CHAPITRE V

121* Pour trouver les équations

^ ' P dfi ^Zidœ'di/J,

P dt^ —Zj dx' rfÇi

du mouvement d'une molécule dans un milieu élastique (82), nous avons admis (14) que les quantités Do:, Dy, D^ étant de Tordre du rayon d*activité moléculaire, nous pouvions, dans les expressions de DS, Dt), Dit,, négliger les termes contenant Dâ7^, Dy', D^^. Il en résultait que DÇ, Dt), DC étaient des fonctions linéaires des neufs dérivées partielles de (, t^, C par rapport aux variables x, y, z^ et que W, était une fonction homogène et du second ordre par rapport à ces neuf dérivées.

Nous avons ensuite (41) cherché ce que devenaient les équations (1) dans le cas des milieux isotropes, et nous avons vu (42) que le mouvement des molécules dans un tel milieu se

propageait avec une vitesse constante

Or Texpérience démontre que quand la lumière traverse un milieu isotrope autre qile l'éther dans le Vide, sa vitesse dépend de sa longueur d*onde X ; nous sommes donc conduits à penser que Thypothèse du § 14, qui n*est justifiée par aucune considération théorique, doit être rejetée quand nous considérons la propagation de la lumière dans un milieu pondérable. Si nous abandonnons cette hypothèse les quantités DS,Dy|, D2;, contiendront les dérivées des divers ordres de Ç, y^, Ç par rapport à Xy y, Zf et, par conséquent, la fonction W, qui est homogène et du second degré (18) en DS, Dt^, DC, sera homogène et du second degré par rapport aux dérivées partielles des divers ordres de S, t^, C. Nous allons montrer que les équations du mouvement d*une molécule, en prenant pour W, une telle fonction, expliquent le phénomène de la dispersion et celui de la polarisation rotatoire.

122. En désignant par U la fonction des forces relative aux forces extérieures et intérieures qui s^exercent sur les molécules d'un volume R limité

par une surface S {/îç. 18), nous avons

Pig. 18.

trouvé (27), par l'application du principe de d'Alembert et du principe des vitesses virtuelles» l'équation

ffl !U-/^,(f.R + ^S,+ fsc) = 0,

qui doit être satisfaite quels que soient S^, Stj, SC-

i78 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

La partie de la fonction U qui correspond aux forces intérieures est

ysW^T,

et celle qui est relative aux forces extérieures qui s*exerccntsur la surface de séparation S est

fçp^^l + PySYi + p,8î:) rfco,

P«f ^vi Pz désignant les composantes suivant les trois axes de la pression qui s*exerce sur l'élément de surface dto. En remplaçant SU par la somme de ces deux quantités Téquation (2) devient

y*(P,8Ç + PyBTj + P,8i;) ^o> +JhVfd'v —

Gomme cette équation doit être satisfaite quels que soient $S, Zii, 8C nous pouvons, en particulier, supposer St} = BC = o, et nous avons Tégalité

(3) / PxBWo) + / BW^T — / ^ SÇprfr = 0,

qui devra avoir lieu quel que soit B^

128. U s*agit de transformer le second terme de cette égalité. La fonction W est, en général, une fonction des dérivées partielles des divers ordres de (, v^, Ç. Dans un déplacement virtuel quelconque donné au systènie chacune de ces dérivées

varie, mais dans le cas où i*on a, comme nous Tavons supposé, $ir^ = s;; = 0, il n'y a que les dérivées partielles de Ç qui changent de valeur. Par conséquent, Taccroissement BW de la fonction W ne dépendra que des accroissements des diverses dérivées paKielles de l. Dans le but de simplifier les calculs, nous admettrons que les seules dérivées partielles de l qui en-

Irenl dans W sont -r- et -r-j» dérivées que nous pourrons représenter sans ambiguïté par l' et T. Nous avons alors,

8w = ^85' + ^ sr.

et, par suite

SWrfx = / ^ BÇ'rfT -f- / ^ Sre/T.

On sait, et nous avons rappelé cette propriété au § 80, que l'on a

W j -rfT ^^^' =J * W ^^^^ "J ^^ IT^ ^^'

rfW

Cette dernière égalité devient, en faisant subir à la seconde intégrale du second membre une transformation analogue,

(5) / ^ srrfT = / X ^ 8rd<o -

.. rf rfW . ,

En additionnant les seconds membres des égalités (4) et (5) et en remplaçant dans (3) la seconde intégrale par cette somme, nous obtenons une égalité contenant des intégrales étendues à la surface S et des intégrales étendues au volume R. En représentant la somme des intégrales doubles par I» l'équation (3) devient

et, comme elle doit être satisfaite, quel que soit l\, l'élément différentiel placé sous le signe d'intégration étendu au volume doit être nul. Nous aurons donc

d^\ d cTW cP dW P rf^? ~" dœ d^' '^dx^ d^' '

Cette équation devient, en désignant par W| le terme du premier degré et par W, le terme du second degré dans le développement de \V par rapport aux puissances croissantes de DÇ, Dïi, DÇ,

P dt^ "^ dx di' "^ dx^ dti' dx d^ '^ dx^ dK'

Mais D^, Dt), DC étant du premier degré (14) par rapport aux dérivées partielles de $, t^, ![, il en sera de même de W| ; les dérivées de celte fonction par rapport à X et 5^ seront des constantes et l'équation précédente se réduit à

ff^ d dy^\ d» dw

^ dt^^ dx: dH; '^ dx^ rfÇ"

C'est la première des équations du mouvement d'une molécule ; les deux autres s'obtiendraient de la même manière.

