeur de x' -j* 'V est approximativement
La partie réelle étant nulle, la distance du point A à la normale est nulle, c'est-à-dire queAM est sensiblement normale .
La valeur de AM est approximativement —
LA LUMiias. 10
116 THÉOEUB MATHÉMATIQUE DE LA LtIHlÈRE
La forme de la courbe est alors sufOsamment bien déterminée.
100. Difh'aotion produite par une fente étroite. — Noue avons vu au n'SSque l'intensité lumineuse en un point extérieur est proportionnelle au carré dumodule de l'intégrale
Le module de celte intégrale est égal à la difTérence géométrique des modules des intégrales
e' do. I e' dv.
Si M, (/ig. 12) est le point de la courbe représentative qui correspond à v, , H, celui qui correspond àttj, les modules de ces intégrales seront OH, et OH, ; leur difTérence géométrique est H, H,.
Si on considère un point P éclairé par une fente, les quantités v, et v^ sont proportionnelles aux distances qui séparent SOD pâle Q des bords de ta fente ; comme Kig. 12. 1^ largeur de la fente est constante, la
dilTérence v, — p, a toujours la môme valeur quel que soit le point P considéré dans le plan d'observation. Or, nous avons vu que V, et «, sont égaux aux longueurs des arcs de courbes OH, et OM, ; par conséquent l'arc H, H, a toujours la même
DIFFRACTION
longueur. Nous devrons donc, pour avoir les variations de l'intensité lumineuse aux différents points du plan d'observation, chercher les variations de la longueur d^une corde M| M, sous -tendant des arcs égaux. Pour qu'il y ait maximum ou minimum, il faut que le triangle formé par la corde et les tangentes M| T, et M^TiJîç. 13) soit isocèle, ou bien •M4'*****5£ que les tangentes aux extrémités soient parallèles et de même sens {fig,iA), Nous aurons ainsi deux catégories de maxima et de minima. Pour la seconde catégorie on devra avoir
â v^ étant Tangle formé par la tangente en un point avec l'axe des x. Cette égalité nous donne
|Fig. 13.
ou
en posant
f?J — rj = 4K
Quant aux maxima et minima de la première catégorie, leur recherche est très compliquée.
101. DiAraction par le bord d'un écran. — Dans] ce cas, la limite v^ de l'intégrale (3) du §96 eçt infinie et l'inten-
iiS THÉORIK HATHÉMATIQUK DE LA LUMIÈRE
site lumineuse en un point P est proportionnelle au carré du module de
fi
Si M, est le point correspondant & v, ce module est égal à la longueur AU, de la droite qui joint le point asymptotique A au point Hf.
Quand lepointp est à l'intérieur de l'ombre géométrique, son pôle est sur l'écran ; par conséquent la limite inférieure v, de l'intégrale précédente est positive et le point H, qui lui correspond est sur la partie de la courbe située du m^me côté que A {fiç. IJi). L'intensité va ^■B' is. donc en décroissant très rapidement
dès qu'on s'écarte du bord de l'ombre géométrique sans pré> eenter ni maximum ni minimum.
AM étant approximativement égal à — , le carré du
module de notre intégrale est égal k —g-;'
Par conséquent du côté de l'ombre géométrique, l'intensilé lumineuse varie sensiblement en raison inverse- du carré de la distance au bord de cette ombre.
Si le point P est en dehors de l'ombre géométrique, son pôle Q est en dehors de l'écran ; la valeur limite v, est négative et le point M, est sur la partie de la courbe située audessous de l'axe des x. La droite AM, et par suite l'intensité
DIFFRACTION 119
en P, présenleront une succession de maximum et de minimum ; on aura des franges. Les raaxima et minima de AU, correspondent aux points où cette droite est normale k la courbe. Quand le point H, est Toisin de A' les normales à la courbe qui passent par A diffèrent peu de la droite AA'. Cette droite faisant avec ox un angle égal & 2' '*> tangente en un '''s- 'û-
point correspondant i un maximum ou un mii avec otc un angle donné par la formule
Cet angle ayant pour valeur en fonction deo, s»*.' aurons l'égalité
qui donnera pour v*
Telle est la formule qui donne approximativement les valeurs de V* correspondant aux maxima et minima.
