Cas de n points en Jigne droite et éqaidistants

— Désignons par ^ la distance de deux points consécutifs ; * prenons pour axe des œ la droite qui passe par tous les points et pour origine le premier de» points. Les abscisses seront :

et rintégrale dont le carré du module est proportionnel à rintensité deviendra

Les termes de cette somme forment une progression géométrique dont la raison est <?*'*" ; la valeur de cette somme est donc

^ 3 niau I

g a /ai» — I '

' On ne changera pas le module de cette fraction si on la multiplie ou si on la divise par des quantités dont le module est Funité. Multiplions le numérateur par c-»'*»» et le dénominateur par e-'««; nous obtiendrons,

^iau g— niau

g/aw ^ — iau

expression que Ton peut écrire

smnau sin au

L'intensité en un point sera proportionnelle au carré de cette quantité :

sin ^nau

sin *au

DIFFRACTION 171

Étudions cette fonction. Elle est périodique, car si nous

augmentons u de -9 au augmente de tt et nau de ni: ; donc

ia valeur absolue des sinus ne change pas.

Pour les valeurs de u données par

u = — na

le numérateur s'annule et la fonction elle-même devient nulle à moins que le dénominateur ne s'annule en même temps que le numérateur, ce qui a lieu pour les valeurs de Kqui sont des multiples de n. Pour avoir la valeur que prend la fonction pour les valeurs deK multiples de n, il nous suffit, puisque la fonction est périodique, de chercher ce qu'elle devient quand on y fait K == ; on a dans ce cas,

sin ^nau n?a^u^ ^

sin^ au à*u^

L'intensité est proportionnelle à n^ ; c'est un maximum absolu de celte intensité, car chaque terme de la somme (1) ayant pour module une quantité au plus égale à 1, le module de la somme est au plus égal à n et par suite l'intensité a pour valeur maximum une quantité proportionnelle à n^. — Nous appellerons maxima principaux ceux qui correspondent à une intensité proportionnelle à n^.

Entre deux de ces maxima la fonction (2) s'annule n-1 fois, et entre deux zéros consécutifs elle passe par un maximum au moins ; nous aurons donc au moins n — 2 maxima secondaires. Il ne peut d'ailleurs y en avoir davantage. En effet, la fonction est un polynôme entier de degré n — * 1 en cos au ; sa dérivée par rapporta cos au sera de degré n-2 et n'aura

que n-2 racines à chacune desquelles correspond un maximum ou un minimum.

Les maxima secondaires sont très petits et d'autant moins apparents que n est plus grand. En effet, on a,

sin^ nau ^ i sin^ au sin^au

Si sin au a une valeur finie, le second membre de Tinégalité et par suite le premier sont très petits par rapport ù n^.

Quand sin au est petit, c*est-À-dire pour les valeurs de u

Ktt voisines de — . les maxima secondaires qui sont alors

voisins des maxima principaux sont encore difficilement observables. Dans ce cas au éiAnl voisin de Ktt, nous pouvons, à cause de la périodicité de la fonction, supposer au très peu différent de zéro, et remplacer sin au par l'arc ; nous aurons pour le facteur d'intensité

sin^ nau a^u^

Le calcul de ce facteur montrerait que le premier maximum secondaire est 20 fois plus petit que le maximum principal et le second 60 fois plus petit.

119. Réseaux. — Dans un réseau nous avons n fentes d'égale largeur 26, parallèles et placées à une distance 2a les unes des autres. Le facteur d'intensité d'une seule fente étant

/j\ sin^ bu

celui de n points équidistants

sin^ nau sin^ au

DIFFRACTION 173

rintensité donnée par le réseau sera proportionne] le au produit de ces deux facteurs. Gom'me les fentes ont une grande hauteur relativement à leur largeur, on n'observera les franges que dans un plan perpendiculaire à la longueur des fentes.

On devrait donc observer les maxima dûs aux deux facteurs, mais comme n est généralement très grand, les maxima principaux dus au facteurs (2), seront seuls visibles. Pour ces maxima, on a

Ktc

et rintensité est proportionnelle à

. « K6ic sin'

Cette quantité contenant K' au dénominateur les maxima principaux diminueront d*intensité quand on s'écartera de la normale au plan du réseau.

Si - est très petit, le produit K - sera plus petit que 5 pour

an grand nombre de valeurs de K. Dans ce cas le numérateur de (3) ira constamment en décroissant et comme on ne peut observer plus de 6 ou 7 maxima principaux, ils iront en décroissant d'intensité.

Quand - n*est pas très petit, le produit K - peut devenir

plus grand que - pour des valeurs de K inférieurs à 7 et

alors les maxima principaux ne décroissent pas régulièrement, le numérateur de (3) oscillant entre et i.

Si le quotient - est commensurable, il existe une valeur

de K qui annule sin ; par conséquent , le maximum

principal correspondant manquera. Ainsi, si - = 5» tous les maxima principaux d'ordre pair manqueront. Dans ce cas particulier, sin a pour valeur absolue l'unité quand K

est un nombre impair. Les maxima principaux d'ordre

impair seront proportionnels à ^ ; ils iront en décroissant

régulièrement.

Remarquons que Tintervalle plein qui sépare deux fentes est égal à 2a — 26 ; si donc nous changeons 25 en 2a— 2^, c'est-à-dire b en a — h dans nos formules d'intensité, nou3 aurons l'intensité résultant d'un nouveau réseau ne difTérant du premier qu'en ce que les espaces opaques remplacent les fentes et réciproquement. En changeant 5 en a — h dans

sm > nous obtenons

Par conséquent la formule (3) devient

vr sin '

Nous aurons donc la même Joi de décroissance pour les maxima principaux ; résultat conforme au théorème de Babinet.

DIFFRACTION 175

180. Phénomènes de difEraction en lumière blanche. — Dans notre étude, nous avons toujours supposé X constant, c*est-à-dire que nous supposions la lumière homogène. Si nous opérons avec la lumière blanche, la position des maxima d'intensité dépendra de X; nous aurons donc des franges colorées. En particulier dans le cas des réseaux, la déviation étant très

considérable, nous aurons des spectres complets séparés par des intervalles obscurs.