Quant à la somme d'intégrales que nous avons désignée par 1, elle nous donnerait la valeur des pressions qui s^exercenl sur la surface S. Nous ne chercherons pas ces pressions.

124. Équations du mouvement. — Nous sommes donc conduits à la règle suivante.

Les équations du mouvement s*écriront

P^S"-*^' Pd/>-^' ^dÂ=^'

P, Q, R étant des polynômes linéaires par rapport aux dérivées des divers ordres de l, y;, C et formés comme il suit :

Pour former P, on différentiera W^ par rapport à chacune des dérivées partielles de l qui y entrent. On différentiera la dérivée de W, ainsi obtenue : par rapport k x, y et z, de la même manière que Ta été la dérivée partielle de l qui y entre. Par exemple on différentiera :

--=^ une fois par rapport à a?,

-jpj-* deux fois par rapport à a?,

-=7-* une fois par rapport à a? et une fois par rapport à y, etc.

On ajoutera ensuite toutes les dérivées ainsi obtenues aprèg avoir affecté du signe -f- les dérivées d'ordre pair et du signe — les dérivées d'ordre impair. On aura donc :

dx dij, dy d^^'y dz rf$: "'" dx^ e/Çi^, "^ ' ' ' '^ dxdydliy'^-' rfx'dÇixx •••

itô THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

On formerait le polynôme Q de la même manière en diffé- Tentianl W^ par rapport aux dérivées partielles de tj.

Dans quelques cas particuliers, l'expression du polynôme P se simplifie. Ainsi, si le milieu élastique est isotrope, les dérivées d*ordre impair n'entrent pas dans P. En effet, dans un te! milieu, les équations du mouvement ne doivent pas changer quand on change à la fois les signes de a?, y, z, l. t^, C-

Or, quand on fait ce changement, ^ change de signe ;

par conséquent, les différents termes de P doivent aussi changer de signe. Cela a lieu pour toutes les dérivées d'ordre pair des l par rapport à â?, y, ^, mais les dérivées d'ordre im-

pair comme ^-^î , ^ , > conservent la même valeur puisque

leurs numérateurs et leurs dénominateurs changent de signe eii même terni ps. Ces dérivées ne pourront donc entrer dans l'expression du polynôme P relatif à un isotrope.

Quand le milieu élastique a un centre de symétrie, les équations du mouvement ne doivent pas changer quand on change les signes de œ, y, z, l, t^, (;. Dans ce cas encore, le polynôme P ne devra contenir que des dérivées d'ordre pair.

125. Polarisation rotatoire du quartz. — Le quartz cristallisant sous une forme hémiédrique du système rbomboédrique, les cristaux de quartz ne possèdent pas de centre de symétrie.

Si nous admettons que la distribulion de l'éther lumineux dans un corps pondérable est identique à celle des molécules matérielles qui constituent le corps, l'éther contenu dans le quartz sera un milieu élastique dépourvu de centre de symétrie.

Par conséquent, le polynôme P qui entre dans les équations du mouvement des molécules d*éther propageant la lumière dans le quartz^ pourra contenir des dérivées partielles de l, 7^, C, d'ordre impair. Nous allons montrer, en nous plaçant dans des conditions particulières pour éviter des calculs trop longs, que la présence des dérivées du troisième ordre suffît pour rendre compte des phénomènes de polarisation rotatoire que présente le quartz.

Considérons une onde dont le plan est perpendiculaire à Taxe du cristal. En prenant pour plan des xy un plan parallèle au plan de Tonde, les déplacements l, tj, C^des molécules d*éther ne dépendront que de z et du temps t, et, par suite, les dérivées partielles des divers ordres de Ç, -ri, Ç par rapport à X et à y seront nulles. De plus, comme les vibrations sont transversales, la condition de transversalité., 8 =; o, exige que Ton ait identiquement Ci = o. Par conséquent, Wj sera une fonction homogène et du second degré des dérivées partielles du premier ordre ^ 1) 'n ^ ^^ des dérivées partielles d'ordres supérieurs de Ç, tj, Ç, par rapport à z. Désignons par WJ l'ensemble des termes de W^ qui sont homogènes par rapport aux dérivées partielles du premier ordre, et, pour simplifier (i), supposons que les autres termes de W, soient nuls à Texceplion du suivant :