Soient M, et M, deux points correspondant à im maximum el h un minimum consécutifs. La différence d'intensité sera
AMÎ — AMJ.
150 THÉORIE HATRÉHATtQDE DE LA LUMIÈRE
Si le maximum est d'ordre élevé, les points H, et H, seront très voisins l'un de l'autre et seront sensiblement sur la droite AA', on aura alors sensiblement
AM, + AMj, = 2AA'
AM^ — AM. = A'M, + ATU. = -i- + -^
V, et i>3 étant les valeurs de v qui correspondent à H, et à H,. La difiérence d'intensité sera donc
ÎAA'
ce qui montre que la différence entre un maximum et un minimum consécutifs varie sensiblement en raison inverse de la distance au bord de l'ombre géométrique.
102. Diffraction par un petit écran circolaire. — Supposons qu'un petit écran circulaire occupe une partie de la sphère S. Pour avoir les variations de l'intensité lumineuse aux différents points d'un plan situé h une distance b du centre de l'écran, nous devrons comme précédemment étudier les variations de l'intégrale
étendue h tous les points du plan tangent & la spbère en Q, qni sont en dehors de l'écran.
Cherchonsen particulier l'éclairemcnt en un point situé sur la droite qui joint la source lumineuse au centre de l'écAui ; le pôle du point conddéré se trouve alors au centre de l'écran.
DIFFRACTION 151
Posons
t4=pcos<p, t? = p8inf.
On aura
p* = tt* 4" ^^
et comme u eiv sont proportionnels aux distances d*un point du plan tangent en Q à deux axes rectangulaires passant par Q, p sera proportionnels la distance de ce pointa Q. Par conséquent, si nous prenons comme coordonnées p et f , les bords de récran auront pour p une valeur constante a. Le produit du dv proportionnel à la surface d*un élénlent devient dans ce système de coordonnées çidpd^ ; par conséquent l'intégrale qui donne Tintensité est
(2) / / e^^\dfd^.
En intégrant par rapport & (p, on a :
et en faisant Tintégration par rapport à p, on obtient
Kf^-l-^'-'ï
Pour la limite p = oo , U valeur de Texponentielle imaginaire est indéterminée. Nous prendrons pour cette valeur zéro, car
152 THÉORIK MATHÉMATIQUE DE lA LUMIÈRE
nos formules ne s'appliquent qu'au cas oh p est petit et les éléments de l'intégrale (3)'qui correspondent à des valeurs très grandes de p ne doivent pas être considérés. Nous aurons donc simplement
r reT^-'-'U«.„ = 2i.T«'
Le module de cette dernière exponentielle est 2. L'intensité lumineuse au point considéré est donc indépendante de a, et par suite, du rayon de l'écran ; elle a la même valeur que si az= o, c'est-à-dire que si l'écran n'existait pas.
Cette conséquence des formules de diffraction a été trouvée par Poisson. Fresnel a vérifié expérimentalement la présence de ce point lumineux au centre de l'ombre géométrique donnée par un petit écran circulaire.
On conçoit facilement que ce phénomène ne se produise qu'avec un petit écran, car, dans le cas contraire, nos formules ne s'appliquent plus. En effet nous avons vu (95) que Tinten-
site en un point dépend des valeurs de \^ et de -^ aux divers
points de la sphère S. valeurs que nous avons supposées constantes ; ce i^i ne peut être que si nous ne considérons qu'une très petite portion de la sphère S.
lOS.Difhraction par une petite ouverture circulaire. — Dans ce cas, les limites de l'intégrale (3) du paragraphe précédent sont et a. Nous avons donc pour l'intensité en un point dont le pôle occupe le centre de l'ouverture, une quantité proportionnelle au module de
DIFFRACTION 153
Le module du premier facteur est 2, celui du second facteur varie de à 2 avec la valeur de a. Ce module est nul pour a^ =z 4K, K étant un entier ; il est égal à 2 pour a* = 4K -4- 2. Nous aurons donc en un même point de l'espace de l'obscurité ou de la lumière suivant le rayon de l'ouverture. Autour de ce point, on aura des franges qui par raison de symétrie devront être circulaires*
104. Difhraotion en lumière parallèle. — Un cas particulièrement intéressant de la diffraction est celui où Ton observe les phénomènes à une grande distance d'un écran placé très loin de la source lumineuse. Nous pourrons alors considérer le rayon de la sphère contenant Técran comme infini, et cette sphère deviendra un plan.
