Difhraotion par des ouvertures semblables
Désignons par 8 l'angle de la direction 0P(/îy.i7) avec la perpendiculaire en au plan de l'ouverture. Nous allons montrer que si on remplace celte ouverture par une ouverture
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semblable dont le rapport de similitude à la première est K, le sinus de Tangle de déviation $ qui corresponH à une même frange est divisé par K.
Si a; et y sont les coordonnées d*un point de la première ouverture, les coordonnées du point correspondant dans Touverture semblable seront K^ et Ky. L'intensité lumineuse en un point P auquel correspondent les cosinus directeurs Z et m sera, dans le cas de la première ouverture, proportionnelle au carré du module de
r« '«('« + «y) rfto),
et dans le cas de la seconde, au carré du module de
r^ iaK (te + my) K^rfo) .
Si nous considérons un point P| toujours situé à la même distance du plan R, mais dont les cosinus des angles avec les
axes des œ et des y 8ont=ret-r:, l'intensité lumineuse en
ce point sera, avec la seconde ouverture, proportionnelle au carré du module de
g/a(Ix + my)Kl^.
Cette intensité sera proportionnelle à Tintensité au point P supposé éclairé par la fente primitive et les maxima ou miniroa de ces intensités auront lieu en même temps. Cherchons le sinus de l'angle de déviation ^^ du point P^. En appelant ^ l'angle du plan POZ avec le plan des xz^ on a,
/ = sin $ cos f m = sin $ sin «p.
Par suite
sin* 8 = P + w^.
Pour le point P| on aura
8in'8^ =^ + gï'
et par conséquent
sinn
sin^S^ =
Cette égalité nous montre que si on remplace une ouverture par une seconde K fois plus grande, le sinus de Tangle de déviation correspondant à une même frange est divisé par K ; le plan de diffraction sera d'ailleurs le même, puisque
le rapport —.n'a pas varié.
Ainsi deux ouvertures semblables produiront des figures de diffraction semblables; mais les dimensions de ces figures seront en raison inverse des dimensions des ouvertures.
108. Théorème de Bridge. — Lorsqu'un écran est percé de plusieurs ouvertures identiques et semblablement disposées, rintensité en un point est égale à l'intensité résultant d'une seule ouverture multipliée par l'intensité due à un ensemble de points lumineux disposés dans le plan comme le sont les ouvertures.
L'intensité en un point P est proportionnelle au carré du module de l'intégrale
(1) Je^^<^^
+ "»y ) dtû
étendue à toutes les portions éclairées de l'écran. Cette inté-
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grale sera la somme d'intégrales de même forme étendues à la surface de chacune des ouvertures. Ces ouvertures étant égales et semblablement disposées, si à un point de coordonnées o; et y de l'une d'elles correspond un point de coordonnées x-^- a eiy -{- b d*une autre, on aura tous les points de cette dernière en donnant kœ et y toutes les valeurs que peuvent prendre ces quantités dans la première ouverture. Par conséquent le terme de l'intégrale (i) qui correspond à une ouyertore quelconque est égal à
ces intégrales étant étendues à toute la surface de l'une des ouvertures. L'intégrale (i) aura donc pour valeur le produit
(i -j- ^t9i{Ui + mb)j^ ) re'^t'^ + ^yJrfu)
que Ton peut écrire
2g iCL {la + mb) r^ /« (/x + my ) ^ ^
l'unité s'obtenant en faisant a= b =
Le carré du module du premier facteur .est propoiiionnel à Tintensité lumineuse due à n points disposés dans le plan comme le sont les ouvertures de l'écran ; le carré du module de l'intégrale est proportionnel à Tintensité due à une seule ouverture. Le théorème de Bridge est donc démontré.
lOO. Théorème de Babinet. — Deux écrans complément taires, c'est-à-dire tels qu'aux vides de l'un correspondent
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les pleins de l'autre, donnent en un point de l'espace le même éclairemrnt, excepté si ce pointest dans la direction de oz.
Désignons par R la portion éclairée du premier écran et par R'ia portion éclairée du second. Puisqu*aux parties non éclairées du premier écran correspondent les parties éclairées du second, la somme des surfaces R et R' doit être égale à tout le plan. L'intensité lumineuse en un point de l'espace sera, avec le premier écran, proportionnelle au carré du module de rintégrale.
r^/adar + my)^^
étendue à toute la portion éclairée de l'écran. Avec le second écran, il faudra pour avoir l'intensité étendre cette intégrale à tous les points de la portion éclairée R' de l'écran. La somme de ces deux intégrales sera l'intégrale étendue à tout le plan, c'est-à-dire
Le carré du module de cette intégrale représente Téclairement dû à une très grande ouverture ; d'après ce que nous avons vu au sujet des ouvertures semblables, les angles de déviation sont d'autant plus petits que les dimensions de l'ouverture sont plus grandes. Pour une ouverture très grande les déviations seront très petites, c'est-à-dire qu'il n'y aura de lumière sensible que dans la direction de l'axe des z.
Cette intégrale est donc nulle pour tous les points de l'espace qui ne sont pas voisins de Taxe oz. Par conséquent, pour
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toas ces points les intégrales qui servent à trouver Tintensité en un point ne différeront que par le signe et le carré de leur module aura la même valeur. L'intensité lumineuse est donc la même en ces points.
