Les valeurs de / et de m qui correspondent aux mini
ma d'intensité s*obtiennent en remplaçant dans les équations
de condition (3), u et v par leurs valeurs (1) ; ces valeurs
sont
aoL ^ boL
Nous avons vu (110) que si on prend dans le plan où s'ob*
servent les phénomènes deux axes paralli>les aux axes des x et des y et se coupant sur o^, les coordonnées â^^ et y, d'un point sont proportionnelles à /et m. Par conséquent, les points dont Tintensité est nulle sont situés sur des droites parallèles à Tun des axes de coordonnées et équidistantes entre, elles. Le phénomène aura donc Taspectd^une série de mailles rectangulaires lumineuses dont le centre présente un maximum d'éclairement. Ces maxima décroissent très rapidement dès qu*on s'écarte des axes, c'est-à-dire dès que w ou t? augmente, puisque l'expression (2) à laquelle l'intensité est proportionnelle contient en dénominateur le produit u^ v^. Aussi, ne voit-on guère qu'une croix lumineuse dan^ la direction des axes, formée par les points qui correspondent à K = o ou K' =o.
Le théorème deBabinet nous indique que Ton aura le même phénomène en prenant un petit écran rectangulaire.
Si Tune des dimensions de la fente a une grandeur considérable, on n*aura, d'après le § 110 de phénomènes observables que dans le plan perpendiculaire a la plus grande dimension de la fente. On verra une série de bandes d'intensité nulle séparées par des bandes lumineuses dont l'éclairement décroit très rapidement à partir de la bande centrale. Le calcul montre qu'au second maximum correspond une intensité 20 fois moindre qu'au premier.
Les mêmes phénomènes s'observeraient avec un iil.
118. Cas de n points lumineux irrégulièrement dis* posés dans un plan. — En appelant a t\.b les coordonnées d'un quelconque de ces points, que nous supposerons avoir la même intensité, l'intensité lumineuse en un point de l'espace est proportionnelle au qarré du module de la
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somme
Or, ie produit de deux quantités imaginaires conjuguées est égal au carré du module de l'une de ces imaginaires ; l'intensilé lumineuse sera donc proportionnelle à
^ ^Hua + vb) \} ^-i(ua + vb) -—^ ^i[u{a- a') + v {b^b'
à et 6' étant les coordonnées d'unsecond point lumineux quelconque.
Le nombre des termes de ce produit est n^. Pour n d'entre eux, on a a = a, b = b' et la valeur de chacun d'eux est i ; leur somme sera n. Pour les n' — n autres termes le module est i et l'argument, u {a — a') + ^ l^ — ^O- Cet argument peut prendre toutes les valeurs possibles puisque les points sont irrégulièrement distribués. Or, on sait que la valeur moyenne de e^^^ où ^ peut prendre toutes les valeurs possibles, est zéro ; par conséquent, la somme des n' — n termes considérés est nulle. L'intensité en un point éclairé par les n points de même intensité sera donc une constante égale à n fois rintensité donnée par un seul point éclairant.
114. Cas de n ouTertures. — Considérons n ouvertures égales, semblablement disposées mais irrégulièrement placées dans le plan. D'après le théorème de Bridge (108), l'intensité sera le produit de deux facteurs, dont l'un est proportionnel à l'intensité donnée par une seule fente, et l'autre proportionnel à l'intensité donnée par n points placés dans le plan comme le sont les ouvertures. Quand ces ouvertures seront irréguliè-'
remenl placées, ce second facteur sera, d'après le paragraphe précédent, égal à n fois l'intensité résultant d'une seule ouverture.
Le théorème de Bahinet nous apprend qu'il en serait de même avec n écrans. En particulier avec n petits écrans circulaires on devra avoir les mêmes phénomènes qu*avec un seul écran ; les maxima de Tintensité lumineuse seront seulement devenus n fois plus grands. On peut vérifier ce fait expérimentalement en saupoudrant de lycopode l'objectif d'une lunette astronomique ; on aperçoit des franges noires et brillantes lorsqu'on fait l'expérience en lumière homogène.
115. Cas de deux points d'égale intensité. — Prenons pour axe des œ une droite passant par ces points, et pour axe des y une perpendiculaire menée par le milieu de la distance qui sépare les deux points. Les coordonnées de l'un des points seront a et 0, celles de l'autre, — a et 0. L'intensité lumineuse en un point de l'espace sera proportionnelle au carré du module de
Cette différence étant égale à 2 cos au, l'intensité est proportionnelle à cos^au. Les minima d'intensités auront lieu pour
(2K+i)jr.
ils seront régulièrement espacés et leur valeur sera nulle. Us sont dus à l'interférence des rayons. Les maxima seront régulièrement espacés et égaux entre eux ; ils correspondent à
Ktc u = — • a
'^wr
DIFFRACTION 169
116. Cas de deax oaTertures oa de deax écrans circulaires. — En désignant par I Tintensité lumineuse en un point lorsqu^on a une seule ouverture et par 2a la distance des centres des deux ouvertures^rintensité donnée par les deux ouvertures sera proportionnelle à
I cos ^au.
Les variations du premier facteur détermineront un sys* tème de franges concentriques ; les variations du second donneront lieu à des franges rectilignes.
117» Cas de deux fentes rectangulaires. — D*après le §111 fintensité résultant d'une fente de largeur %b et dont la hauteur est relativement grande, est proportionnelle à
/sinftwX* \ bu )'
Par conséquent, on aura pour deux fentes égales distantes de 2a,
Les minima d'intensité, qui seront nuls, auront lieu pour
(2K + IJtc U = -r-1 u = ' :z '■ — •
Ktc b' ^ "" 2a
Aux valeurs de u données par la première égalité correspondent des franges de diffraction, aux valeurs données par la seconde correspondent des franges d'interférence. Comme a est plus grand que 6, les franges d'interférence sont plus rapprochées entre elles que les franges de diffraction et entre deux de ces dernières se trouvera toujours un certain nombre des premières.