Soit P {/tg.il) un point de l'espace ; l'une des composantes
du déplacement de ce point R M o
sera la partie réelle de
X étant une fonction du déplacement Ç| d'un point du plan R, et l'intégrale étant étendue à ^ j
tous les points de ce plan. Nous Fig. 17.
avons vu que quand l'écran n'était pas très éloigné de la source lumineuse, la portion de la sphère voisine du pôle du point P avait seule de l'influence sur l'éclairementde ce point. Il en sera de même quand le rayon de la sphère deviendra infini et nous n'aurons encore à considérer dans la recherche de Téclairement du point P que les points du plan R voisins
du pied de la perpendiculaire abaissée de P sur le plan. Nous pourrons donc supposer que la fonction X a une valeur constante et la faire sortir du signe d'intégration. En outre, le point P étant supposé" éloigné du plan, ses distances PO et PM à deux points voisins M et différeront peu Tune de
l'autre, et nous pourrons considérer le facteur - comme
ayant la même valeur pour tous les éléments de l'intégrale qui ne sont pas négligeables. Nous aurons donc pour cette intégrale
= ^ / e'«'c/a, - ^' / éj'«f^-
)rfa>.
en appelant r^ la distance du point P à un point arbitraire du plan Q
105. Par les mêmes considérations que celles que nous avons exposées au § 95 nous arriverions à montrer que l'intensité lumineuse des divers points d'un plan parallèle à R est proportionnelle au carré du module de l'intégrale
(!) I ^^«^'•-Vrfa).
Transformons cette intégrale. Du point M abaissons sur OP la perpendiculaire MM' et désignons par P l'angle OPM et par r la distance PM ; nous aurons
PM' = rcosP =r^r {{— cosP) = r — ârsin^ |
L'angle P est très petit puisqu'on ne considère que des points
DIFFRACTION 155
du plan R voisins l'un de l'autre ; par suite sin* -est le carré
d*une quantité très petite et quoique r soit supposé très grand,
le produit Srsin'r-sera négligeable. On aura PM' = r et
OM' = rQ^r.
Prenons dans ie plan R deux axes de coordonnées rectangulaires passant par 0. Si nous désignons par œ eiy les coordonnées de M et par ^et m les cosinus de la direction OP avec les axes, nous aurons pour OM' qui est la projection de OM sur OP,
OM' = ix + my
et par conséquent.
r^^r = lœ + my.
En portant cette expression de r^ — r dans Tintégrale (i), elle devient
rg-/a(te + my)^j^ .
mais comme nous n'avons à considérer que le carré du module de cette intégrale nous pouvons prendre
(2) . r«'«(''+'»y)rfu),
dont le module est le mâme.
106. franges produites par une ouverture ayant un centre de symétrie. — En général les minima d'intensité lumineuse ne sont pas nuls, car le module de notre intégrale ne pourrait s'annuler que si la partie réelle et la partie
imaginaire s'annulaient à la fois ce qui n*aura pas lieu en général : mais dans le cas de la diffraction produite par une ouverture ayant un centre de symétrie, ces minima sont égaux à zéro.
En effet, si nous supposons que le point est le centre de symétrie de l'ouverture, l'intégrale
étendue à tous les points de Touverlure, doit conserver la même valeur quand on change a? en — a? et y en — y. Par ce changement Tintégrale devient
La partie imaginaire de celte intégrale est de signe contraire à la partie imaginaire de Tintégrale précédente. Gomme ces deux intégrales ont même valeur, la partie imaginaire est nulle et chacune d'elles se réduit à la partie réelle.
/ cos a (to + my) dtù
Cette intégrale est réelle et n'est généralement pas toujours de même signe. 11 faut donc qu'elle s'annule, de sorte qu*en lumière homogène les minima d'intensité sont rigoureusement nuls.
