Diftraotion par des ouvertures allongées
Supposons qu'on remplace Touverture d'un écran par une autre obtenue en multipliant les ordonnées de chaque point de la première par la môme quantité K sans changer les abscisses. Dans une telle transformation un carré devient un rectangle, un cercle devient une ellipse.
L'intensité lumineuse en un point de l'espace quand on prend la seconde ouverture est proportionnelle au carré du module de l'intégrale
Par conséquent l'intensité lumineuse donnée par la seconde
ouverture en un point P| auquel correspondent les- cosinus/ et
fit
rp sera égale à K fois l'intensité donnée par la première on-
verture un point F tel que les cosinus directeurs de OP sont / et m.
Si dans le plan passant par P et parallèle au plan R de la Ggur^l7,nous menons des axes de coordonnées parallèles aux axes des x et des y tracés dans le plan R, les coordonnées a7| et y^ de P par rapport à ces axes seront égales aux coordonnées de la projection de ce point sur le plan R. Les cosinus directeurs de la direction OP sont /, m et cos S ; par conséquent, en désignant par z la distance constante du point P au
pfaui R on a
Iz mz
'* cos 8 ^* cos 8
LA LUMlimS. 11
OU, en remplaçant cos8 par sa valeur en fonction de/eldem,
Iz mz
Par conséquent, quand on remplace une ouverture par une autre dont les ordonnées sont Kfois plus grandes les coordonnées du point dont Tintensité est K fois celle que possédait le point a?|, y^ avec l'ouverture primitive sont :
, Iz , mz a?i = — ==? y[ =
Ce point s*est donc rapproché de Taxe des a?|.
Les déviations sont généralement petites de telle sorte que nous pouvons négliger P et m^ et écrire :
œ[ = Iz^ ou
L'abscisse du point qui correspond à un maximum d'intensité n'a donc pas changé pendant que l'ordonnée est devenue K fois plus petite. On déduira donc les nouvelles figures de diffraction des anciennes en multipliant les ordonnées de tous
les points par rr*
Supposons en particulier que l'ouverture primitive soit circulaire. Par raison de symétrie, les franges de diffraction se-
mz K'
DIFFRACTION 163
ront aussi circulaires. Si nous multiplions les ordonnées des divers points de Touverture par K, celle ouverture deviendra
une ellipse. Pour obtenir les nouvelles franges de diffraction,
il faut multiplier les ordonnées des anciennes franges par^r; ces
franges deviendront ainsi elliptiques.
Ainsi une ouverture elliptique produit des figures de diffraction qui sont aussi des ellipses. Ces ellipses sont semblables à Touverture mais inversement placées, le grand axe des franges elliptiques étant parallèle au petit axe de Touverture.
Si nous prenons une fente très allongée, les points où l'intensité est nulle seront très près de Taxe des œ^ car on peut considérer une telle fente comme résultant d'un carré dont on a multiplié le côté parallèle à Taxe des y par un nombre très grand K. On n'observera donc de phénomènes de diffraction que dans le plan des œz^ c'est-à-dire, dans un plan perpendiculaire à la longueur de la fente.
111. Difhraction par une fente ou un écran rectangulaire. — Désignons par 2a et 2b les dimensions de la fente. Pour avoir Tintensité lumineuse donnée en un point P parcette ouverture, nous avons à considérer l'intégrale
rg/a(te + my)^^^^
étendue à toute la surface de la fente. L'élément de surface diû étant égal au produit dœ dy, nous aurons pour nouvelle forme de cette intégrale
r Ce '« t'x + my) c[^cly ;
et comme nous pouvons supposer que l'origine des axes de
coordonnées coïncide avec le centre de la fente, les limites d*intégration seront — a et -|- a pour a?, et — b el-^-b pour y. Les limites d'intégration étant des constantes, l'intégrale précédente est le produit des deux intégrales simples, prises. Tune par rapport à a?, et l'autre par rapport à y. Nous aurons à chercher le module du produit
Pour simplifier nos expressions, posons
(1) a/ = tt am = t? ;
nous aurons
La première intégrale de ce produit a pour valeur
eiau g-iau g siu «M
tu u
La valeur de Tintégrale prise par rapport à y est
e'à*^ — e-iàp 2s\nbv iv V
Le produit des deux intégrales sera
sinau sin&t?
DIFFRACTION 1.65
OU encore
. ,8inau sinbv
4ao • — r
au ov
On aura donc pour l'intensité lumineuse une quantité proportionnelle à
'sin bv\ ^
,cfcx /sin au\ * /sin bv\ '
Cette intensité deviendra nulle quand l'un des sinus sera nu], c'est-à-dire pour
(3) att = Ktt, ou bv = K'ic,
oùK et K' sont des entiers quelconques, mais ne pouvant pas être supposés nuls. En effet pour K = o ou K' = o, la valeur
des deux facteurs j — 7 — ' est Tunité et par conséquent
au bv r T
rintensité n'est pas nulle ; elle est même maximum, Tunité
étant la plus grande valeur absolue que puisse avoir chacun
des facteurs. Remarquons que si E et K' sont nuls on a
w = t? = o et par suite / = w = o. Le point dont on cherche
l'éciairement est alors situé sur Taxe oz (fig, 17) c'est-à-dire
sur une perpendiculaire au plan de la fente élevée par le
centre de cette fente. En tout point de cette droite Tintensité
est maximum.
